专题 07 数列 （新高考地区专用）-2021届高三《新题速递·数学》5月刊（适用于高考复习）（解析版）

专题 07 数列 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班 级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 2a  ，且 3 32 2S a  ，则 公比 q  （ ） A． 1 2 B．2 C．3 D． 1 3 【答案】B 【详解】 由 3 32 2S a  得 3 2 1 2 0a a a    ， 又 1 2a  ，∴ 2 2 0q q   ， 即  2 1 0q q   ， ∴ 2q = 或 1q   (舍去). 故选：B 2．（2021·河南安阳市·高三一模（理））已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 11 22S  ，则 4 12 3 1 2 2a a  （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】 因为等差数列 na 中，  1 11 11 11 222 a aS   ， 所以 1 1 1 4a a  ， 则    4 12 1 1 1 6 1 11 3 1 3 13 11 2 10 2 42 2 2 2a a a d a d a d a a a           . 故选：B. 3．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 7 3 649, 3S a a  ，则 nS 取 最大值时的 n 为（ ） A． 7 B．8 C．14 D．15 【答案】A 【详解】 由题可知，   4 1 7 7 7 7 49,2 a aS a    则 4 7a  ， 又 3 63a a ， 7 3(7 2 ),d d   则 2d   ， 则 4 ( 4) 2 15,na a n d n      因此 7 80 , 0a a  ，故 nS 取最大值时的 n 值为 7 故选：A. 4．（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））在正项等比数列 na 中，若 5 3a  ，则 3 1 3 2 3 3 3 9log log log loga a a a    （ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【详解】 3 1 3 2 3 3 3 9log log log loga a a a     3 1 2 9log a a a   9 9 3 5 3log log 3 9a   . 故选：C 5．（2021·陕西西安市·高三二模（文））等差数列 na 中， 1 2020a  ，前 n 项和为 nS ，若 1012 212 10 SS    ， 则 2020S  （ ） A．1010 B．2020 C．1011 D．2021 【答案】B 【详解】 依题意 1012 212 10 SS    ， 即 1 112 66 10 45 212 10 a d a d    ， 即11 9 22 2d d d    ， 所以  2020 2020 20192020 2020 22S       2020 2020 2020 2019 2020 2020 2019 2020        . 故选：B 6．（2021·山东高三其他模拟）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩 二(除以 3 余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的 正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 na ，则满足 2021na  的正整数 n 的最小值为（ ） A．132 B．135 C．136 D．138 【答案】C 【详解】 由题意归纳可知，数列为 8，23，38，…， 即所求数列是首项为 8 公差为 15 的等差数列， 故  8 15 1 15 7na n n     ， 令15 7 2021n   ，解得 1135 5n  ， 所以 n 的最小值为 136. 故选：C 7．（2021·浙江高三二模）已知实数 , ,x y z 满足 0 x y z     ，且sin x ，sin y ，sin z 可以按照某个顺 序排成等差数列，则（ ） A． sin x 不可能是等差中项 B． sin y 不可能是等差中项 C．sin z 不可能是等差中项 D． sin x ，sin y ，sin z 都可能是等差中项 【答案】D 【详解】 若sin x 是等差中项，则由 2sin sin siny x z  ， 此时sin sin siny x z  或sin sin sinz x y  ，如图（2）所示，所以 A 不正确； 若sin y 是等差中项，则由 2sin sin siny x z  ， 此时sin sin sinx y z  或sin sin sinz y x  ，如图（1）所示，所以 B 不正确； 若sin z 是等差中项，则由 2sin sin sinz x y  ， 此时sin sin sinx z y  或sin sin siny z x  ，如图（3）所示，所以 C 不正确； 所以 sin x ，sin y ， sin z 都可能是等差中项. 故选：D. 图（1） 图（2） 图（3） 8．（2021·陕西宝鸡市·高三其他模拟（文））已知数列 na 的前 n 项和为 2 3n nS   ，则此数列奇数项的前 m 项和为（ ） A． 9 9 4 4 m  B． 5 9 4 4 m  C． 19 9 4 4 m  D． 13 9 4 4 m   【答案】B 【详解】 当 2n… 时，    1 1 1 2 3 2 3 2 3n n n n n na S S            ，因为当 n=1 时， 1 1a   不满足，所以数列 na 从第二项开始成等比数列，又 3 18a   ， 则数列 na 的奇数项构成的数列的前 m 项和 mT   118 1 9 5 911 9 4 4 m m     . 故选:B. 二、、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有 选错的得 0 分) 9．（2021·山东济南市·高三二模）已知数列 na 中， 1 1a  ， 1 2n n na a   ， n +N ，则下列说法正确的 是（ ） A． 4 4a  B． 2na 是等比数列 C． 1 2 2 1 2n n na a    D． 1 2 1 2 2n n na a     【答案】ABC 【详解】 因为 1 1a  ， 1 2n n na a   ， 所以 2 3 42, 2, 4a a a   ， 由 1 2n n na a   可得 1 1 2 2n n na a     ， 所以 2 2n n a a   ， 所以 2na ， 2 1na  分别是以 2,1 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 1 1 1 2 2 12 2 2 , 1 2 2n n n n n na a         ， 所以 1 2 2 1 2n n na a    ， 1 1 2 1 2 3 2 2n n n na a        ， 综上可知，ABC 正确，D 错误. 故选：ABC 10．（2021·全国高三其他模拟）已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，且 2 20a  ， 7 98S  ，则（ ） A． 1 5 34a a  B． 8 9a a C． 9nS S D．满足 0nS  的 n 的最小值为 17 【答案】AD 【详解】 因为  1 7 7 4 7 7 982 a aS a    ，所以 4 14a  . 又 2 20a  ，所以 1 5 2 4 34a a a a    ，A 选项正确； 设等差数列 na 的公差为 d ，由 4 2 2 6a a d    ，解得 3d   ， 所以    2 2 3 26 3na a n n       . 8 26 3 8 2a     ， 9 26 3 9 1a      . 所以 8 9a a ，B 选项不正确； 由 3d   知数列 na 为递减数列，又 8 2 0a   ， 9 1 0a    . 所以 8S 为 nS 的最大值，C 选项不正确； 因为    1 16 16 8 9 16 8 8 02 a aS a a      ，  1 17 17 9 17 17 17 02 a aS a       . 所以满足 0nS  的 n 的最小值为 17，D 选项正确. 故选 AD． 11．（2020·扬州大学附属中学东部分校高二月考）设等比数列 na 的公比为 q,其前 n 项和为 nS ,前 n 项积为 nT ,并满足条件 1 2019 20201, 1a a a  , 2019 2020 1 01 a a   ,下列结论正确的是( ) A．S2019