专训4　用线段成比例法解几何问题的几种常见类型.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专训4　用线段成比例法解几何问题的几种常见类型 名师点金：‎ 线段成比例法在三角形、四边形、圆中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，有时也以压轴题的形式出现．‎ ‎ 与三角形有关的问题 ‎1．【2017·杭州】如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.‎ ‎(1)求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．‎ ‎(第1题)‎ ‎ 与四边形有关的问题 ‎2．【2017·泰安】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.‎ ‎(1)求证：∠BDC＝∠PDC；‎ ‎(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．‎ ‎(第2题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 与圆有关的问题 ‎3．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.‎ ‎(1)求证：直线DM是⊙O的切线；‎ ‎(2)求证：DE2＝DF·DA.‎ ‎(第3题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．【中考·襄阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC＝12.‎ ‎(1)求证：AC平分∠BAD；‎ ‎(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎(3)若AD＝3，求△ABC的面积．‎ ‎(第4题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎1．(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，‎ ‎∴∠AFE＝∠AGC＝90°.‎ ‎∵∠EAF＝∠GAC，‎ ‎∴∠AED＝∠ACB.‎ 又∵∠EAD＝∠CAB，‎ ‎∴△ADE∽△ABC.‎ ‎(2)解：由(1)可知：△ADE∽△ABC，‎ ‎∴＝＝.[来源:学科网ZXXK]‎ 由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，‎ ‎∵∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG.‎ ‎∴＝.∴＝＝.‎ ‎2．(1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD，‎ ‎∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°.‎ ‎∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.‎ ‎∴∠ADC＋∠BDC＝90°.‎ 又∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°.‎ ‎∴∠BDC＝∠PDC.‎ ‎(2)解：如图，过点C作CM⊥PD于点M.‎ ‎(第2题)‎ ‎∵∠BDC＝∠PDC，CM⊥PD，AC⊥BD，‎ ‎∴CE＝CM.‎ ‎∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴△CPM∽△APD.‎ ‎∴＝.‎ 设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，‎ ‎∴PC＝x.‎ ‎∵AB＝AD＝AC＝1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝.‎ 解得x＝，即CE＝.[来源:学科网ZXXK]‎ 经检验，x＝是方程的解且符合题意．‎ 故AE＝AC－CE＝1－＝.‎ ‎3．证明：(1)如图，连接OD.‎ ‎∵点E是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD.‎ ‎∴＝.∴OD⊥BC.‎ 又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，‎ ‎∴∠BDM＝∠DBC.‎ ‎∴BC∥DM.∴OD⊥DM.‎ ‎∴直线DM是⊙O的切线．‎ ‎(2)如图，连接BE.‎ ‎∵点E是△ABC的内心，‎ ‎∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.‎ ‎∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，‎ 即∠BED＝∠EBD.∴DB＝DE.‎ ‎∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，‎ ‎∴△DBF∽△DAB.‎ ‎∴＝，即DB2＝DF·DA.‎ ‎∴DE2＝DF·DA.‎ ‎(第3题)‎ ‎　　　(第4题)‎ ‎4．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，[来源:学,科,网]‎ ‎∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.‎ ‎(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.‎ 理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.‎ ‎∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，‎ ‎∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，‎ ‎∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.‎ ‎∴＝.∴PC2＝PB·PA.∵PBPC＝12，‎ ‎∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.‎ ‎(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝AD＝，‎ 四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝＋OC.‎ ‎∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴＝.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝PB.∴＝＝，∴OC＝，‎ ‎∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴＝＝，∴AC＝2BC.‎ 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，‎ ‎∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝，∴AC＝2.‎ ‎∴S△ABC＝AC·BC＝5，即△ABC的面积为5.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费