1
4.1.1 正弦
教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即
正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展
学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜
边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事
实。
教学设计
一。预习导学
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一
座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是 ,为使出水口
的高度为 35m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为，在 Rt△ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求
AB
根据“再直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，
即
可得 AB=2BC=70m.即需要准备 70m 长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30o，那么不管三角形的大小如何，这
个角的对边与斜边的比值都等于 .
二.探究展示
(一)合作探究
（1）如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90 o，∠A=45o，计算∠A 的对边与斜边的比
，能得到什么结论？
分析：
在 Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定
理得
故
o30
2
12
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 45o，那么不管三角形的大小如何，
这个角的对边与斜边的比值都等于
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D= . ∠C=∠F=90°，则
成立吗？为什么？
因为 ∠A=∠D = ， ∠C=∠F= 90° ，
所以 △ABC∽Rt△DEF.
所以
即
所以
结论：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边
与斜边的比也是一个固定值。
认识正弦
如图，在 Rt△ABC 中，∠A、∠B、∠C 所对的边分别记为
a、b、c。
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的
比叫做∠A 的正弦。记作 sinA。
sinA ＝ （ 举 例 说 明 ： 若 a=1,c=3, 则
sinA= ）
注意：1、sinA 不是 sin 与 A 的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
设计意图：通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。
(二)展示提升
1.如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°， BC=3，AB=5.
（1）求 sinA 的值；
（2）求 sinB 的值.
（1）求 sinA 的值；
α
DE
EF
AB
BC =
α
Rt
DE
AB
EF
BC =
ABEFDEBC •=•
DE
EF
AB
BC =
A a
A c
∠ =∠
的对边
的斜边
3
1
α α3
解：∠A 的对边 BC=3，斜边 AB=5.于是
（2）求 sinB 的值.
解：∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得
AC=4
因此
2.如何求 sin 45°的值？
如图所示，构造一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是 ∠B=45°从而 AC=BC．
根据勾股定理，得 于是
故
3. 如何求 sin 60°的值？
如图所示，构造一个 Rt△ABC ，使∠B=60°，则∠A=30°，从而 BC=
根据勾股定理,得
所以
所以
4. 而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求 50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为 0.7660…
5.课本 113 页例 2
设计意图：使学生巩固特殊角的正弦值。
三。 知识梳理
本节课学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
5
3sin ==
AB
BCA
1635 22222 =−=−= BCABAC
5
4sin ==
AB
ACB
2222 2BCBCACAB =+= .2BCAB =
2
2
2
1
2
45sin ====
AB
BC
AB
BCo
AB2
1
,4
3
2
1 2
2
2222 ABABABBCABAC =
−=−=
ABAC 2
3=
2
360sin ==
AB
ACo
4
四．当堂检测
1. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°， BC=5，AB=13.
（1）求 sinA 的值； （2）求 sinB 的值．
2.如图，在平面直角坐标系内有一点 P（3，4），连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角
的正弦值.
3.计算
（1） （2）1-2
五.教学反思
本节课教学设计以教师的“问题引导”为方向，以学生的“动手操作”为主线，学生充
分经历了知识的发生过程，较好地体验了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想方法。
α
oo 45sin60sin 22 + oo 60sin30sin
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