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专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系
名师点金：
判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．
证明两线段的数量关系
证明两线段的相等关系
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.
求证：BM＝MC.
(第1题)
证明两线段的倍分关系
2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.
求证：AC＝2CE.
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(第2题)
证明两线段的位置关系
证明两线段平行[来源:学科网ZXXK]
3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.
(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．
(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．
(第3题)
[来源:学科网]
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证明两线段垂直
4．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G.求证：EG⊥DF.
(第4题)
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答案
1．证明：∵DE∥BC，
∴△NEO∽△MBO.∴＝.
同理可得＝.∴＝.
∴＝.[来源:Zxxk.Com]
∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴＝.[来源:Zxxk.Com]
同理可得＝.∴＝.
∴＝.∴＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.
2．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.
(第2题)
易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，
∴＝，＝.∴＝.
又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.
∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM.
∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F.∴∠CAM＝∠F.
∴AC＝CF.∴AC＝2CE.
3．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：
由EF∥BC，知△AEM∽△ABD，
△AMF∽△ADC.∴＝＝.
∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．
又∵DF∥AB，∴D为BC的中点．
∴BD＝CD.∴EM＝MF.
∵F为AC的中点，FN∥AE，
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∴N为EC的中点．从而MN∥AC.
又∵D为BC的中点，E为AB的中点，
∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.
(2)MN∥AC.理由如下：
由EF∥BC，得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.
∴＝＝.∴＝.
又∵DF∥AB，∴＝.∴＝.∴＝.
又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.
∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.
4．证明：∵AD＝AB，点E，F把AB三等分，
∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k，AF＝2k.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∵CD∥AB，
∴△AFG∽△CDG.∴＝＝.
设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.
在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，
∴DF＝k.
∴5m＝k.∴m＝k.
∴FG＝k.
∴＝＝，＝＝.
∴＝.
又∵∠AFD＝∠GFE，
∴△AFD∽△GFE.
∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.
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