专题07 翻转折叠问题（精练）-中考数学高频考点突破（解析版）

一、选择题（10×3=30 分） 1. （2018 吉林）（2.00 分）如图，将 △ ABC 折叠，使点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN，若 AB=9， BC=6，则 △ DNB 的周长为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 2. 如图，在 △ ABC 中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC 于 D，点 E、F 分别在 AB、AC 边上，把 △ ABC 沿 EF 折叠，使点 A 与点 D 恰好重合，则 △ DEF 的周长是（ ） A． 14 B． 15 C． 16 D． 17 解：由折叠的性质可得， △ AEF≌△DEF，EF 为 △ ABC 的中位线， ∵AB=10，AC=8，BC=12， ∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6， ∴△DEF 的周长=5+4+6=15． 故选 B． 3. （2018•聊城）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在 △ ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如 果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ） A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β 4. 如图，Rt △ ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将 △ ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN， 则线段 BN 的长为（ ） A． B． C．4 D．5 解：设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9﹣x， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD=3， 在 Rt △ ABC 中，x2++32=（9﹣x）2， 解得 x=4． 故线段 BN 的长为 4． 故选：C．学科&网 5. （2017 浙江衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6，将 △ ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使 △ ABC 落在 △ ACE 的位置， ∴AE=AB，∠E=∠B=90°， 又∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AB=CD， ∴AE=DC， 而∠AFE=∠DFC， ∵在 △ AEF 与 △ CDF 中， ， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF=DF； ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt △ AEF≌Rt △ CDF， ∴FC=FA， 设 FA=x，则 FC=x，FD=6﹣x， 在 Rt △ CDF 中，CF2=CD2+DF2，即 x2=42+（6﹣x）2，解得 x= ， 则 FD=6﹣x= ． 故选：B． 6. （2017 内蒙古赤峰）如图，将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A 恰好落在对角线的交点 O 处， 若折痕 EF=2 ，则∠A=（ ） A．120° B．100° C．60° D．30° 【解答】解： 连接 AC， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∵A 沿 EF 折叠与 O 重合， ∴EF⊥AC，EF 平分 AO， ∵AC⊥BD， ∴EF∥BD， ∴E、F 分别为 AB、AD 的中点， ∴EF 为 △ ABD 的中位线， ∴EF=BD， ∴BD=2EF=4 ， ∴BO=2 ， ∴AO= =2， ∴AO= AB， ∴∠ABO=30°， ∴∠BAO=60°， ∴∠BAD=120°． 故选 A． 7. （2018 广西贵港）（3.00 分）如图，将矩形 ABCD 折叠，折痕为 EF，BC 的对应边 B'C′与 CD 交于点 M， 若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为（ ） A．70° B．60° C．50° D．80° 【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得 到 180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF 的度数． 8. （2017 乌鲁木齐）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后， 使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕 EF 的长为（ ） A．1 B． C．2 D． 【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE． ∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°， ∴∠GFE=60°． ∵AF∥GE，∠AFG=60°， ∴∠FGE=∠AFG=60°， ∴ △ GEF 为等边三角形， ∴EF=GE． ∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°， ∴∠HGE=30°． 在 Rt △ GHE 中，∠HGE=30°， ∴GE=2HE=CE， ∴GH= = HE= CE． ∵GE=2BG， ∴BC=BG+GE+EC=4EC． ∵矩形 ABCD 的面积为 4 ， ∴4EC• EC=4 ， ∴EC=1，EF=GE=2． 故选 C． 9. （2018 广西桂林）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 的边上，且 DM=1， △ AEM 与 △ ADM 关于 AM 所在的直线对称，将 △ ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到 △ ABF，连接 EF，则线段 EF 的长 为（ ） A．3 B． C． D． 【解答】解：如图，连接 BM． ∵△AEM 与 △ ADM 关于 AM 所在的直线对称， ∴AE=AD，∠MAD=∠MAE． ∵△ADM 按照顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到 △ ABF， ∴AF=AM，∠FAB=∠MAD． ∴∠FAB=∠MAE ∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE=∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF=BM． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC=CD=AB=3． ∵DM=1， ∴CM=2． ∴在 Rt △ BCM 中，BM= = ， ∴EF= ， 故选：C．学科&网 设 MG=x，则 EH=3x，DG=1+x=AH， ∴Rt △ AEH 中，（1+x）2+（3x）2=32， 解得 x1= ，x2=﹣1（舍去）， ∴EH= =BN，CG=CM﹣MG= =EN， 又∵BF=DM=1， ∴FN= ， ∴Rt △ AEN 中，EF= = ， 故选：C． 10. （2017 毕节）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，且∠EAF=45°，将 △ ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使点 E 落在点 E'处，则下列判断不正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com A． △ AEE′是等腰直角三角形 B．AF 垂直平分 EE' C． △ E′EC∽△AFD D． △ AE′F 是等腰三角形 【考点】R2：旋转的性质；KG：线段垂直平分线的性质；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形； LE：正方形的性质；S8：相似三角形的判定． 【解答】解：∵将 △ ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使点 E 落在点 E'处， ∴AE′=AE，∠E′AE=90°， ∴△AEE′是等腰直角三角形，故 A 正确； ∵将 △ ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，使点 E 落在点 E'处， ∴∠E′AD=∠BAE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=90°， ∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠E′AD+∠FAD=45°， ∴∠E′AF=∠EAF， ∵AE′=AE， ∴AF 垂直平分 EE'，故 B 正确； ∵AF⊥E′E，∠ADF=90°， ∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF， ∴∠FE′E=∠DAF， ∴△E′EC∽△AFD，故 C 正确； ∵AD⊥E′F，但∠E′AD 不一定等于∠DAE′， ∴△AE′F 不一定是等腰三角形，故 D 错误； 故选 D． 二、填空题（6×4=24 分）. 11. （2017 甘肃天水）如图所示，在矩形 ABCD 中，∠DAC=65°，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F， 将 △ BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处，则∠AFC′= ． 【解答】解：∵矩形 ABCD，∠DAC=65°， ∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°， ∵△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处， ∴四边形 BCEC′是正方形， ∴∠BEC=45°， 由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°， 由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°， ∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°． 故答案为：40°． 12. （2017 山东滨州）如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的 E 处，EQ 与 BC 相交于点 F，若 AD=8，AE=4，则 △ EBF 周长的大小为 ． 【分析】设 AH=a，则 DH=AD﹣AH=8﹣a，通过勾股定理即可求出 a 值，再根据同角的余角互补可得出∠ BFE=∠AEH，从而得出 △ EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论． 13. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将 △ AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到 △ A′EF，则 A′C 的长的最小值是 ． 【分析】连接 CE，根据折叠的性质可知 A′E=1，在 Rt △ BCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度，再利用三 角形的三边关系可得出点 A′在 CE 上时，A′C 取最小值，最小值为 CE﹣A′E= ﹣1，此题得解． 【解答】解：连接 CE，如图所示． 根据折叠可知：A′E=AE= AB=1． 在 Rt △ BCE 中，BE= AB=1，BC=3，∠B=90°， ∴CE= = ． ∵CE= ，A′E=1， ∴点 A′在 CE 上时，A′C 取最小值，最小值为 CE﹣A′E= ﹣1． 故答案为： ﹣1． 14. （2017 年江苏扬州）如图，把等边 △ A BC 沿着 D E 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处，且 DP ⊥BC，若 BP=4cm，则 EC= cm．【来源：21·世纪·教育·网】 【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到 BD=8cm， PD=4 cm，根据折叠的性质得到 AD=PD=4 cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论． ∴BC=（8+4 ）cm， ∴PC=BC﹣BP=（4+4 ）cm， ∵∠EPC=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠PEC=90°， ∴CE= PC=（2+2 ）cm， 故答案为：2+2 ．学科&网 15. （2018·山东泰安·3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落 在 A'处，若 EA'的延长线恰好过点 C，则 sin∠ABE 的值为 ． 【分析】先利用勾股定理求出 A'C，进而利用勾股定理建立方程求出 AE，即可求出 BE，最后用三角函数即 可得出结论． 在 Rt △ ABE 中，根据勾股定理得，BE= =2 ， ∴sin∠ABE= = ， 故答案为： ． 16. （2017•营口）在矩形纸片 ABCD 中，AD=8，AB=6，E 是边 BC 上的点，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当 △ EFC 为直角三角形时，BE 的长为 ． 【分析】由 AD=8、AB=6 结合矩形的性质可得出 AC=10， △ EFC 为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90° 时，可得出 AE 平分∠BAC，根据角平分线的性质即可得出 = ，解之即可得出 BE 的长度；②当∠ FEC=90°时，可得出四边形 ABEF 为正方形，根据正方形的性质即可得出 BE 的长度． 【解答】解：∵AD=8，AB=6，四边形 ABCD 为矩形， ∴BC=AD=8，∠B=90°， ∴AC= =10． △ EFC 为直角三角形分两种情况： ②当∠FEC=90°时，如图 2 所示． ∵∠FEC=90°， ∴∠FEB=90°， ∴∠AEF=∠BEA=45°， ∴四边形 ABEF 为正方形， ∴BE=AB=6． 综上所述：BE 的长为 3 或 6． 故答案为：3 或 6． 三、解答题（共 46 分）. 17. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠C=90°， △ ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处． （1）求证： △ BDE∽△BAC； （2）已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度． 证明：（1）∵∠C=90°， △ ACD 沿 AD 折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； 18. （2018·湖北省宜昌·11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把 △ PBC 沿直线 PC 折叠， 顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BE⊥CG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F． （1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证： △ AEB≌△DEC； （2）如图 2，①求证：BP=BF； ②当 AD=25，且 AE＜DE 时，求 cos∠PCB 的值； ③当 BP=9 时，求 BE•EF 的值． 【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=DC， ∵E 是 AD 中点，∴AE=DE， 在 △ ABE 和 △ DCE 中， ，∴△ABE≌△DCE（SAS）； （2）①在矩形 ABCD，∠ABC=90°， ∵△BPC 沿 PC 折叠得到 △ GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC， ∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF； ②当 AD=25 时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°， ∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE， ∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴ ， 设 AE=x，∴DE=25﹣x，∴ ，∴x=9 或 x=16， ∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15， 由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG， ∴△ECF∽△GCP，∴ ，设 BP=BF=PG=y，∴ ，∴y= ， ∴BP= ，在 Rt △ PBC 中，PC= ，cos∠PCB= = ； ③如图，连接 FG， ∵∠GEF=∠BAE=90°， ∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF 是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE， ∴△GEF∽△EAB，∴ ，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108． 19. （2018 湖南郴州）（12.00 分）在矩形 ABCD 中，AD＞AB，点 P 是 CD 边上的任意一点（不含 C，D 两端点），过点 P 作 PF∥BC，交对角线 BD 于点 F． （1）如图 1，将 △ PDF 沿对角线 BD 翻折得到 △ QDF，QF 交 AD 于点 E． 求证： △ DEF 是等腰三角形； （2）如图 2，将 △ PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到 △ P'DF'，连接 P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）． ①若 0°＜α＜∠BDC，即 DF'在∠BDC 的内部时，求证： △ DP'C∽△DF'B． ②如图 3，若点 P 是 CD 的中点， △ DF 'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tan∠DBF'的值，如果不 能，请说明理由． 【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ， ∵PF∥BC， ∴∠DFP=∠ADF， ∴∠DFQ=∠ADF， ∴△DEF 是等腰三角形， ②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF= BD， ∴ = ， ∴tan∠DBF′= = ， 当∠DBF′=90°， 此时 DF′是斜边， 即 DF′＞DB，不符合题意， 当∠DF′B=90°时，如图所示， ∵DF′=DF= BD， ∴∠DBF′=30°， ∴tan∠DBF′= 20. (2018 四川省绵阳市)如图，已知 △ ABC 的顶点坐标分别为 A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。动点 M， N 同时从 A 点出发，M 沿 A→C,N 沿折线 A→B→C，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达 终点 C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为 t 秒。连接 MN。 （1）求直线 BC 的解析式； （2）移动过程中，将 △ AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 恰好落在 BC 边上点 D 处，求此时 t 值及点 D 的坐标； （3）当点 M,N 移动时，记 △ ABC 在直线 MN 右侧部分的面积为 S，求 S 关于时间 t 的函数关系式。 （2）解：依题可得：AM=AN=t， ∵△AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 与点点 D 重合， ∴四边形 AMDN 为菱形， 作 NF⊥x 轴，连接 AD 交 MN 于 O′， ∵A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3,OB=4， ∴AB=5, ∴M（3-t，0）， 设 D（x,y）, ∴ =3- t， = t， ∴x=3- t,y= t， ∴D（3- t， t）， 又∵D 在直线 BC 上， ∴ ×（3- t）+4= t， ∴t= ， ∴D（- ， ）. （3）①当 0