第2课时 正投影
关键问答
①正投影具备的两个条件是什么？
②线段的正投影有几种情况？各种情况下正投影的长度与原线段的长度之间有什么样的数量关系？
③画立体图形正投影的方法是什么？
1．①把一个正六棱柱如图29－1－15摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
图29－1－15
图29－1－16
2．②木棒长为1.2 m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2 m B．小于1.2 m
C．等于1.2 m D．小于或等于1.2 m
3．③画出如图29－1－17所示的物体(正三棱柱)在下列投影情况下的正投影．
(1)投影线由物体前方照射到后方；
(2)投影线由物体左方照射到右方；
(3)投影线由物体上方照射到下方．
5
图29－1－17
命题点 1 常见几何图形的正投影 [热度：85%]
4.④夏日正午时分，一名小朋友拿着一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是( )
图29－1－18
方法点拨
④几何图形的正投影通常分三种情况：(1)几何图形平行于投影面放置；(2)几何图形倾斜于投影面放置；(3)几何图形垂直于投影面放置.
5．⑤如图29－1－19所示的圆台的上、下底面与投影线平行，圆台的正投影是( )
图29－1－19
A．矩形 B．两条线段
C．等腰梯形 D．圆环
解题突破
⑤可以分上底面圆、下底面圆、中间曲面三部分考虑其正投影．
命题点 2 正投影的性质 [热度：84%]
6．⑥一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB＞CD D．AB≥CD
解题突破
⑥
5
线段的正投影有三种情况：线段平行于投影面，线段倾斜于投影面，线段垂直于投影面．
7．⑦当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影( )
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
易错警示
⑦正投影只和几何体相对于投影面的摆放位置有关，与它到投影面的距离无关．
8．下列说法正确的有( )
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体的一面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
命题点 3 有关正投影的画法及计算 [热度：88%]解题突破
9．⑧一个正方体的某个面的对角线垂直于投影面，正方体在这个投影面上的正投影是一个面积为25 的矩形，则该正方体的体积是________．
⑧正方体与投影面的相对位置是什么样的？矩形的长和宽分别是正方体中哪条线段的正投影？
10．已知木棒AB在投影面α上的正投影为A1B1，且木棒AB的长为8 cm.
(1)如图29－1－20①，若AB平行于投影面α，求A1B1的长；
(2)⑨如图29－1－20②，若木棒AB与投影面α的倾斜角为30°，求A1B1的长．
图29－1－20
解题突破
⑨木棒与它的正投影的夹角的度数是多少？
11.B10如图29－1－21，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影A1B1C1D1的面积．
图29－1－21
5
方法点拨
先判断几何图形的正投影的形状，进而通过解直角三角形解答.
5
详解详析
1．A 2.D
3．解：如图所示．
4．B 5.C
6．D [解析] 根据正投影的定义，当AB与投影面平行时，AB＝CD；当AB与投影面不平行时，AB＞CD.故选D.
7.A [解析] 某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的形状不发生变化．
8．D 9.125
10．解：(1)8 cm
(2)过点A作AC⊥BB1于点C，则四边形A1B1CA是矩形，∠BAC＝30°，所以AC＝4 cm，所以A1B1＝4 cm.
11．解：依题意可知投影A1B1C1D1的形状为矩形．过点A作AH⊥BB1于点H.因为∠ABB1＝45°，所以△ABH是等腰直角三角形，
所以AH＝AB＝×10＝5 (cm)，
所以A1B1＝AH＝5 cm.
又因为A1D1＝AD＝10 cm，
所以投影A1B1C1D1的面积＝A1D1·A1B1＝10×5 ＝50 (cm2)．
【关键问答】
①一是投影光线是平行光线，二是投影光线垂直于投影面．
②有三种情况：线段平行于投影面，这时正投影的长等于线段长；线段倾斜于投影面，这时正投影的长小于线段的长；线段垂直于投影面，这时正投影是一个点．
③掌握常见平面图形在不同情况下的正投影，将立体图形的正投影转化成平面图形的正投影．
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