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4.3 解直角三角形
教学目标
1. 理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函
数解直角三角形.
2. 知道直角三角形中五个元素的关系.
3. 通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力.
重点难点
重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.
难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.
教学设计
一． 预习导学
学生自主预习教材 P121—122 完成下列问题：
1、如图，在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作 a、b、c。
(1) 直角三角形三条边的关系是： 。
（2）直角三角形两个锐角的关系是： 。
（3）直角三角形边和锐角的关系有：
、
2、如上图，在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作 a、b、c。
（1）若∠A=40°，b =3cm ，则∠B= ，a= ， c= ；
（2）若∠A=40°，a =3cm ，则∠B= ，b = ，c= ；
（3）若∠A=40°，c =3cm ，则∠B= ，a= ， b = ；
（4）若 a =3cm ，c =4cm ，则 b = ，∠A== ，∠B = ；
从归纳总结的角度梳理直角三角形中三边之间、角与角之间、边与角之间的关系.教师引
导，学生自行解答.
二．探究展示
（一） 合作探究
1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有 5 个元素（3 条边、2 个锐角），只要知道
其中的几个元素就可以求出其余的元素？
教师引导，学生小组讨论交流：
（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
A
B
C b
Ca2
（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？
（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.
（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说
明，关键在哪里？
通过上面的分析总结得出：
在直角三角形中，除直角以外的 5 个元素（3 条边和 2 个锐角），只要知道其中的 2 个元
素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的 3 个未知元素.
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.
（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？
（2）学生独立思考，自己解决.
（3）小组讨论一下各自的解题思路.
解：∠B＝90°-∠A=90°-30°=60°
又∵ tanB= ∴ b=a.tanB=5.tan60°=5
∵sinA= ∴c= = =10
总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
（二）展示提升
1. 在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求 b，∠A，∠B.
小组讨论交流，然后班内交流展示.
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，cosA= ，BC=5，试求 AB 的长.
小组讨论交流，然后班内交流展示.
归纳总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）
（1） 已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
（2） 已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
三．知识梳理
a
b 3
c
a
A
a
sin °30sin
5
3
1
C B
A
A
B
C b
Ca3
1. 在直角三角形中，除直角以外的 5 个元素（3 条边和 2 个锐角），只要知道其中的 2 个
元素（至少有一个是边），勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数等关系，
就可以求出其余的 3 个未知元素，这叫做解直角三角形.
2. 解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）
（1）已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
四．当堂检测
1. 在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，∠B=45°，b=3cm，求 a，c 的长度.
2. 如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，cosA= ，BE=2，求 tan∠DBE 的值.
3.如图，在△ABC 中，已知∠Ｃ＝90°，sinA= ，D 为 AC 上一点，
∠BDC=45°，DC=6，求 AB 的长.
4.如图，在△ABC 中，∠AＣB＝90 ，∠A＝60 ，斜边上的高 CD= ，求∠B、AC、AB、
BC。
五．教学反思
本节课从学生熟悉的直角三角形中边的关系、角的关系、边角关系引入，引导学生发现直
角三角形中只要有两个条件（至少有一元素是边）就可以解直角三角形.这一结论不是由教
师直接给出，而是由学生通过讨论交流获得，从而体现学生的自主性，通过例题讲解，使学
生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题
的能力.
5
3
5
2
0 0 3
B
D
A C
C
D BA
E B
CD
A
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