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专训1 巧用位似解三角形中的内接多边形问题
名师点金：
位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．
三角形的内接正三角形问题
1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
(第1题)
三角形的内接矩形问题
2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DEEF＝12.
(第2题)
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三角形的内接正方形问题(方程思想)
3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？
(第3题)
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4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.
(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．
①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图③，求证：MN2＝DM·EN.
(第4题)
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答案
1．证明：∵E′C′∥EC，∴△OCE∽△OC′E′.
∴＝.
又∵E′D′∥ED，∴△DOE∽△D′OE′.
∴＝.∴＝.
∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴∠OEC＝∠OE′C′，∠OED＝∠OE′D′.
∴∠OEC＋∠OED＝∠OE′C′＋∠OE′D′，
即∠CED＝∠C′E′D′.
∴△CED∽△C′E′D′.
又∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，
在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，
过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，
过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DEEF＝12.
(第2题)
3．解：设符合要求的正方形PQMN的边PN与△ABC的高AD相交于点E，易知AE为△APN的边PN上的高．
设正方形PQMN的边长为x mm，
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.
∴＝，即＝.解得x＝48，
即这个正方形零件的边长是48 mm.
4．(1)证明：在△ABQ和△ADP中，
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∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.
∴＝.
同理＝.∴＝.
(2)①解：MN＝.
②证明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF.
又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，
∴△BGD∽△EFC.∴＝.
∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得＝＝.∴＝·，即＝.
∴MN2＝DM·EN.
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