第一讲 坐 标 系
一 平面直角坐标系
【
自主预习
】
1.
直角坐标系
(1)
数轴
.
①
定义
:
规定了原点、正方向和
_________
的直线
.
②
对应关系
:
数轴上的点与
_____
之间一一对应
.
单位长度
实数
(2)
直角坐标系
.
①
定义
:
在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条
数轴构成平面直角坐标系
,
简称直角坐标系
.
②
相关概念
:
数轴的正方向
:
水平放置的数轴
_____
的方向、竖直放
置的数轴
_____
的方向分别是数轴的正方向
.
向右
向上
x
轴或横轴
:
坐标轴
_____
的数轴
.
y
轴或纵轴
:
坐标轴
_____
的数轴
.
坐标原点
:
坐标轴的
__________.
③
对应关系
:
平面直角坐标系内的点与
___________
______
之间一一对应
.
水平
竖直
公共原点
O
有序实数对
(
x,y
)
④
公式
:
设平面直角坐标系中
,
点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),
线段
P
1
P
2
的中点为
P,
填表
:
两点间的距离公式
中点
P
的坐标公式
|P
1
P
2
|=_________________
_______________
2.
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点
P(x,y
)
是平面直角坐标系中的任意一点
,
在变换
φ
:____________
的作用下
,
点
P(x,y
)
对应到点
P′(x
′,
y′),
称
φ
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
,
简称
伸缩变换
.
【
即时小测
】
1.
函数
y=
ln|x
|
的图象为
(
)
【
解析
】
选
D.
函数
y=
ln|x
|
是偶函数
,
图象关于
y
轴对称
,
又
y=
lnx
在
(0,+
∞
)
上为增函数
,
故选
D.
2.
曲线
C
经过伸缩变换 后
,
对应曲线的方程
为
:x
2
+y
2
=1,
则曲线
C
的方程为
(
)
【
解析
】
选
A.
曲线
C
经过伸缩变换
①后
,
对应
曲线的方程为
x
′
2
+y
′
2
=1
②
,
把①代入②得到
: +9y
2
=1.
【
知识探究
】
探究点
平面直角坐标系中点的位置
1.
平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点
?
提示
:
平面直角坐标系内的点
,
第一象限符号全正
,
第二象限横坐标为负
,
纵坐标为正
,
第三象限全负
,
第四象限横坐标为正
,
纵坐标为负
,
即一三同号
,
二四异号
.
2.
伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗
?
提示
:
不一定
.
伸缩变换对原点的位置没有影响
.
但是会改变除原点外的点的坐标和位置
,
但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限
.
【
归纳总结
】
1.
平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台
.
建立平面直角坐标系
,
常常利用垂直直线为坐标轴
,
充分利用图形的对称性等特征
.
2.
伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换
,
以及曲线的伸缩变换
,
曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化
,
通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系
.
特别提醒
:
实数与数轴上的点是一一对应的
,
所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置
.
类型一
坐标法求轨迹方程
【
典例
】
已知△
ABC
的边
AB
长为
2a,
若
BC
的中线为定长
m,
求顶点
C
的轨迹方程
.
【
解题探究
】
求轨迹方程的一般步骤是什么
?
提示
:
建系
-
设点
-
列条件
-
得方程、整理
.
【
解析
】
由题意
,
以线段
AB
的中点为原点
,AB
边所在的
直线为
x
轴建立直角坐标系
,
如图所示
,
则
A(-a,0),B(a,0).
设
C(x,y
),
则线段
BC
的中点为
因为
|AE|=m,
所以
化简得
(x+3a)
2
+y
2
=4m
2
.
由于点
C
在直线
AB
上时
,
不能构成三角形
,
故去掉曲线与
x
轴的两个交点
,
从而所求的轨迹方程是
(x+3a)
2
+y
2
=4m
2
(y≠0).(
建系不同
,
轨迹方程不同
)
【
方法技巧
】
1.
建立平面直角坐标系的技巧
(1)
如果平面几何图形有对称中心
,
可以选对称中心为坐标原点
.
(2)
如果平面几何图形有对称轴
,
可以选择对称轴为坐标轴
.
特别提醒
:
建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上
.
2.
运用解析法解决实际问题的步骤
(1)
建系
——
建立平面直角坐标系
.
建系原则是利于运用已知条件
,
使表达式简明
,
运算简便
.
因此
,
要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴
.
(2)
建模
——
选取一组基本量
,
用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程
.
(3)
运算
——
通过运算
,
得到所需要的结果
.
(4)
回归
——
回归到实际问题作答
.
【
变式训练
】
1.
已知点
(5-m,3-2m)
不在第四象限
,
求实数
m
的取值范围
.
【
解析
】
若点
(5-m,3-2m)
在第四象限
,
则
5-m>0,
且
3-2m
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