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二　 圆锥曲线的参数方程 　 【 自主预习 】 椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程 圆锥曲线 普通方程 参数方程 椭圆 (a>b>0) _____________ ( φ 为参数 ) 圆锥曲线 普通方程 参数方程 双曲线 (a>0,b>0) ( φ 为参数 ) 抛物线 ___________ (α 为参数 ) y 2 =2px(p>0) 【 即时小测 】 1. 参数方程 (θ 为参数 ) 表示的曲线为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由参数方程 ( θ 为参数 ) 得 将两式平方相加 , 得 x 2 + =1, 表示焦点在 y 轴 上的椭圆 . 2. 直线 y=2x- 与曲线 ( φ 为参数 ) 的交点坐 标是 ________. 【 解析 】 因为 cos2 φ =1-2sin 2 φ , 所以曲线方程化为 y=1-2x 2 , 与直线 y=2x- 联立 , 解得 : 由 -1≤sin φ ≤1, 故 不符合题意 , 舍去 , 则直线与曲线的交点坐标为 答案 : 【 知识探究 】 探究点 　圆锥曲线的参数方程 1. 椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么 ? 提示 : 椭圆的参数方程中 , 参数 φ 的几何意义为椭圆上 任一点的离心角 , 要把它和这一点的旋转角 α 区分开来 , 除了点 M 在四个顶点处 , 离心角和旋转角数值可相等外 ( 即在 0 到 2 π 的范围内 ), 在其他任何一点 , 两个角的数 值都不相等 . 但当 0 ≤α≤ 时 , 相应地也有 0 ≤ φ ≤ , 在其他象限内也有类似范围 . 2. 抛物线 y 2 =2px(p>0) 的参数方程 (t 为参数 ) 中参数 t 的几何意义是什么 ? 提示 : 由抛物线参数方程的推导过程可知 , 参数 t 表示抛 物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 . 【 归纳总结 】 1. 椭圆的参数方程 中的参数 φ 与圆的参数 方程 中的参数 θ 意义的区别 从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数 φ 是椭圆上 的点 M 所对应的大圆的半径 OA 的旋转角 , 不是 OM 的旋转 角 , 而圆的参数方程中的 θ 是半径 OM 的旋转角 , 椭圆参 数方程中的 φ 称为点 M 的离心角 . 2. 余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方 程 (1) 定义 . 如图 , 已知点 P(x,y ) 是角 α 的终边上异于原点的任一点 ( 角 α 的始边是 x 轴的正半轴 , 顶点是坐标原点 ), 其到原 点的距离为 |OP|=r, 则 分别叫做角 α 的余切函 数、正割函数、余割函数 , 表示为 cotα = { α|α ≠ kπ,k∈Z};secα = { α|α≠kπ + k∈Z};cscα = { α|α≠kπ,k∈Z }. (2) 双曲线 (a>0,b>0) 的参数方程为 (α 为参数 , 且 α≠kπ + k∈Z ) 双曲线 (a>0,b>0) 的参数方程为 (α 为参数 , 且 α≠ kπ,k∈Z ) 类型一 　椭圆的参数方程与应用 【 典例 】 已知曲线 C 1 的参数方程是 ( φ 为参数 ) 以坐标原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 2 的极坐标方程是 ρ=2, 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上 , 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列 , 点 A 的极坐标为 (1) 求点 A,B,C,D 的直角坐标 . (2) 求曲线 C 1 的普通方程 , 判断曲线形状 . (3) 设 P 为 C 1 上任意一点 , 求 的取 值范围 . 【 解题探究 】 (1) 典例 (1) 中如何求各点的直角坐标 ? 提示 : 先求 A 点的直角坐标 , 由对称性求其余各点的坐标 . (2) 曲线 C 1 的形状是什么 ? 提示 : 将曲线 C 1 的参数方程化为普通方程 , 是椭圆 . (3) 如何求距离平方和的取值范围 ? 提示 : 利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题 . 【 解析 】 (1) 由曲线 C 2 的极坐标方程 ρ =2, 可知曲线 C 2 是圆心在极点 , 半径为 2 的圆 , 正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上 , 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列 , 点 A 的极坐标为 故 由对称性得 , 直角坐标分别为 (2) 由曲线 C 1 的参数方程 ( φ 为参数 ) 得 两式平方相加得 所以曲线是焦点在 y 轴上的椭圆 . (3) 由于点 P 为曲线 C 1 上任意一点 , 得 P(2cos φ ,3sin φ ), 则 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 =(2cos φ -1) 2 +(3sin φ - ) 2 + (2cos φ + ) 2 +(3sin φ -1) 2 + (2cos φ +1) 2 +(3sin φ + ) 2 + (2cos φ - ) 2 +(3sin φ +1) 2 =16cos 2 φ +36sin 2 φ +16 =32+20sin 2 φ , 因为 32≤32+20sin 2 φ ≤52, 所以 |PA| 2 +|PB| 2 +|PC| 2 +|PD| 2 的取值范围是 [32,52]. 【 方法技巧 】 椭圆的参数方程应用技巧 (1) 椭圆的参数方程 : 中心在原点的椭圆的参数方程 (θ 为参数 ,a>b>0) 常数 a,b 分别是椭圆的长 半轴 , 短半轴 , 焦点 F(±c,0) 在 x 轴上 , 其中 a 2 =b 2 +c 2 . 椭圆的参数方程也可以是 (θ 为参数 ,a>b>0) (2) 与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题 , 常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决 . 【 变式训练 】 1. 椭圆 ( φ 为参数 ) 在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为 ________. 【 解析 】 将椭圆的参数方程 ( φ 为参数 ) 化 为普通方程为 由 a 2 =25,b 2 =9, 得 c 2 =a 2 -b 2 =16, 所以 c=4, 椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为 (4,0). 答案 : (4,0) 2. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 设 P(x,y ) 是椭圆 上的动点 , 求 S= x+y 的最大值 . 【 解析 】 椭圆 的参数方程为 ( θ 为参数 ) 故可设动点 P 的坐标为 ( cos θ ,sin θ ), 其中 0 ≤θ b>0) 上 , 如何求 |PQ| 的最小值 ? 【 解析 】 由双曲线 得参数方程为 ( φ 为参数 ) 则 当且仅当 时 , 【 方法技巧 】 双曲线的参数方程中的应用技巧 (1) 双曲线的参数方程 ( φ 为参数 ) 中 , 所以 cos φ ≠0, 所以 φ ≠kπ + k∈Z , 这也与使 tan φ 有意义的 φ 的 取值范围相一致 . 故我们通常规定参数 φ 的范围为 φ ∈ [0,2π), 且 φ ≠ (2) 双曲线的参数方程中 , 常用的三角函数关系式为 sin 2 φ +cos 2 φ =1⇒1+tan 2 φ = =sec 2 φ ⇒sec 2 φ - tan 2 φ =1. 【 补偿训练 】 1. 参数方程 ( φ 为参数 ) 表示曲线的离心率为 ________. 【 解析 】 参数方程 ( φ 为参数 ) 即 所以 表示双曲线 , 其中 c 2 =a 2 +b 2 =9+16=25, 所以 答案 : 2.(2015 · 湖北高考 ) 在直角坐标系 xOy 中 , 以 O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 已知直线 l 的极坐标 方程为 ρ(sinθ-3cosθ)=0, 曲线 C 的参数方程为 (t 为参数 ) l 与 C 相交于 A,B 两点 , 则 |AB|=______. 【 解题指南 】 先将极坐标方程 ρ (sin θ -3cos θ )=0 和 曲线 C 的参数方程 (t 为参数 ) 化成普通方程 , 再求解 . 【 解析 】 由 ρ (sin θ -3cos θ )=0 知 , 直线的方程是 y=3x, 由曲线 C 的参数方程为 (t 为参数 ) 消去参数 得 ,y 2 -x 2 =4, 解方程组 得 答案 : 自我纠错 　等价转化求轨迹方程 【 典例 】 已知 A,B 是抛物线 y 2 =2x 上异于顶点的两动点 , 且 OA⊥OB,OM⊥AB, 并与 AB 相交于点 M, 求点 M 的轨迹 . 【 失误案例 】 分析解题过程 , 找出错误之处 , 并写出正确答案 . 提示 : 错误的根本原因一是忽视了动点 M 不能到达原点导致求方程增解出错 , 另外 , 没有判断轨迹形状导致错误 . 正确解答过程如下 : 【解析】 方法一 : 设 M(x,y ), 由 (2t 1 t 2 ) 2 +2 2 t 1 t 2 =0, 因为 A,B 是抛物线上异于顶点的两动点 , 所以 t 1 t 2 =-1.… ………………… ① 所以 x(t 1 +t 2 )+y=0, (x≠0)… ……… ② 又 且 A,M,B 共线 . 所以 即 y(t 1 +t 2 )-2t 1 t 2 -x=0.……………………………③ 将①②代入③ , 得到 x 2 +y 2 -2x=0, 由于动点 M 不能到达原点 , 故轨迹方程为 x 2 +y 2 -2x=0(x≠0), 所以动点 M 的轨迹是圆心在 (1,0), 半径为 1 的圆 , 且去掉原点 . 方法二 : 设 因为 OA⊥OB, 所以 得 y 1 y 2 =-4, 直线 AB 的方程为 即 所以直线 AB 过定点 C(2,0), 又 OM⊥AB, 所以点 M 的轨迹是以 OC 为直径的圆 , 则点 M 的轨迹方程为 (x-1) 2 +y 2 =1(x≠0). 所以动点 M 的轨迹是圆心在 (1,0), 半径为 1 的圆 , 且去掉原点 .