2018-2019学年度第二学期六年级数学《鸽巢原理》教学设计

2018-2019学年度第二学期六年级数学《鸽巢原理》教学设计《鸽巢原理》教学设计【授课教师】薛xx【授课时间】2019年3月【授课内容】《鸽巢原理》【教材理解】《鸽巢原理》是人教版小学数学六年级下册第五单元的内容。教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我们称之为“鸽巢问题”。“鸽巢原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“抽屉原理”、“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。【设计理念】让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。在教学中，通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”；学生在理解的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用鸽巢原理解决问题或解释相关的现象，促进逻辑推理能力的发展。【学情简介】“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。【教学目标】1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。【教学重难点】重点: 理解鸽巢原理，掌握先“平均分”、再调整的方法,引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。难点: 理解“总有”、“至少”的意义，理解平均分后余数不是1时的至少数，找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。【教学方法】试验探究法  小组合作学习法 【教学准备】扑克牌、纸杯（笔筒）、多媒体课件。【课时安排】1课时【教学过程】一、创设情境，激情导入。师：我给大家表演一个“魔术”，一副牌，取出大小王，还剩下多少张？你们5人每人随意抽一张，我敢肯定的说至少有2张牌是同花色的。相信吗？师：请你们五位任意抽取一张牌，试试看。师：同学们，下面就是见证奇迹的时刻。师：把牌拿出来验证一下，同一花色的站到一起，把牌举起来面向大家我猜对了吗？生：表示赞同。师：如果让这5位同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？有的同学点头了，有的半信半疑。师：为什么我敢这么肯定呢？因为在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理鸽巢原理，这节课我们就一起来研究这个原理。[设计意图]扑克牌小魔术作为新课的切入点，激起学生认知上的兴趣，趁机抓住他们的求知欲，激发学生探究新知的热情，使学生积极主动地投入到新课的学习中去。同时，在魔术中直观地感知“至少”的意思。二、共同探究，理解鸽巢原理。（一）出示例1，共同探究验证。1.老师还能料定：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。质疑：大家对老师的说法有什么不理解之处吗？如果学生不能提出疑问，那么老师来提问：“总有”是什么意思？（3个笔筒无论哪个，一定有一个）“至少放2支铅笔”是什么意思？（放2支或2支以上，最少2支）[设计意图]引导学生理解关键词语“总有”和“至少”的含义，培养学生认真阅读理解的习惯。2.讨论：你认为老师的说法对吗？先让学生凭直觉判断对或错。再指出：对待数学问题，我们要有严谨的态度，只有经过周密的验证才能下结论。那么，可以用什么方法来验证老师的说法对不对呢？学生独立思考，提出设想。[设计意图]树立学生严谨的数学学习态度，打开学生的思维，大胆设想验证方法。3.小组合作探究：小组合作验证，验证完成了准备汇报并坐端正。需要笔筒的用纸杯代替笔筒。教师巡视，了解学生验证的情况。[设计意图]放手让学生自主探究，让学生充分表达自己的想法，有充足的空间和时间合作探究。4.小组汇报交流，预设情况如下：（1）枚举法请用实物模拟实验的小组先展示，有用画图、数的分解的方法分析的也进行展示。引导学生认识到要把铅笔摆放的所有方式都列举出来，为了不遗漏要做到有序列举（课件展示），指出这种思考方法叫“枚举法”。[设计意图] 经历探究鸽巢原理的过程，初步学习枚举的分析方法，培养学生分析问题的能力和严谨的思维习惯。（2）假设法请学生展示并解说其他的方法，如果学生没有想到，教师示范：假设老师的说法是错误的，没有任何笔筒里有2支或2支以上的铅笔，那么每个笔筒里只放1支，剩下1支放入任意一个笔筒中，这个笔筒中就有2支笔了。所以总有一个笔筒中至少有2支铅笔。集体讨论：让学生充分质疑，充分发表意见，教师适时点拨。教师可连续发问：先在每个笔筒中放1支铅笔，实际上就是在怎样分？为什么一开始就平均分呢？只考虑平均分这一种情况，其他的摆放方法不用考虑了吗？引导学生认识到：先在每个笔筒中放1支铅笔，实际上就是在平均分；平均分，就可以使每个笔筒的铅笔尽可能的少，也就有可能找到和老师说法不一样的情况；平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能少了，如果这样都符合要求，那另外的情况肯定也是符合要求的了。可以用除法算式表示这种分析方法，指出这种思考方法叫做“假设法”。    [设计意图]经历探究鸽巢原理的过程，理解学习假设的分析方法，培养学生逻辑推理的能力和严谨的思维习惯。（3）请学生评价这两种方法。师生共同总结结论并板书。      [设计意图]培养学生的优化意识，使学生认识到枚举法的优越性和局限性、假设法的独特优点。（二）继续解决问题，建立数学模型1.初建模型师：如果把6支铅笔放入5个笔筒，不管怎么放，总有一个杯子里至少有几支铅笔？生1：还是总有一个笔筒里至少有两支铅笔。师：你是怎么分的？生1：先把每个杯子里放一支，还剩一支，再把剩下的一支放入其中任意一个笔筒。师：如果把7支铅笔放入6个笔筒呢？你们能接着往下说嘛？齐说师：把8支铅笔放入7个笔筒呢？生：结论不变，总有一个杯子里至少有2支铅笔。把1000支铅笔放入999个笔筒呢？生：都是总有一个笔筒里至少有两支铅笔。师：观察铅笔的数量和笔筒的数量，你有什么发现？生：我们发现了当铅笔的数量比笔筒的数量多1师：当铅笔的数量比笔筒的数量多1时，不管怎么放，就会怎么样？总有一个笔筒里至少有两支铅笔。师：其实在我们生活中还有很多类似问题，比如（1）把6个苹果放进5个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个苹果。。。。。。引导学生发现：铅笔、苹果、篮球、鸽子都是待分物体，笔筒、抽屉、球筐、鸽巢都可以看作盛放待分物体的“鸽巢”；待分物体都比“鸽巢”多1，都是总有一个“鸽巢”至少放2个待分物体。引导学生用字母表示：如果“鸽巢”个数用n来表示，待分物体就有（n+1）个，那么请你把这四个关键词并用一句完整的话来描述：把m个待分物体放进(m-1)个鸽巢里，总有一个鸽巢里至少放了2个待分物体。揭示课题：这就是老师所说的那个著名的数学原理——鸽巢原理。（板书课题）[设计意图]让学生经历将具体问题数学化的过程，建立鸽巢原理最简单情况的数学模型，初步形成模型思想，发展学生的抽象能力和概括能力。2.普及数学史知识知道鸽巢原理最早是由谁提出的吗？课件出示：这个原理是组合数学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄利克雷提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄利克雷原理”。该原理有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理又称为“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”（指名读）。令人遗憾的是我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题，但是在古代文献中并未发现关于抽屉原理的概括性文字，没有人将它抽象为一条普遍的原理，最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄利克雷的名字。老师在此也希望在座的大家也能发现数学原理，用自己的名字来命名为祖国争光，有信心吗？     [设计意图]了解鸽巢原理的由来，进一步强化鸽巢原理基本形式的数学模型，感受数学的魅力，体会数学的价值,激发爱国情怀。3.完善模型教学例2师：如果待分物体不是鸽巢的数量多1，而是多2，多3，多4又会怎样呢？.师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书？为什么? 学生独立思考后,组织全班交流师: 我们已经学了平均分的方法，不要再列举了，说说你想怎么分？生:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉, 把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。师：你能用算式表示这一平均分的过程和结果吗?生:7÷3=2……1    2+1=3师板书。解释算式的含义师：商2指的是什么？余数1又指的是什么呢？生：商2指的是每个抽屉放进去的2本书，余数1指剩下的那一本书。师:结合这个有余数的除法算式说明把这个问题完整说一说?生:把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。师:如果有8本书会怎样呢?请2名同学们黑板扮演，比较。师：谁想说说你们的想法，你们的结论？先让得出“总有一个抽屉里至少有4本书”的学生说。生1：把8本书放入3个抽屉，先每个抽屉放2本，还剩2本，把这两枝放入一个抽屉。算式是8÷ 3  =  2……2   2+2=4再让得出“总有一个抽屉里至少有3本书”的学生说。生2：我们是这样想的，把8本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。算式是8 ÷ 3  =  2……2  2+1=3师：大家注意到了吗？他们都是先把8本书平均分，每个抽屉放2本，只是对于余下的2本书有了不同的放法，你们同意谁的意见。剩下的2本为什么还要放进不同的抽屉？生：依据还是把余下的也尽量平均，尽可能分成最多的份数，才能保证出现至少数。师:10本书呢?生:10÷3=3……1,可知把10本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放3本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4本书。师：如果让你继续增加书和抽屉的数量，还会算吗，试一试？师：观察黑板上这些算式？这个至少数到底是怎么推算出来的呢？生1：我们通过用物体的数量 ÷ 抽屉的数量 = 商……余数，总有一个鸽巢里至少有商+1个物体。师：你们发现了吗？齐说师板书：商+1=至少数齐读师:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。余数不论是多少，都加1。[设计意图]在这个环节里抓住假设法的核心思路，用有余数除法的形式来表示，让学生直观的理解，如果把书尽量多的平均分给各个抽屉，看看每个抽屉里能分到多少，余下的多少都能保证总有一个抽屉里的数量比平均数多1。三、利用模型，解决问题师：现在，你能利用这一原理揭密课前的魔术了吗？生：五张牌相当于鸽子，四种花色相当于鸽巢，五张牌中至少有两张是同一花色的。师：其实在我们生活中有很多“鸽巢原理”的应用。1.随意找13位老师，他们中至少有几个人的属相相同。为什么？ 2.10个人坐8把椅子，总有一把椅子上至少坐几人？为什么？3.19只鸽子飞进4个鸽巢，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽巢里。为什么？4.六（8）班有38名同学，可以肯定，在这38人中，至少有几个人的生日在同一个月。想一想，为什么？[设计意图]能初步运用鸽巢原理解释相关的现象。让学生真正掌握并运用鸽巢原理解决问题，培养学生解决问题的灵活性和迁移能力。四、课末总结，梳理提升师:同学们美好的时光总是过得这么快，这节课大家表现都非常好，下面说说你这节课都有哪些收获呀？[设计意图] 培养学生反思归纳的学习习惯。师:其实在我们的生活中还存在很多可以用鸽巢原理去解决的问题, 最后薛老师还给大家推荐一个有关鸽巢原理的二桃杀三士的故事，我们课下可以去看看，期待同学们下次更精彩的表现!【板书设计】鸽巢原理 物体的数量 ÷ 抽屉的数量 = 商……余数       至少数=商+1  铅笔数量     笔筒 数量              总有一个杯子里至少有      4   ÷  3  =  1……1                2      5   ÷  4  = 1……1                 2     枚举法                        6  ÷  5  = 1……1                 2     1000 ÷  999  = 1……1               27  ÷  3  = 2……1                  2+1= 3平均分                      8  ÷  3  =2……2                   2+1= 3                          10 ÷  3  = 3……1                  3+1= 4