1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理刷题课件（共29张PPT）高二下学期数学人教A版选修2-3

数学 选修2-2、 2-3 RJA 题型1 分类加法计数原理的应用 解析 刷基础 1．有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师，在数学测验时要求每位教师不能在本 班监考，则监考的方法有(  ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班级分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考 剩下的三个班，共有3种不同的方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同的方法．由分类加法 计数原理得，监考方法共有3＋3＋3＝9(种)． B 1.1 解析 刷基础 2．[北京2019一轮复习专项训练]在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用 红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后， 既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为(  ) A．14 B．16 C．18 D．20 红色用1次，有6种方法；红色用2次，有10种方法；红色用3次，有4种方法．由分类加法计数原 理可知共20种，故选D. D 1.1 题型1 分类加法计数原理的应用 . . . . . . 解析 刷基础 3．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只 有一个元素时，C的情况有________种． 分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种． ∵集合A与集合B无公共元素，∴集合C的情况共有3＋4＝7(种)． 7 1.1 题型1 分类加法计数原理的应用 题型2 分步乘法计数原理的应用 解析 刷基础 4．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数为 (  ) A．81 B．64 C．14 D．12 对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放 法，即每个小球都有4种不同的放法，根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种放法，故选B. B 1.1 解析 刷基础 5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(   ) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 要完成这件事可分两步，第一步确定b，且b≠0，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分 步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数，故选C. C 1.1 题型2 分步乘法计数原理的应用 解析 刷基础 6．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不 同选法的种数是(  ) A．81 B．64 C．48 D．24 每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A. A 1.1 题型2 分步乘法计数原理的应用 解析 刷基础 7．[浙江杭州萧山一中2019高二月考]5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的 一个小组，则不同的报名方法共有(  ) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32种，故选D. D 1.1 题型2 分步乘法计数原理的应用 题型3 两个计数原理的综合应用 刷基础 8．[2019高二第一次月考]如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时 验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色， 相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(  ) A．120 B．260 C．340 D．420 D 1.1 解析 刷基础 如图，若区域①与③颜色相同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域④有3种涂法，区域⑤ 有3种涂法，由分步乘法计数原理可知不同的涂色方案有5×4×3×3＝180种； 若区域①与③颜色不同．区域①有5种涂法，区域②有4种涂法．区域③有3种涂法，区域④有2种 涂法，区域⑤有2种涂法，由分步乘法计数原理可知不同的涂色方案有5×4×3×2×2＝240种． 综上，由分类加法计数原理可知不同的涂色方案种数为180＋240＝420.故选D. 1.1 题型3 两个计数原理的综合应用 刷基础 9．某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动．节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两 位，节目乙不能排在第一位，节目，丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案 共有________种． 10 1.1 解析 由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类： ①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6(种)编排方案；  ②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共 有2×2×1＝4(种)编排方案． 故编排方案共有6＋4＝10(种)． 题型3 两个计数原理的综合应用 刷基础 10．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的 (1)密码箱的四位密码； (2)比2 000大的四位偶数． 1.1 (1)分步解决． 第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)． 解 题型3 两个计数原理的综合应用 刷基础 1.1 (2)方法一：按个位是0，2，4分为三类． 第一类：个位是0的有4×4×3＝48个；第二类：个位是2的有3×4×3＝36个；第三类：个位是4的 有3×4×3＝36个． 则由分类加法计数原理得比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120个． 方法二：按千位是2，3，4，5分四类． 第一类：千位是2的有2×4×3＝24个；第二类：千位是3的有3×4×3＝36个；第三类：千位是4的 有2×4×3＝24个；第四类：千位是5的有3×4×3＝36个． 则由分类加法计数原理得比2 000大的四位偶数有24＋36＋24＋36＝120个． 方法三(间接法)：用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数，第一类：个位数是0的 有5×4×3＝60个；第二类：个位数是2或4的有2×4×4×3＝96个，共有60＋96＝156个．其中比 2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36个，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120个． 题型3 两个计数原理的综合应用 易错点 计数时出现“重复”或“遗漏” 解析 刷易错 11．某外语小组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语．从中 选出会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组，有________种选法． 因为7＋3－9＝1，所以外语小组9人中有1人既会英语又会日语．共分三类：①当既会英语又会日 语的人被当作会英语的人时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；②当既会英语又会日语的人 被当作会日语的人时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；③当既会英语又会日语的人没被选 出时，则需从只会日语和只会英语的人中各选出一人，有2×6＝12(种)方法，故共有2＋6＋12＝ 20(种)选法． 20 1.1 易错点 计数时出现“重复”或“遗漏” 解析 刷易错 12．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号， 顺序不同也表示不同的信号，共可以组成________种不同的信号． 每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9(种)不同的信号；每次升3面旗可 组成3×3×3＝27(种)不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39(种)不同的信 号． 39 1.1 易错警示 求解时，易忽略信号可分为每次升1面、每次升2面、每次升3面这三类．解决此类问题一般是先分 类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间 的连续性． 解析 刷能力 1．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是(   ) A．15 B．12 C．5 D．4 分情况讨论： ①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况； ②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况； ③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对 (x，y)的个数是6＋5＋4＝15. A 1.1 解析 刷能力 2．[辽宁大连2019模拟]把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒 子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(  ) A．18种 B．9种 C．6种 D．3种 由于1号球不放入1号盒子，则1号球有2，3，4号盒子3种选择，则2号球有3种选择， 3号球还剩2 种选择， 4号球只有1种选择． 根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法3×3×2×1＝18(种)．故选A. A 1.1 解析 刷能力 3．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻， 这样的四位数的个数为(  ) A．12 B．18 C．24 D．30 分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用了2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排 在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置 上，有2种方法，故有3×3×2＝18个不同的四位数． B 1.1 解析 刷能力 4．[安徽合肥2018三模]如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色， 现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为(  ) A．24 B．48 C．96 D．120 若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法， 共有4×3×2×1＝24种；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂 法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝ 72种．根据分类加法计数原理可得，共有24＋72＝96种，故选C. C 1.1 解析 刷能力 5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真 数，则可以得到不同对数值的个数为(  ) A．64 B．56 C．53 D．51 由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0.从除1外的其余 各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8×7＝56(个)对数式，其中，log24＝log39， log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为1＋ 56-4＝53.故选C. C 1.1 解析 刷能力 6．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今 发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(  ) A．9种 B．11种 C．13种 D．15种 按焊接点脱落的个数分类：脱落1个，有(1)，(4)，共2种； 脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种； 脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种； 脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种． 由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13种，故选C. C 1.1 解析 刷能力 7．甲，乙，丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天 且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有________种． 分三类： 若甲在周一，则乙，丙有4×3＝12种排法； 若甲在周二，则乙，丙有3×2＝6种排法； 若甲在周三，则乙，丙有2×1＝2种排法． 所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种． 20 1.1 解析 刷能力 8．甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校 三好学生代表大会，共有________种推选方法． 分为三类： ①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15(种)选法； ②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(种)选法； ③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10(种)选法． 综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31(种)推选方法． 31 1.1 解析 刷能力 9．[广东佛山二中2019高二第三次月考]如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格 子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法 共有________种．(用数字作答) 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，若第三个格子与第一个格子同色，则有6×5×5＝150种 涂色方法；若第三个格子与第一个格子不同色，则有6×5×4×4＝480种涂色方法．综上，共有 150＋480＝630种涂色方法． 630 1.1 刷能力 10．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某 厂进行社会实践活动． (1)任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ (2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？ (3)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 1.1 解 刷能力 (1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7 种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法．由分类加法计数原理，知共有6 ＋7＋8＝21(种)不同的选法． (2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7 种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法．由分步乘法计数原理，共有 6×7×8＝336(种)不同的选法． (3)分三类，每类又分两步．第一类，从高一、高二两个年级中各选1个班，有6×7＝42(种)不同的 选法；第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有6×8＝48(种)不同的选法；第三类，从高 二、高三年级各选1个班，有7×8＝56(种)不同的选法．故共有42＋48＋56＝146(种)不同的选 法． 1.1 刷能力 11．如图所示的A，B，C，D按照下列要求涂色． 1.1 (1)用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂 色，有多少种不同的涂色方案？ (2)若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的 涂色方案？ (3)若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同 的涂色方案？ 解 刷能力 (1)涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理知将A，B，C，D 四个区域涂色共有3×2×2×2＝24种不同的涂色方案． (2)恰用3种不同颜色涂四个区域则A，C区域或A，D区域或B，D区域必同色．由加法计数原理可 得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18种不同涂色的方案． (3)若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜 色中任取2种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共2种不同的涂法．由 分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域，共有3×2＝6种不同的涂色方案． 1.1