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专训2 巧作平行线构造相似三角形
名师点金：
解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．
巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.
(第1题)
过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求的值．
(第2题)
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[来源:学+科+网Z+X+X+K]
过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：＝.
(第3题)
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
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过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
(第4题)
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答案
1．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，
∴BE＝EF＝FC.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD.
∴DF是△ACE的中位线．
∴DF∥AE，且DF＝AE.∴DF∥PE.
∴△BEP∽△BFD.∴＝＝.
∵BF＝2BE，∴DF＝2PE，BD＝2BP.∴BP＝PD.
∵DF∥AE，∴△APQ∽△FDQ.∴＝.
设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.
∴PQQD＝APDF＝32.
∴BPPQQD＝532.
(第1题) (第2题)
2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.
∴△GCD∽△AFD.∴＝.
又∵D为CF的中点，∴CD＝FD.∴AF＝CG.
∵BFAF＝32，∴ABAF＝52.
∵AB∥CG，∴△ABE∽△GCE.∴＝＝＝.
3．证明：如图，过点C作CF∥AB交DP于点F，
∴△PCF∽△PBD.∴＝.
∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.
(第3题)
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∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠AED＝∠CEP，
∴∠EFC＝∠CEP.
∴EC＝CF.∴＝.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
4．证明：(方法一)如图①，过点C作CF∥AB，交DE于点F，
(第4题①)
∴△CDF∽△BDE.∴＝.
∵点M为AC边的中点，
∴AM＝CM.
易证△AME≌△CMF.∴AE＝CF.
∵AE＝AB，∴BE＝3AE.
∴＝.∵＝，
∴＝＝，即BD＝3CD.∴BC＝2CD.
(第4题②)
(方法二)如图②，过点C作CF∥DE，交AB于点F，∴＝.
又∵点M为AC边的中点，
∴AC＝2AM.
∴2AE＝AF.∴AE＝EF.
又∵＝，∴＝2.
又∵CF∥DE，∴＝＝2.
∴BC＝2CD.
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(第4题③)[来源:学。科。网Z。X。X。K]
(方法三)如图③，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∴△AEF∽△ABC.
∴＝＝.
由AE＝AB，知＝＝＝，[来源:学科网ZXXK]
∴EF＝BC，AF＝AC.
由EF∥CD，得△EFM∽△DCM，
∴＝.又∵AM＝MC，∴MF＝MC.
∴EF＝CD.∴BC＝2CD.
(第4题④)
(方法四)如图④，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，
∴△AEF∽△BED.∴＝.
∵AE＝AB，
∴AE＝BE.∴AF＝BD.
由AF∥CD，AM＝MC，易证得△AFM≌△CDM.
∴AF＝CD.
∴CD＝BD.∴BC＝2CD.
点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．
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