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二次函数应用题（习题）
例题示范
例：有一座抛物线型拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4
米，建立如图所示的平面直角坐标系，若正常水位时，桥下水深 6 米．为
保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 米，则当水深超过多少
米时，就会影响过往船只的顺利航行？
解：如图，设该抛物线的解析式为 y ax2 ， 由题
意得，抛物线过点(10，-4)，
代入解析式得4 102 a ，
∴ a 1 ，
25
∴该抛物线的解析式为 y 1
25
令 x=9，可得 y=-3.24，
x2 ．
此时水深为 6+4-3.24=6.76 米，
即当水深超过 6.76 米时就会影响过往船只的顺利航行．
y
O 4米 x
20 米2
巩固练习
1. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一
个柱子 OP，柱子顶端 P 处装上喷头，由 P 处向外喷出的水流（在各
个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下
（如图所示）．已知 OP=3 米，喷出的水流的最高点 A 距水平面的高度是
4 米，离柱子 OP 的水平距离为 1 米．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外？
y
A
P
O B 水平面 x3
2. 如图，有一座抛物线型的拱桥，在正常水位时，桥下水面宽
AB=20m，当水位上升 3m 时，水面宽 CD=10m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以 5km/h 的速度向此桥驶来，当船距离此桥
35km 时，桥下水位正好在 AB 处，之后水位每小时上涨 0.25m， 当水位达
到 CD 处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，那么它能
否安全通过此桥？
y
O
C D x
A B4
3. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20 元．调查发现：销
售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销
售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元．设每件玩具的销售
单价上涨了 x 元时（x 为正整数），月销售利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围．
（2）当每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为
2 520 元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大的月
销售利润是多少？
【分析】
解：
售价 进价 利润 月销量5
4. 某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资 3 000 元，已知绿茶每千克的
成本为 50 元，在第一个月的试销时间内发现，销量 w（kg）随销售单价
x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：
设该绿茶的月销售利润为 y（元）．
（销售利润=单价×销售量-成本-投资）．
（1）请根据上表，写出 w 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x
的取值范围）；
（2）求 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围），
并求出当 x 为何值时，y 的值最大；
（3）若在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后，在
第二个月里受物价部门的干预，销售单价不得高于
90 元/kg，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700
元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【分析】
解：
销售单价 x（元/kg） … 70 75 80 85 90 …
销售量 w（kg） … 100 90 80 70 60 …
售价 成本 利润 销量 其他成本6
【参考答案】
1. （1） y x2 2x
3
（2）3 米
2. （1） y 1
x2
25
（2）能安全通过此桥
3. （1） y 10x2 130x 2 300 （1≤x≤10，且 x 为正整数）
（2）32 元
（3）36 或 37，最大的月销售利润是 2 720 元4.
（1） w 2x 240
（2） y 2x2 340x 15 000 ，当 x=85 时，ymax=-550
（3）75
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