北京市八一学校高三年级期末模拟考试数学试卷

第 1 页 /共 4 页 北京市八一学校 2021 届高三年级期末模拟考试 学校:___________姓名：___________班级：______考号：___________ 注意：本试卷共 4 页，考试时长 120 分钟，满分 150 分。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 第一部分（选择题共 40分） 一、选择题（(本大题共 10 小题，共 40 分） 1. 已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为 A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数是 A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 5. 设 ，则“ ”是“直线 与直线 垂直”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 的展开式中 的系数为 A. B. C. 40 D. 80 7. 已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 若 ，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 第 2 页 /共 4 页 8. 设函数 ，则下列结论中正确的是 A. 对任意实数 a，函数 的最小值为 B. 对任意实数 a，函数 的最小值都不是 C. 当且仅当 时，函数 的最小值为 D. 当且仅当 时，函数 的最小值为 9. 已知 ，将 的图象向右平移 个单位，再向上平移 1个单位，得到 的图象．若对任意实数 x，都有 成立，则 A. B. 1 C. D. 0 10. 已知数列 满足： ， ，则下列关于 的判断正确的是 A. ， ，使得 B. ， ，使得 C. ， ，总有 )( nm  D. ， ，总有 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题（本大题共 5 小题，共 25 分） 11. 某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方 图 如图 则这 100 名同学中学习时间在 ～ 小时内的人数为________． 12. 已知向量 ， ， ， ，则 ________ 13. 设 为公比 的等比数列 的前 n 项和，且 ， ， 成等差数 列，则 ______， ______． 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学 成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点 距离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆 ，A，B 为椭圆 长轴的端点，C，D 为椭圆 短轴的端点，动点 M 满足 ， 的面积的最大值为 8， 的面积的最小值为 1，则椭圆 的离心率为______________． 第 3 页 /共 4 页 15. 已知点 ， ，若曲线 C 上存在点 P，使得 ，则称曲线 C 为“ 曲线”，给出下列曲线： ； ； ； ； 其中是“ 曲线”的所有序 号为____________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分） 16.（本小题 14 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 平面 ABC ， ， 1 1AA AB AC  ， 1CC 的中点为 H . （Ⅰ）求证： 1AB A C ； （Ⅱ）求二面角 1A BC A 的余弦值； （Ⅲ）在棱 1 1A B 上是否存在点 ，使得 ‖平面 1A BC ？若存在，求出 1 1 1 A N A B 的值；若不存在，请说明理由． 17．（本小题 14 分）已知 中，角 的对边分别为 ， ， ， _________.是否存在以 为边的三角形？如果存在，求出 的面积；若不存在，说明理由. 从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18.（本小题 14 分）体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度 单位： 平均在 之 间即为正常体温，超过 即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热： ； 高热： ；超高热 有生命危险 ： ．某位患者因患肺炎发热，于 12 日至 26 日住院治疗．医生根据 病情变化，从 14 日开始，以 3 天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者 每天上午 8：00 服药，护士每天下午 16：00 为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素 A”治疗 使用“抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温 抗生素使用情况 使用“抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温 Ⅰ 请你计算住院期间该患者体温不低于 的各天体温平均值； π 2 BAC  N HN ABC A B C， ， a b c，， 5a b  3c  , ,a b c ABC 1 cos 3 C  1 cos 3 C   2 2 sin 3 C  第 4 页 /共 4 页 Ⅱ 在 19 日 日期间，医生会随机选取 3 天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a 项目”的检查，记 X 为高热体温下做“a 项目”检查的天数，试求 X 的分布列与数学期望； Ⅲ 抗生素治疗一般在服药后 ～ 个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种 抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由． 19．（本小题 15 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点 分别是 、 ．以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射 线 交椭圆 于点 ． （ i ）求 的值； （ii）求△ 面积的最大值． 20．（本小题 15 分）已知函数   e ln 1xf x a x   ． Ⅰ 设 2x  是  f x 的极值点，求 a，并求  f x 的单调区间； Ⅱ 证明：当 1 e a≥ 时，   0f x ≥ ． Ⅲ 请写出函数  f x 的零点个数.（结论不需证明） 21.（本小题 13 分）设n为给定的不小于5的正整数，考察n 个不同的正整数 1a ， 2a ， ， na 构成的集合 1 2{ , , , }nP a a a ，若集合 P 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P 为“差异集合”． Ⅰ 分别判断集合 {1,3,8,13,23}A ，集合 {1,2,4,8,16}B  是否是“差异集合”；（只需写出结论） Ⅱ 设集合 1 2{ , , , }nP a a a 是“差异集合”，记 12 ( 1,2, , )i i ib a i n   ，求证：数列{ }ib 的前k 项和 0kD ≥ ( 1,2, , )k n ； Ⅲ 设集合 1 2{ , , , }nP a a a 是“差异集合”，求 1 2 1 1 1 na a a    的最大值． xOy C 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     3 2 1F 2F 1F 2F C C E 2 2 2 2 1 4 4 x y a b   P C P  y kx m E ,A B PO E Q | | | | OQ OP ABQ