29.3 课题学习 制作立体模型
关键问答
①红心标志所在面的相邻面包括什么图形？
②已知物体的三视图，如何制作相应的立体模型？是不是所有的平面图形都能折叠成立体图形？
1．①将图29－3－1①围成如图②所示的正方体，则图①中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的( )
图29－3－1
A．面CDHE B．面BCEF
C．面ABFG D．面ADHG
2．②一物体的三视图如图29－3－2所示，用硬纸板做出相应的实物模型．
图29－3－2
命题点 1 由平面图形折叠成立体图形 [热度：82%]
3.③下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
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图29－3－3
方法点拨
③可通过实际操作进行判断.
4．小明用纸(如图29－3－4)折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中( )
图29－3－4
图29－3－5
5.④如图29－3－6，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为__________．
图29－3－6
方法点拨
④根据示意图及几何体的特点挖掘题目中包含的相等关系，并利用相等关系进行相关量的计算.
6．用如图29－3－7所示的材料拼成一个圆柱，则圆柱的表面积为________．(π取3.14)
图29－3－7
命题点 2 由三视图制作立体图形 [热度：80%]
7.⑤按照图29－3－8给出的三视图，用马铃薯(或萝卜)做出相应的实物模型，并求出此三视图所描述的几何体的表面积．
7
图29－3－8
解题突破
⑤熟悉常见立体图形摆放位置不同时所得的三视图.
8．如图29－3－9是某校升旗台的三视图(单位： cm)．
(1)用萝卜做出台阶的立体模型；
(2)计算出台阶的体积．
图29－3－9
命题点 3 三视图和展开图之间的关系 [热度：89%]
9.如图29－3－10是某几何体的三视图．
(1)画出此几何体的示意图及其展开图；
(2)⑥计算出此几何体的表面积(结果保留π)．
7
图29－3－10
易错警示
⑥对于多个几何体的组合体而言，几何体之间的接触面不能计入组合体的表面积，但几何体与水平面的接触面应计入其表面积.
10.⑦【问题】如图29－3－11①是底面半径为1 cm，母线长为2 cm的圆锥模型，如图②是底面半径为1 cm，高为2 cm的圆柱模型．现要用长为2π cm，宽为4 cm的长方形彩纸(如图③)装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱和一个圆锥模型为一套，长方形彩纸共有122张，用这些纸最多能装饰多少套模型呢？
【对话】老师：“长方形纸可以怎样裁剪呢？”
学生甲：“可按图④方式裁剪出2个长方形．”
学生乙：“可按图⑤方式裁剪出6个小圆．”
学生丙：“可按图⑥方式裁剪出1个大圆和2个小圆．”
老师：“尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三名同学的裁剪方法．”
【解决】(1)计算：圆柱的侧面积是________ cm2，圆锥的侧面积是________ cm2；
(2)1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰________个圆锥模型，5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰________个圆柱模型；
(3)求用122张彩纸最多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．
图29－3－11
解题突破
⑦装饰圆锥、圆柱模型所需的彩纸数不能超过题中所给的彩纸数，这是问题中所隐含的不等关系.
7
7
详解详析
1．A
2．解：第一步：由三视图可知该物体为三棱柱；第二步：用硬纸板制作两个底面和三个侧面；第三步：将做好的五个纸板粘贴．做出的实物模型如图．
3．D [解析] A项，能围成四棱柱；B项，能围成五棱柱；C项，能围成三棱柱；D项，经过折叠不能围成棱柱．
4．A [解析] 根据展开图中阴影三角形的位置可判断B，D错误，根据圆的位置可以判断C错误．
5．36－12 [解析] ∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴这个正六边形的边长为1，
∴这个六棱柱的侧面展开图是长为6，宽为6－2 的长方形，
∴其侧面积为6×(6－2 )＝36－12 .
6．125.6 cm2 [解析] 依题意有2πr＋2r＝16.56，解得r＝2，
S表＝3.14×2×2×2＋3.14×2×2×(2×4)＝125.6(cm2)．
故圆柱的表面积是125.6 cm2.
7．解：实物模型如图所示．由三视图可知，该几何体的上部分为长方体，下部分为平放着的四棱柱，平放的四棱柱的高为4，底面等腰梯形的上底长为2，下底长为6，高为2，则其腰长为2 ，∴长方体的表面积为2×4×3＋2×2×2＝32，
四棱柱的两个底面积之和为×2＝16，侧面积为(2 ＋2 ＋6)×4＝16 ＋24.
故该几何体的表面积为32＋16＋16 ＋24＝72＋16 .
8．解：(1)立体模型如图．
(2)台阶的体积可以转化为三个长方体的体积，V＝150×(800＋1600＋2400)＝150×4800＝720000(cm3)．
9．解：(1)由三视图可知，该几何体由上部分是底面直径为12，高为5的圆锥和下部分是底面直径为12，高为20的圆柱组成．此几何体的示意图及其展开图如下：
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(2)圆锥的底面半径r＝6，由勾股定理，得圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积＝π·12×＝6 π，
所以此几何体的表面积＝π·62＋π·12×20＋6 π＝276π＋6 π.
10．解：(1)圆柱的底面周长是2π cm，则圆柱的侧面积是2π×2＝4π(cm2)，圆锥的侧面积是×2π×2＝2π(cm2)．
故填：4π，2π.
(2)圆柱的底面积是π cm2，则圆柱的表面积是6π cm2，圆锥的表面积是3π cm2.
1张纸的面积是4×2π＝8π(cm2)，
则1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰2个圆锥模型，5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰6个圆柱模型．
故填：2，6.
(3)设用122张彩纸能装饰x套模型，则装饰圆锥模型需要张纸，装饰圆柱模型需要x张纸，
∴＋x≤122，解得x≤.
∵x是6的倍数，∴取x＝90，装饰90套模型后剩余长方形纸片的张数是122－(45＋75)＝2(张)．
∵2张纸够装饰一套模型，
∴122张彩纸最多能装饰91套模型．
【关键问答】
①红心标志所在面的相邻面包括的图形有等边三角形、直角三角形和正方形．
②根据三视图制作立体模型的方法有两种：
(1)先根据三视图想象出立体模型，然后画出立体模型的各个侧面，再将它们粘合起来；
(2)先根据三视图想象出立体模型，然后直接用马铃薯(或萝卜)刻制出来．
不是所有的平面图形都能折叠成立体图形．
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