10.3.1频率的稳定性课时练习高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第十章概率

10.3 频率与概率 10.3.1 频率的稳定性 知识点一 频率与概率 1.在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为m n ，当 n 很大时，P(A)与m n 的 关系是( ) A．P(A)≈m n B．P(A)m n D．P(A)＝m n 2．某人将一枚硬币连抛 10 次，正面朝上的情形出现了 6 次，若用 A 表示正 面朝上这一事件，则 A 的( ) A．概率为3 5 B．频率为3 5 C．频率为 6 D．概率接近 0.6 3．下列关于概率和频率的叙述中，正确的是( ) A．随机事件的频率就是概率 B．随机事件的概率是一个确定的数值，而随机事件的频率不是一个确定的数 值 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．概率是随机的，在试验前不能确定 知识点二 对概率的正确理解及简单应用 4.下列说法正确的是( ) A．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球，从中随机抽出 一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1000 张， 一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第六次依然可能正面朝上 5．经统计，某篮球运动员的投篮命中率为 90%，对此有人解释为其投篮 100 次一定有 90 次命中，10 次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由． 6．某理工院校一个班级有 60 人，男生人数为 57，把该班学生学号打乱，随 机指定一个学生，你认为这个学生是男生还是女生？ 知识点三 用频率估计概率 7.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高(单位： cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽 一人，估计该生的身高在 155.5～170.5 cm 之间的概率约为( ) A.2 5 B.1 2 C.2 3 D.1 3 8．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字 1～5 进行了标 记，投掷 100 次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表： 落在桌面的数字 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 估计落在桌面上的数字不小于 4 的概率约为________． 9．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部 门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率m n (1)计算表中乒乓球为优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保 留到小数点后三位) 10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的 使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 [500,900) 48 [900,1100) 121 [1100,1300) 208 [1300,1500) 223 [1500,1700) 193 [1700,1900) 165 1900 及以上 42 (1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1500 小时的概率． 11．把一枚质地均匀的硬币连续掷了 1000 次，其中有 496 次正面朝上，504 次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________． 易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而 概率是一个确定的常数，与每次的试验无关． 一、选择题 1．从一批电视机中随机抽出 10 台进行质检，其中有一台次品，下列说法正 确的是( ) A．次品率小于 10% B．次品率大于 10% C．次品率等于 10% D．次品率接近 10% 2．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌，其产品是优等品的概率为 90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取 10 件进行检验，结果前 9 件产品中有 8 件是优等品，1 件是非优等品，那么第 10 件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于 90% C．大于 90% D．无法确定 3．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为 0.5，那么连续两次抛掷 一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的 中奖概率为 1 10，那么买 10 张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中， 裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先 发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数 2 的概率是1 6 ，这说明一个骰子 掷 6 次会出现一次点数 2.其中不正确的说法是( ) A．①②③④ B．①②④ C．③④ D．③ 4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分 布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和 [25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现 从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是( ) A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 5．(多选)某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买， 则下列说法正确的是( ) 商品顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × A．估计顾客同时购买甲和丙的概率约为 0.3 B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为 0.2 C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 0.4 D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大 二、填空题 6．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2 个； [20,30)3 个；[30,40)x 个；[40,50)5 个；[50,60)4 个；[60,70]2 个．则 x 等于 ________；若用样本的频率估计概率，则数据落在[10,50)的概率约为________． 7．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 92 192 285 478 根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到 950 件合格品， 大约需抽查________件产品． 8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋 300 双，商场经理为考察其中各种尺 码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的 40 双皮鞋的尺码为一个样本，分为 5 组，已知第 3 组的频率为 0.25，第 1,2,4 组的频数分别为 6,7,9，若第 5 组表示 的是尺码为 40～42 的皮鞋，则售出的这 300 双皮鞋中尺码为 40～42 的皮鞋约为 ________双． 三、解答题 9．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类 电影的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好 评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影 的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样 本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 10．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设 两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率，求 C 的概率． 10.3 频率与概率 10.3.1 频率的稳定性 知识点一 频率与概率 1.在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为m n ，当 n 很大时，P(A)与m n 的 关系是( ) A．P(A)≈m n B．P(A)m n D．P(A)＝m n 答案 A 解析 根据概率的定义，当 n 很大时，频率是概率的近似值． 2．某人将一枚硬币连抛 10 次，正面朝上的情形出现了 6 次，若用 A 表示正 面朝上这一事件，则 A 的( ) A．概率为3 5 B．频率为3 5 C．频率为 6 D．概率接近 0.6 答案 B 解析 因为抛了 10 次硬币，正面朝上的情形出现了 6 次，我们说频率为3 5 ， 而不能说概率为3 5. 3．下列关于概率和频率的叙述中，正确的是( ) A．随机事件的频率就是概率 B．随机事件的概率是一个确定的数值，而随机事件的频率不是一个确定的数 值 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．概率是随机的，在试验前不能确定 答案 B 解析 随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故 A 错误；随机事 件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故 B 正确；频率是随 机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故 C， D 错误. 知识点二 对概率的正确理解及简单应用 4.下列说法正确的是( ) A．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球，从中随机抽出 一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1000 张， 一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第六次依然可能正面朝上 答案 D 解析 A 项，袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球，从 中随机抽出一个球，是红球的概率为5 6，故错误；B 项，天气预报“明天降水概率 为 10%”，是指明天有 10%的概率会下雨，故错误；C 项，某地发行一种福利彩票， 中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1000 张，可能会中奖，故错误；D 项，连 续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故正确． 5．经统计，某篮球运动员的投篮命中率为 90%，对此有人解释为其投篮 100 次一定有 90 次命中，10 次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由． 解 这种解释不正确．理由如下： 因为“投篮命中”是一个随机事件，投篮命中率为 90%，是指该运动员投篮 命中的概率，是一种可能性，就一次投篮而言，可能发生也可能不发生，而不是 说投篮 100 次就一定命中 90 次． 6．某理工院校一个班级有 60 人，男生人数为 57，把该班学生学号打乱，随 机指定一个学生，你认为这个学生是男生还是女生？ 解 从学号中随机抽出一个， 是男生的可能性为57 60 ＝95%， 要比是女生的可能性 3 60 ＝5%大得多， 因此随机指定一个，估计应是男生. 知识点三 用频率估计概率 7.从某校高二年级的所有学生中，随机抽取 20 人，测得他们的身高(单位： cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽 一人，估计该生的身高在 155.5～170.5 cm 之间的概率约为( ) A.2 5 B.1 2 C.2 3 D.1 3 答案 A 解析 从已知数据可以看出，在随机抽取的这 20 名学生中，身高在 155.5～ 170.5 cm 之间的学生有 8 人，频率为2 5 ，故在该校高二年级的所有学生中任抽一 人，估计其身高在 155.5～170.5 cm 之间的概率约为2 5 . 8．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字 1～5 进行了标 记，投掷 100 次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表： 落在桌面的数字 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 估计落在桌面上的数字不小于 4 的概率约为________． 答案 0.35 解析 落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为 35 100 ＝0.35，所以估计落在桌面上的数字不小于 4 的概率约为 0.35. 9．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部 门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示： 抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率m n (1)计算表中乒乓球为优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保 留到小数点后三位) 解 (1) 表 中 乒 乓 球 为 优 等 品 的 频 率 依 次 是 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，随着抽取的球数 n 的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都 在常数 0.950 的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率 约为 0.950. 10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的 使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 [500,900) 48 [900,1100) 121 [1100,1300) 208 [1300,1500) 223 [1500,1700) 193 [1700,1900) 165 1900 及以上 42 (1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1500 小时的概率． 解 (1)各组的频率依次是 0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足 1500 小时的频数是 48＋121＋208＋223＝600， 所以样本中寿命不足 1500 小时的频率是 600 1000 ＝0.6. 即灯管使用寿命不足 1500 小时的概率约为 0.6. 课时易错点 易错点 混淆概率与频率的概念 11．把一枚质地均匀的硬币连续掷了 1000 次，其中有 496 次正面朝上，504 次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________． 易错分析 由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而 概率是一个确定的常数，与每次的试验无关． 答案 0.5 正解 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在 0.5 附近摆动，故 可认为掷一次硬币，正面朝上的概率是 0.5，故填 0.5. 一、选择题 1．从一批电视机中随机抽出 10 台进行质检，其中有一台次品，下列说法正 确的是( ) A．次品率小于 10% B．次品率大于 10% C．次品率等于 10% D．次品率接近 10% 答案 D 解析 抽出的样本中次品率为 1 10 ，即 10%，所以总体中次品率大约为 10%. 2．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌，其产品是优等品的概率为 90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取 10 件进行检验，结果前 9 件产品中有 8 件是优等品，1 件是非优等品，那么第 10 件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于 90% C．大于 90% D．无法确定 答案 A 解析 概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关． 3．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为 0.5，那么连续两次抛掷 一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的 中奖概率为 1 10 ，那么买 10 张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中， 裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先 发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数 2 的概率是1 6 ，这说明一个骰子 掷 6 次会出现一次点数 2.其中不正确的说法是( ) A．①②③④ B．①②④ C．③④ D．③ 答案 A 解析 概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性， 因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的， 因此③错误． 4．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分 布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和 [25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现 从该批产品中随机抽取 1 件，则其为二等品的概率是( ) A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 答案 D 解析 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为 1 －5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为 0.25＋0.04×5＝ 0.45，故任取 1 件为二等品的概率为 0.45. 5．(多选)某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买， 则下列说法正确的是( ) 商品顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × A．估计顾客同时购买甲和丙的概率约为 0.3 B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为 0.2 C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 0.4 D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大 答案 BD 解析 从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 600 位顾客同时购买了甲和 丙，有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买甲和丙的概率可以估计 为 600 1000 ＝0.6，同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1000 ＝0.2.从统计表可以看出， 在这 1000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时 购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁 中同时购买 3 种商品的概率可以估计为100＋200 1000 ＝0.3.顾客同时购买甲和乙的概 率可以估计为 200 1000 ＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋300 1000 ＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 1000＝0.1，所以如果顾客购买了 甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大．故选 BD. 二、填空题 6．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2 个； [20,30)3 个；[30,40)x 个；[40,50)5 个；[50,60)4 个；[60,70]2 个．则 x 等于 ________；若用样本的频率估计概率，则数据落在[10,50)的概率约为________． 答案 4 0.7 解析 样本中数据总个数为 20，∴x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4；在[10,50) 中的数据有 14 个，故所求概率 P＝14 20 ＝0.7. 7．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 92 192 285 478 根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到 950 件合格品， 大约需抽查________件产品． 答案 1000 解 析 由 表 中 数 据 知 ， 抽 查 5 次 ， 产 品 合 格 的 频 率 依 次 为 0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可见频率在 0.95 附近摆动，故可估计该厂生产的 此种产品合格的概率约为 0.95.设大约需抽查 n 件产品，则950 n ≈0.95，所以 n≈1000. 8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋 300 双，商场经理为考察其中各种尺 码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的 40 双皮鞋的尺码为一个样本，分为 5 组，已知第 3 组的频率为 0.25，第 1,2,4 组的频数分别为 6,7,9，若第 5 组表示 的是尺码为 40～42 的皮鞋，则售出的这 300 双皮鞋中尺码为 40～42 的皮鞋约为 ________双． 答案 60 解析 因为第 1,2,4 组的频数分别为 6,7,9，所以第 1,2,4 组的频率分别为 6 40 ＝0.15， 7 40 ＝0.175， 9 40 ＝0.225.因为第 3 组的频率为 0.25，所以第 5 组的频率 是 1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，所以售出的这 300 双皮鞋中尺码为 40～ 42 的皮鞋约为 0.2×300＝60(双)． 三、解答题 9．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类 电影的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好 评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影 的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样 本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200＋800＋510＝ 2000， 获得好评的第四类电影的部数是 200×0.25＝50. 故所求概率为 50 2000 ＝0.025. (2) 由 题 意 知 ， 样 本 中 获 得 好 评 的 电 影 部 数 是 140×0.4 ＋ 50×0.2 ＋ 300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝ 372. 故所求概率估计为 1－ 372 2000 ＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 10．某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设 两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率，求 C 的概率． 解 记 CA1 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； CA2 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； CB1 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； CB2 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则 CA1 与 CB1 独立，CA2 与 CB2 独立，CB1 与 CB2 互斥， C＝CB1CA1＋CB2CA2. P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2) ＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2) ＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)． 由所给数据得 CA1，CA2，CB1，CB2 发生的频率分别为4 5 ，1 5 ，1 2 ，2 5 ，故 P(CA1)＝4 5 ，P(CA2) ＝1 5 ，P(CB1)＝1 2 ，P(CB2)＝2 5 ，P(C)＝1 2 ×4 5 ＋2 5 ×1 5 ＝0.48.