《第13章 轴对称》（广西贵港市平南县）
一、填空题
1．在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ．
2．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是 度．
3．等腰三角形的腰长是6，底边长为3，则周长为 ．
4．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ．
5．如图Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12 cm，则AB= cm．
6．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ．
7．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为 ．
8．点E（a，﹣5）与点F（﹣2，b）关于y轴对称，则a= ，b= ．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 ．
10．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE= m．
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二、选择题
11．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
13．等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是（﹣2，0），（6，0），则其顶点的坐标，能确定的是（ ）
A．横坐标 B．纵坐标
C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
14．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（ ）
A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
15．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
16．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
A．90° B．75° C．70° D．60°
17．将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的方法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
18．如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：
①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（共46分）
19．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．（保留作图痕迹）
20．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标．
21．若|3a﹣2|+|b﹣3|=0，求P（﹣a，b）关于y轴的对轴点P′的坐标．
22．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理．
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23．如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．
求证：BE=BD．
24．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
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《第13章 轴对称》（广西贵港市平南县）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各数字分析判断后即可得解．
【解答】解：0是轴对称图形，
2不是轴对称图形，
4不是轴对称图形，
6不是轴对称图形，
8是轴对称图形，
所以，是轴对称图形的是0、8．
故答案为：0、8．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是 度．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
【解答】解：因为其底角为30°，所以顶角=180°﹣30°×2=120°．
故填120．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很 重要的方法，要熟练掌握．
3．等腰三角形的腰长是6，底边长为3，则周长为 ．
【考点】等腰三角形的性质．
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【分析】题目已知条件比较明确，根据等腰三角形的性质得另一腰长为6，然后利用周长等于三边的和求解．
【解答】解：由题意知，等腰三角形的周长=2×6+3=15．
故本题答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；由已知得到另一腰的长是正确解答本题的关键．
4．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：当50°的角为底角时，只一个底角也为50°，顶角=180°﹣2×50×=80°；
当50°的角为顶角时，底角=（180°﹣50°）÷2=65°．
故答案为：50°，80°或65°，65°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
5．如图Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12 cm，则AB= cm．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】此题考查了直角三角形的性质、勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB．
设AB=xcm，
则有BC=（12﹣x）cm，AB=2xcm
∵AB2=AC2+BC2
∴AB=8cm．
【点评】熟记30°角所对的直角边是斜边的一半，解题时还要注意方程思想的应用．
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6．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ．
【考点】镜面对称．
【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．
【解答】解：由图中可以看出，此时的时间为8：00．
故答案为：8：00．
【点评】考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．
7．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为 ．
【考点】轴对称的性质．
【分析】P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，故有PM=P1M，PN=P2N．
【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
故答案为：15
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
8．点E（a，﹣5）与点F（﹣2，b）关于y轴对称，则a= ，b= ．
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【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点E（a，﹣5）与点F（﹣2，b）关于y轴对称，
则a=2，b=﹣5．
故答案为：2；﹣5．
【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；
当高在三角形外部时，顶角是60°．
故答案为：60°或120°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
10．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE= m．
【考点】含30度角的直角三角形；三角形中位线定理．
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【专题】计算题．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB=BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE=AD：BD，从而有AE=CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE=BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴AE：CE=AD：BD，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
在Rt△ABC中，BC=AB=4，
∴DE=2．
故答案是2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半．解题的关键是证明DE是△ABC的中位线．
二、选择题
11．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形定义可知：
A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
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C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：C．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是（﹣2，0），（6，0），则其顶点的坐标，能确定的是（ ）
A．横坐标 B．纵坐标
C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质．
【分析】因为对于等腰三角形来说存在“三线合一”，所以定点的横坐标正好处于底边的两端点的正中间，因此可以确定其横坐标，而纵坐标可以有很多个．
【解答】解：因为底边两端点的坐标知道，而等腰三角形的横坐标正好在两端点中间，故可以求出横坐标，但由于腰不知道，所以纵坐标无法确定．
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；要明确等腰三角形“三线合一”的含义，即高线、角平分线、中线合一，对于此性质及坐标的正确理解是解答本题的关键．
14．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（ ）
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A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分边11cm是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①11cm是腰长时，腰长为11cm，
②11cm是底边时，腰长=（26﹣11）=7.5cm，
所以，腰长是11cm或7.5cm．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
15．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（ ）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=10，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，
故选B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
16．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（ ）
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A．90° B．75° C．70° D．60°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠DEF=180°﹣（∠EDF+∠EFC）=180°﹣120°=60°．
故选D．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
17．将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的方法共有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的中心对称性解答即可．
【解答】解：根据矩形的中心对称性，过中心的直线可把矩形分成面积相等的两部分，
所以，使得折痕平分这个长方形的面积的方法共有无数种．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的中心对称性，比较简单，一定要熟练掌握并灵活运用．
18．如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：
①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称图形的性质，四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，然后根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD，根据等角对等边可得AB=BC，然后判定出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC；只有四边形ABCD是正方形时，AB⊥BC才成立．
【解答】解：∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确；
又∵l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，故④正确，
∵菱形ABCD不一定是正方形，
∴AB⊥BC不成立，故③错误，
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键．
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三、解答题（共46分）
19．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．（保留作图痕迹）
【考点】轴对称-最短路线问题．
【专题】作图题．
【分析】根据两点间线段最短可知作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置．
【解答】解：作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置．
【点评】本题要根据两点之间线段最短的思路来做，但找两点之间的线段却要用到轴对称，作对称点是本题的一个关键．
20．如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标．
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【考点】作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于x轴对称的△A2B2C2；然后根据图形写出坐标即可．
【解答】解：△ABC的各顶点的坐标分别为：A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）；
所画图形如下所示，
其中△A2B2C2的各点坐标分别为：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
【点评】本题考查了轴对称作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
21．若|3a﹣2|+|b﹣3|=0，求P（﹣a，b）关于y轴的对轴点P′的坐标．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】首先利用绝对值的性质得出a，b的值，进而利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵|3a﹣2|+|b﹣3|=0，
∴3a﹣2=0，b﹣3=0，
解得：a=，b=3，
故P（﹣a，b）为（﹣，3），
则P（﹣a，b）关于y轴的对轴点P′的坐标为：（，3）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及绝对值的性质，得出a，b的值是解题关键．
22．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理．
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【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF=60°，∠OFE=60°．从而判定△OEF是等边三角形即OE=OF=EF，通过线段的等量代换求证即可．
【解答】解：连接OE，OF则在等边三角形ABC中．
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，
∴∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC．
∴∠OEF=60°，∠OFE=60°．
∴OE=OF=EF．
∴BE=EF=FC．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
23．如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．
求证：BE=BD．
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
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【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得AD为∠BAC的角平分线，根据等边三角形各内角为60°即可求得∠BAE=∠BAD=30°，进而证明△ABE≌△ABD，得BE=BD．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，
∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，
，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各边长、各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△ABD是解题的关键．
24．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
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，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
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