四川省绵阳市三台县《第13章 轴对称》
一、填空题
1．若小红站在镜子前面看到她的运动衣上的号码是508，则她的运动衣上的实际号码是 ．
2．若点P的坐标为（3，2），则点P关于y轴的对称点是 ．
3．等腰三角形的一个外角为40°，则这个等腰三角形的底角为 ．
4．若|2a﹣1|+（b﹣3）2=0，则点A（a，b）关于原点对称的点的坐标为 ．
5．△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线交BC于D，若BD=4cm，则AC= ．
6．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
7．等腰直角三角形中，斜边上的高为acm，则这个三角形的面积为 ．
8．等边三角形两条中线的夹角是 ．
9．如图所示的几个图形中是轴对称的有 个．
10．在△ABC中，点D在BC边上，∠ADB=45°，BD=2，把△ABD沿AD翻折180°，点B落在点B′处，则BB′的长等于 ．
二、选择题（3分×10=30分）
11．观察下列中国传统工艺品的花纹，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是（ ）
第19页（共19页）
A．9 B．11 C．16 D．11或16
13．将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的方法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
14．等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．底边上的高
C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线
15．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，若AC=6，则BD等于（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
16．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
17．在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的边长为a，则△ADE的周长为（ ）
A．2a B． C．1.5a D．a
18．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
三、解答与证明
19．画出下列图形关于直线L的轴对称图形．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，AC=6，DE=2，求∠BDC的度数和BD之长．
第19页（共19页）
21．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．
22．如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求证：∠P=30°．
23．如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=BF．求证：CF⊥BE．
第19页（共19页）
四川省绵阳市三台县《第13章 轴对称》
参考答案与试题解析
一、填空题
1．若小红站在镜子前面看到她的运动衣上的号码是508，则她的运动衣上的实际号码是 ．
【考点】镜面对称．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得“508”与“802”成轴对称，故她的运动衣上的实际号码是802．
故答案为：802．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
2．若点P的坐标为（3，2），则点P关于y轴的对称点是 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点P的坐标为（3，2），则点P关于y轴的对称点是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．等腰三角形的一个外角为40°，则这个等腰三角形的底角为 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据相邻的内外角互补可知这个内角为140°，所以另外两个角之和为40°，又因为三角形内角和为180°，所以底角只能为20°．
【解答】解：∵三角形相邻的内外角互补，
∴这个内角为140°，
∵三角形的内角和为180°，
∴底角不能为140°，
第19页（共19页）
∴底角为20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角定理；判断出40°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
4．若|2a﹣1|+（b﹣3）2=0，则点A（a，b）关于原点对称的点的坐标为 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据绝对值和偶次幂都具有非负性可得2a﹣1=0，b﹣3=0，算出a、b的值，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：由题意得：2a﹣1=0，b﹣3=0，
解得：a=，b=3，
则点A（，3）关于原点对称的点的坐标为（﹣，﹣3），
故答案为：（﹣，﹣3）．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是正确计算出a、b的值．
5．△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线交BC于D，若BD=4cm，则AC= ．
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质可得∠BAD=∠B，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADC=30°，最后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：如图，连接AD，
∵AB的中垂线交BC于D，
∴AD=BD=4cm，
∴∠BAD=∠B=15°，
∠ADC=∠B+∠BAD=15°+15°=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=AD=×4=2cm．
第19页（共19页）
故答案为：2cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作出图形更形象直观．
6．如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为5cm．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
7．等腰直角三角形中，斜边上的高为acm，则这个三角形的面积为 ．
【考点】等腰直角三角形．
第19页（共19页）
【分析】因为等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，于是就可以求出斜边的长度，进而利用三角形的面积公式求解．
【解答】解：∵等腰直角三角形中，斜边上的高为acm，
∴斜边=2acm，
∴S=×2a•a=a2（cm2）．
答：这个等腰直角三角形的面积是a2cm2．
故答案为：a2cm2．
【点评】本题考查了解直角三角形，解答此题的主要依据是：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半．
8．等边三角形两条中线的夹角是 ．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】如图，等边三角形ABC中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以∠1=∠2=∠ABC=30°，所以∠AFB=180°﹣∠1﹣∠2．∠AFE=∠1+∠2．
【解答】解：如图，
∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，
∴AD、BE分别是角平分线，
∴∠1=∠2=∠ABC=30°，
∴∠AFB=180°﹣∠1﹣∠2=120°，∠AFE=∠1+∠2=60°．
故答案为120°和60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质；得到AD、BE分别是角平分线是正确解答本题的关键．
9．如图所示的几个图形中是轴对称的有 个．
第19页（共19页）
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
【解答】解：第一个是轴对称图形；
第二个是轴对称图形；
第三个不是轴对称图形；
第四个不是轴对称图形；
第五个不是轴对称图形；
故轴对称的有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
10．在△ABC中，点D在BC边上，∠ADB=45°，BD=2，把△ABD沿AD翻折180°，点B落在点B′处，则BB′的长等于 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】作出图形，根据翻折变换的性质可得BD=B′D，∠ADB=∠ADB′，然后求出△BDB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【解答】解：如图，∵△ABD沿AD翻折180°点B落在点B′处，
∴BD=B′D=2，∠ADB=∠ADB′=45°，
∴∠BDB′=45°+45°=90°，
∴△BDB′是等腰直角三角形，
∴BB′=BD=2．
故答案为：2．
第19页（共19页）
【点评】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并求出△BDB′是等腰直角三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
二、选择题（3分×10=30分）
11．观察下列中国传统工艺品的花纹，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称的定义，结合各图形进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
12．等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是（ ）
A．9 B．11 C．16 D．11或16
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】在三角形中，两边之和大于第三边．所以，据此很容易找到等腰三角形的腰与底边．
【解答】解：（1）假设等腰三角形的腰是2，则2+2=4，4＜7，也就是说两边之和小于第三边，所以假设不成立；
第19页（共19页）
（2）假设等腰三角形的腰是7，则7+7=14，14＞7，也就是说两边之和大于第三边；7﹣7=0，则0＜2，即两边之差小于第三边，所以假设成立，所以等腰三角形的周长是7+7+2=16，即等腰三角形的周长是16．
故选C．
【点评】解答本题的难点是分清等腰三角形的腰的长度与底边的长度，如何来区分呢？根据三角形中的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
13．将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的方法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的中心对称性解答即可．
【解答】解：根据矩形的中心对称性，过中心的直线可把矩形分成面积相等的两部分，
所以，使得折痕平分这个长方形的面积的方法共有无数种．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的中心对称性，比较简单，一定要熟练掌握并灵活运用．
14．等腰三角形是轴对称轴图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．底边上的高
C．顶角的平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线
【考点】轴对称图形；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，可得出答案．
【解答】解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线，
A、过顶点的直线，错误；
B、底边上的高，错误；
C、顶角的平分线所在的直线，正确；
D、腰上的高所在的直线错误，错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及对称轴的定义．
第19页（共19页）
15．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，若AC=6，则BD等于（ ）
A．6 B．3 C．9 D．12
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】求出∠ACD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD、AB，然后根据BD=AB﹣AD计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AC=6，
∴AD=AC=×6=3，
AB=2AC=2×6=12，
∴BD=AB﹣AD=12﹣3=9．
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【考点】三角形的外角性质．
【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．
【解答】解：∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
∴若一个三角形的每一个外角都等于一个不相邻的内角的2倍，则与之不相邻的两个内角相等，
∴这个三角形是等边三角形．
故选D．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
第19页（共19页）
17．在等边三角形ABC中，CD是∠ACB的平分线，过D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的边长为a，则△ADE的周长为（ ）
A．2a B． C．1.5a D．a
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质可得AD=AB，然后判断出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，△ABC是等边三角形，
∴AD=AB，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵△ABC的边长为a，
∴△ABC的周长为3a，
∴=，
解得△ADE的周长=1.5a．
故选C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，也符合三线合一的性质，作出图形更形象直观．
18．如图，△ABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，则图中60°的角有（ ）
第19页（共19页）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据△ABC是等边三角形得出3个60°的角，根据AD⊥CD，AB∥CD，得出∠ACD=∠CAB=60°，∠DAB=90°，根据AE⊥BC，得出∠BAE=∠CAE=30°，进而得出∠DAE=60°，所以图中60°的角有5个．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB=60°，
∵AD⊥CD，
∴∠DAB=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∴∠DAE=60°
∴图中60°的角有5个，
故应选C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质等，等边三角形中“三线合一”是关键．
三、解答与证明
19．画出下列图形关于直线L的轴对称图形．
【考点】作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】根据轴对称图形的性质分别找出各点关于直线l的对称点，然后顺次连接即可．
【解答】解：如图所示．
第19页（共19页）
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，AC=6，DE=2，求∠BDC的度数和BD之长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用三角形外角的性质即可求出∠BDC的度数；设CD=x，利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2CD=2x，再根据AD+CD=AC列出方程2x+x=6，解方程求出x的值，进而求得BD的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=∠DBE+∠A=60°；
设CD=x．
在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2x，
∵AD+CD=AC，
∴2x+x=6，
解得x=2，
∴BD=4．
第19页（共19页）
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质等几何知识，难度适中．
21．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的中线，延长BC到E使CE=CD，试判断△BDE的形状．
【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的中线，则∠DBC=30°，再由题中条件求出∠E=30°，即可判断△BDE的形状．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=CD，
∴∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=30°，
∴∠DBE=∠E，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质；此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解．考查了学生综合运用数学知识的能力，得到∠E=30°是正确解答本题的关键．
22．如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求证：∠P=30°．
第19页（共19页）
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】如图，连接CD，已知△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC，又AD=BD，易证△BDC≌△ADC，可得∠DCB=∠DCA=30°，∠DBC=∠DAC，已知∠DBP=∠DBC，所以∠DAC=∠DBP，又已知BP=BA，可得BP=AC，所以△DBP≌△DAC，所以∠P=∠ACD=30°；
【解答】解：如图，连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∴在△BDC与△ADC中，
，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB=∠DCA=×60°=30°，∠DBC=∠DAC，
∵∠DBP=∠DBC，
∴∠DAC=∠DBP，
又已知BP=BA，
∴BP=AC，
∴在△DBP与△DAC中，
∴△DBP≌△DAC（SAS），
∴∠P=∠ACD=30°．
第19页（共19页）
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具；在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23．如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=BF．求证：CF⊥BE．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】首先易得△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，然后取BF中点M，得到AF=BM，从而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性质，等腰三角形的性质，得到∠8与∠1+∠2的关系以及∠BAE与∠1+∠2的关系，利用∠BAE=60°，可得∠8的度数以及∠3的读数，从而得到∠BFC的读数，最后可得CF⊥BE．
【解答】证明：取BF中点M，连接AM．
在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，
∵AF=BF，BM=BF，
∴AF=BM．
∵FD=AD﹣AF，ME=BE﹣BM，
∴FD=ME．
在△AME与△CFD中，
第19页（共19页）
，
∴△AME≌△CFD（SAS），
∴∠7=∠MAE=∠5+∠6，∠3=∠4，
∵AF=MF，
∴∠8=∠3+∠5=2（∠1+∠2），
而∠BAE=∠2+∠5+∠6=∠2+∠3+∠6=∠2+（∠1+∠2）+∠1=2（∠1+∠2），
∴∠8=∠9=60°，∠3=∠1+∠2=∠BAE=30°，
又∵∠9=∠8=60°，∠4=∠3=30°，
∴∠BFC=∠9+∠4=90°，
∴CF⊥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质的应用，解题的关键在于作出相关辅助线，利用角的关系进行解答．
第19页（共19页）
第19页（共19页）
微信/支付宝扫码支付