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15.2 分式的运算
1．分式的乘除
(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：·＝.
(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为：÷＝·＝.
分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．
【例1】 计算：(1)·；
(2)÷；
(3)·；
(4)÷(4x2－y2)．
解：(1)·＝＝；
(2)÷
＝·
＝＝；
(3)·
＝·
＝
＝；
(4)÷(4x2－y2)
＝·
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＝.
2．分式的乘方
(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
(2)用式子表示：＝.
解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．
【例2】 计算：
(1)；(2).
解：(1)＝＝；
(2)＝＝＝－.
3．分式的加减
(1)同分母分式相加减：
①法则：分母不变，把分子相加减；
②用式子表示：±＝.
(2)异分母分式相加减：
①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；
②用式子表示：±＝±＝.
警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；
(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；
(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．
【例3】 计算：
(1)＋；
(2)－；
(3)－＋；
(4)＋；
(5)－；
(6)－a－2.
解：(1)＋
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＝
＝＝
＝；
(2)－＝＋
＝＝＝；
(3)－＋
＝－＋
＝
＝
＝＝；
(4)＋＝－
＝－
＝
＝
＝－；
(5)－
＝－
＝＝
＝－；
(6)－a－2＝－(a＋2)
＝－＝－
＝＝
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＝－.
4．整数指数幂
一般地，当n是正整数时，a－n＝(a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am÷an＝am－n，am·a－n＝am＋(－n)＝am－n，因此am÷an＝am·a－n.
特别地，＝a÷b＝a·b－1，所以＝(a·b－1)n，即商的乘方可以转化为积的乘方(a·b－1)n.
这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：
(1)am·an＝am＋n(m，n是整数)；
(2)(am)n＝amn(m，n是整数)；
(3)(ab)n＝anbn(m，n是整数)．
【例4】 计算：
(1)；
(2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1.
解：(1)＝＝＝；
(2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1＝a2b－3·a－3b3·ab＝a0b＝b.
5．科学记数法
(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数整数部分的位数减1；
(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a|＜10.
提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．
【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：
(1)650 000；
(2)－36 900 000；
(3)0.000 002 1；
(4)－0.000 006 57.
解：(1)650 000＝6.5×105；
(2)－36 900 000＝－3.69×107；
(3)0.000 002 1＝2.1×10－6；
(4)－0.000 006 57＝－6.57×10－6.
6．分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．
谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，
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有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．
7．分式的混合运算
分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．
解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．
8．把分式化简后再求值
分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．
【例6】 计算：÷(x－1)2·.
分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式．
解：÷(x－1)2·
＝··
＝－.
【例7】 计算：·.
解：原式＝·
＝·
＝·
＝·
＝·
＝.
【例8】 先化简，再求值：·，其中x＝－3.
解：原式＝·
＝＝＝＝x＋2.
当x＝－3时，原式＝－3＋2＝－1.
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9.运用分式运算解决实际问题
运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．
作差法举例：若x≠y且x＞0，y＞0，比较与的大小．
解：－＝＝.
因为x≠y，x＞0，y＞0.
所以＜0，即＜.
【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？
解：设甲每小时生产这种零件x个，则乙每小时生产这种零件(x－8)个，甲完成任务需要时间为小时，乙完成任务需要时间为小时．
－＝＝.
∵x＞8，∴x－8＞0，∴x(x－8)＞0.
故当x＞56时，－＞0；
当x＝56时，－＝0；
当x＜56时，－＜0.
所以若甲每小时生产零件多于56个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于56个且多于8个，则甲先完成任务．
10．分式混合运算的开放型题
运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．
举例：已知P＝，Q＝，用“＋”或“－”连接P，Q共有三种不同的形式：P＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2.
【例10】 已知A＝，B＝，C＝.将它们组合成(A－B)÷C或A－B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x＝3.
解：选一：(A－B)÷C＝÷
＝×＝，
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当x＝3时，原式＝＝1.
选二：A－B÷C＝－÷
＝－×
＝－＝＝，
当x＝3时，原式＝.
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