1 / 73
幂的运算（基础）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
m n m na a a (其中 ,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项
式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即 m n p m n pa a a a （ , ,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来
的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m na a a （ ,m n 都
是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
( ) m n mna a (其中 ,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (( ) ) m n p mnpa a ( 0a ， , ,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： n mmn m na a a ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能
将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
( ) n n nab a b (其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得
的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ( ) n n n nabc a b c ( n 为正整数).
（2）逆用公式： nn na b ab 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到
底数互为倒数时，计算更简便.如：
10 10
101 12 2 1.2 2
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
2 / 73
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
（1） 2 3 44 4 4 ；（2） 3 4 5 2 62 2a a a a a a ；
（3） 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n m n mx y x y x y x y x y ．
【答案与解析】
解：（1）原式 2 3 4 94 4 ．
（2）原式 3 4 5 2 6 1 7 7 7 72 2 2 2a a a a a a a ．
（3）原式 1 1 2 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2( )n n m n m n m n m n mx y x y x y x y x y ．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法
则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中 a 的指数是 1．在
第（3）小题中把 x y 看成一个整体．
举一反三：
【变式】计算：
（1） 5 3 23 ( 3) ( 3) ；
（2） 2 2 1( ) ( )p p px x x （ p 为正整数）；
（3） 232 ( 2) ( 2)n （ n 为正整数）．
【答案】
解：（1）原式 5 3 2 5 3 2 5 3 2 103 ( 3) 3 3 3 3 3 3 ．
（2）原式 2 2 1 2 2 1 5 1( )p p p p p p px x x x x ．
（3）原式 5 2 5 2 1 6 22 2 ( 2) 2 2n n n ．
2、已知 22 20x ，求 2x 的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用： 2 22 2 2x x
【答案与解析】
解：由 22 20x 得 22 2 20x ．
3 / 73
∴ 2 5x ．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法
则的逆运用： m n m na a a ．
类型二、幂的乘方法则
3、计算：
（1） 2( )ma ；（2） 3 4[( ) ]m ；（3） 3 2( )ma ．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是 a ，（2）题中的底数是 m ，（3）题中的底
数 a 的指数是3 m ，乘方以后的指数应是 2(3 ) 6 2m m ．
【答案与解析】
解：（1） 2( )ma 2ma ．
（2） 3 4[( ) ]m 12 12( )m m ．
（3） 3 2( )ma 2(3 ) 6 2m ma a ．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底
数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
4、已知 2 5mx ，求 61 55
mx 的值．
【答案与解析】
解：∵ 2 5mx ，∴ 6 2 3 31 1 15 ( ) 5 5 5 205 5 5
m mx x ．
【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则： ( ) ( )mn m n n ma a a ．（2）本题培养了学生的整体思想和逆
向思维能力．
举一反三：
【变式 1】已知 2ax ， 3bx ．求 3 2a bx 的值．
【答案】
解： 3 2 3 2 3 2 3 2( ) ( ) 2 3 8 9 72a b a b a bx x x x x ．
【变式 2】已知8 4m ，8 5n ，求 3 28 m n 的值．
【答案】
解：因为 3 3 38 (8 ) 4 64 m m , 2 2 28 (8 ) 5 25 n n .
4 / 73
所以 3 2 3 28 8 8 64 25 1600 m n m n .
类型三、积的乘方法则
5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1） 2 2( )ab ab ； （2） 3 3 3(4 ) 64ab a b ； （3） 3 2 6( 3 ) 9x x ．
【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为： 2 2 2( )ab a b ．
（2）对．
（3）错，系数应为 9，应为： 3 2 6( 3 ) 9x x ．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1 不可忽略．
5 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1. 3 5c c 的值是( )．
A. 8c B. 15c C. 15c D. 8c
2． 2n na a 的值是( )．
A. 3na B. 2n na C. 2 2na D. 8a
3．下列计算正确的是( )．
A. 2 2 4x x x B. 3 4 7x x x x
C. 4 4 16a a a D. 2 3a a a
4．下列各题中，计算结果写成 10 的幂的形式，其中正确的是( ).
A. 100× 210 ＝ 310 B. 1000× 1010 ＝ 3010
C. 100× 310 ＝ 510 D. 100×1000＝ 410
5．下列计算正确的是( )．
A. 3 3xy xy B. 22 2 45 5xy x y
C. 22 43 9x x D. 32 3 62 8xy x y
6．若 3 9 152 8m na b a b 成立，则( )．
A. m ＝6， n ＝12 B. m ＝3， n ＝12
C. m ＝3， n ＝5 D. m ＝6， n ＝5
二.填空题
7. 若 2 6,2 5m n ，则 2m n ＝____________．
8. 若 3 19x
a a a ，则 x ＝_______．
9. 已知 3 5na ，那么 6na ______．
10．若 3 8ma a a ，则 m ＝______；若 3 13 81x ，则 x ＝______．
11. 322 ______； 33n ______； 523 ＝______．
12.若 n 是正整数，且 2 10na ，则 3 2 2 2( ) 8( )n na a ＝__________.
6 / 73
三.解答题
13. 判断下列计算的正误．
（1） 3 3 6x x x ( ) （2） 3 2 5( )y y ( )
（3） 2 2 2 4( 2 ) 2ab a b （ ） （4） 2 2 4( )xy xy ( )
14.（1） 3 8 4 3( ) ( )x x x ； （2） 2 3 3 3 2 21( ) ( )3 a b a b ；
（3） 3 510 ( 0.3 10 ) (0.4 10 ) ； （4） 3 52 2b a a b ；
（5） 2 36 3 35 3a a a ；
15.（1）若 3 3 35n nx x x ，求 n 的值．
（2）若 3 9 15n ma b b a b ，求 m 、 n 的值．
7 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】 3 5 3 5 8 8c c c c c .
2. 【答案】C；
【解析】 2 2 2 2n n n n na a a a .
3. 【答案】D；
【解析】 2 2 22x x x ； 3 4 8x x x x ； 4 4 8a a a .
4. 【答案】C；
【解析】100× 210 ＝ 410 ；1000× 1010 ＝ 1310 ；100×1000＝ 510 .
5. 【答案】D；
【解析】 3 3 3xy x y ； 22 2 45 25xy x y ； 22 43 9x x .
6. 【答案】C；
【解析】 3 3 3 9 152 8 8 ,3 9,3 15m n m na b a b a b m n ，解得 m ＝3， n ＝5.
二.填空题
7. 【答案】30；
【解析】 2 2 2 6 5 30m n m n .
8. 【答案】6；
【解析】 3 1 19 ,3 1 19, 6xa a x x .
9. 【答案】25；
【解析】 26 3 25 25n na a .
10.【答案】5；1；
【解析】 3 3 8 ,3 8, 5m ma a a a m m ； 3 1 43 81 3 ,3 1 4, 1x x x .
11.【答案】64； 9n ； 103 ；
12.【答案】200；
【解析】 3 23 2 2 2 2 2( ) 8( ) 8 1000 800 200n n n na a a a .
三.解答题
13.【解析】
解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×
14.【解析】
8 / 73
解：（1） 3 8 4 3 24 12 37( ) ( )x x x x x x x ；
（2） 2 3 3 3 2 2 6 9 6 41 1( ) ( )3 27a b a b a b a b ；
（3） 3 5 3 5 810 ( 0.3 10 ) (0.4 10 ) 0.3 0.4 10 10 10 1.2 10 ；
（4） 3 5 3 5 82 2 2 2 2b a a b a b a b a b ；
（5） 2 36 3 3 12 9 3 125 3 25 27 2a a a a a a a .
15.【解析】
解：（1）∵ 3 3 35n nx x x
∴ 4 3 35nx x
∴4 n ＋3＝35
∴ n ＝8
（2） m ＝4， n ＝3
解：∵ 3 9 15n ma b b a b
∴ 3 3 3 3 3 3 9 15n m n ma b b a b a b
∴3 n ＝9 且 3 m ＋3＝15
∴ n ＝3 且 m ＝4
9 / 73
幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
3. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
m n m na a a (其中 ,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项
式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即 m n p m n pa a a a （ , ,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来
的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m na a a （ ,m n 都
是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
( ) m n mna a (其中 ,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： (( ) ) m n p mnpa a ( 0a ， , ,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： n mmn m na a a ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能
将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
( ) n n nab a b (其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得
的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ( ) n n n nabc a b c ( n 为正整数).
（2）逆用公式： nn na b ab 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到
底数互为倒数时，计算更简便.如：
10 10
101 12 2 1.2 2
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为 1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
10 / 73
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1) 3 5( 2) ( 2) ( 2)b b b ；
(2) 2 3( 2 ) (2 )x y y x ．
【答案与解析】
解：（1） 3 5 3 5 1 9( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)b b b b b ．
（2） 2 3 2 3 5( 2 ) (2 ) ( 2 ) [ ( 2 ) ] ( 2 )x y y x x y x y x y ．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
( )( )
( ),
n
n
n
a na
a n
为偶数 ,
为奇数
( ) ( )( )
( ) ( )
n
n
n
b a na b
b a n
为偶数
为奇数
．
类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1） 2 3[( ) ]a b ； （2） 3 2 2 3 5( ) ( ) 2y y y y ；
（3） 2 2 4 1 2( ) ( )m mx x ； （4） 3 2 3 4( ) ( )x x ．
【答案与解析】
解：（1） 2 3[( ) ]a b 2 3 6( ) ( )a b a b ．
（2） 3 2 2 3 5( ) ( ) 2y y y y 6 6 6 6 62 2 2 0y y y y y ．
（3） 2 2 4 1 2( ) ( )m mx x 4(2 2) 2( 1) 8 8 2 2 10 6m m m m mx x x x x ．
（4） 3 2 3 4( ) ( )x x 6 12 18x x x ．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与
同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或
多项式．
3、已知8 4m ，8 5n ，求 3 28 m n 的值．
11 / 73
【 思 路 点 拨 】 由 于 已 知 8 , 8m n 的 值 ， 所 以 逆 用 同 底 数 幂 的 乘 法 和 幂 的 乘 方 把 3 28 m n 变 成
3 2 3 28 8 (8 ) (8 )m n m n ，再代入计算.
【答案与解析】
解：因为 3 3 38 (8 ) 4 64 m m , 2 2 28 (8 ) 5 25 n n .
所以 3 2 3 28 8 8 64 25 1600 m n m n .
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8 , 8m n 当成一个整体问
题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
举一反三：
【变式】已知 3 22, 3m ma b ，则 3 6 32 2 mm m ma b a b b ＝ ．
【答案】－5；
提示：原式 2 3 2 23 2 3 2m m m ma b a b
∵ ∴ 原式＝ 2 3 2 22 3 2 3 ＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1） 2 4(2 )xy （2） 2 4 3 3 3[ ( ) ]a a b
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1） 2 4 4 4 2 4 4 8(2 ) ( 1) 2 ( ) 16xy x y x y ．
（2） 2 4 3 3 3[ ( ) ]a a b 2 3 12 9 3 6 36 27 42 27( ) ( ) ( )a a b a a b a b ．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）
注意系数及系数符号，对系数－1 不可忽略．
举一反三：
【变式】下列等式正确的个数是( )．
① 32 3 6 92 6x y x y ② 32 6m ma a ③ 36 93 3a a
④ 5 7 355 10 7 10 35 10 ⑤ 100 1001010.5 2 0.5 2 2
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
12 / 73
【答案】A；
提 示 ： 只 有 ⑤ 正 确 ； 32 3 6 92 8x y x y ； 32 6m ma a ； 36 183 27a a ；
5 7 12 135 10 7 10 35 10 3.5 10
13 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1．下列计算正确的是( )．
A. 32 5x x B. 53 15x x
C. 4 5 20x x x D. 23 6x x
2． 2 55 2a a 的结果是( )．
A.0 B. 72a C. 102a D. 102a
3．下列算式计算正确的是( )．
A. 33 3 3 6a a a B. 2 2n nx x
C. 3 62 6y y y D. 333 3 3 3 27c c c
4． 3 1nx 可以写成( )．
A. 13 n
x
B. 3 1nx
C. 3nx x D. 2 1nnx
5．下列计算中，错误的个数是( )．
① 23 63 6x x ② 25 5 10 105 25a b a b ③ 3 32 8( )3 27x x
④ 42 3 6 73 81x y x y ⑤ 2 3 5x x x
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
6． 93 1919 93 的个位数字是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
二.填空题
7．化简：(1) 333
3
1)3
1( baab ＝_______；(2) 3 22 2 23a a a ＝_______．
8.直接写出结果：
(1) _____ n ＝ 2 33n n na b ； (2) 10 11x y ＝ 5_____ y ；
(3)若 2 ,3n na b ，则 6n ＝______．
9. 501 4 20031[( ) ] 3 _____3
.
10.若 2 3,2 5,2 90a b c ，用 a ，b 表示 c 可以表示为 ．
14 / 73
11. 已 知 55 44 33 222 , 3 , 5 , 6a b c d ， 那 么 a 、 b 、 c 、 d 从 小 到 大 的 顺 序
是 ．
12.若整数 a 、b 、 c 满足 50 18 9 827 25 8
a b c
，则 a ＝ ，b ＝ ， c ＝ ．
三.解答题
13.若 2 5 3 0x y ，求 4 32x y 的值．
14. 已知 1, 1x y ， 2 1 8 1 5 7,m n n m nx x x y y y ，求 m n、 的值．
15. 已知 200080,200025 yx ，则
yx
11 .
15 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】 32 6x x ； 4 5 9x x x ； 23 6x x .
2. 【答案】A；
【解析】 2 55 2 10 10 0a a a a .
3. 【答案】D；
【解析】 33 3 3 9a a a ；
2
2
2
( )
( )
nn
n
x nx
x n
为偶数
为奇数
； 32 6y y .
4. 【答案】C；
【解析】 13 3 3n nx x
； 3 1 4n nx x
； 22 1 2nn n nx x
.
5. 【答案】B；
【解析】①②④错误.
6. 【答案】C；
【解析】 93 1919 93 的个位数字等于 93 199 3 的个位数字．∵ 93 2 46 469 (9 ) 9 81 9 ;
19 4 4 3 43 (3 ) 3 (81) 27 ．∴ 93 199 3 的个位数字等于 9＋7 的个位数字．则
93 1919 93 的个位数字是 6．
二.填空题
7. 【答案】 3 38
27 a b ； 628a ；
【解析】 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 9 8( )3 3 27 27 27ab a b a b a b a b ；
3 22 2 2 6 6 63 27 28a a a a a a .
8. 【答案】 2 33a b ； 2 2x y ； ab ；
【解析】（3） 6 2 3 2 3nn n n ab .
9. 【答案】 1
3
；
【解析】
2004 2003
501 4 2003 20031 1 1 1 1[( ) ] 3 3 33 3 3 3 3
.
10.【答案】 2 1c a b ；
【解析】 22 2 190 3 2 5 2 2 2 2 2 2 1c a b a b c a b ∴ ∴
16 / 73
11.【答案】 a d b c ；
【解析】 11 11 11 115 11 4 11 3 11 2 112 32 , 3 81 , 5 125 , 6 36a b c d .
12.【答案】 a ＝6，b ＝6， c ＝3；
【解析】
2 2 2
3 2 2 3 2 2 3
3 2 3
50 18 9 2 5 2 3 3 2 3 5 227 25 8 3 5 2
a b c a a b b c
a b c b c a a b
a b c
3 3 6
2 2 3 0 6
2 2 0 3
a b c a
b c a b
a b c
∴ ∴ .
三.解答题
13.【解析】
解： 2 5 2 5 2 54 32 2 2 2 2 2x yx y x y x y
∵ 2 5 3 0x y ，
∴ 2 5 3x y
∴原式＝ 32 8 .
14.【解析】
解：∵ 2 1 8 1 5 7,m n n m nx x x y y y
∴ 1 8 4 7,m n m nx x y y
∴ 1 8m n 且 4 7m n
∴ m ＝6， n ＝3
15.【解析】
解：∵ 25 2000, 80 2000, 2000 25 80x y
∴ 25 25 2000 25 80 25 80 25 2000y yx xy y y y y ；
25 25 25 2000 25x y x y y
∴ 25 25xy x y ；
∴ xy x y ， 1 1 1x y
x y xy
17 / 73
整式的乘法（基础）
【学习目标】
1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.
【要点梳理】
要点一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换
到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，
是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式
里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
要点二、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即 ( )m a b c ma mb mc .
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单
项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还
要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的
结果.
要点三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即 a b m n am an bm bn .
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多
项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：
2x a x b x a b x ab .
【典型例题】
类型一、单项式与单项式相乘
18 / 73
1、计算：
（1） 2 213 23ab a b abc
；
（2） 1 21( 2 ) ( 3 ) 2
n nx y xy x z
；
（3） 2 3 2 216 ( ) ( )3m n x y mn y x ．
【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把 x y 与 y x 分别看作一
个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．
【答案与解析】
解： （1） 2 213 23ab a b abc
2 213 2 ( )( )3 a a a b b b c
4 42a b c ．
（2） 1 21( 2 ) ( 3 ) 2
n nx y xy x z
1 21( 2) ( 3) ( )( )2
n nx x x y y z
4 13 n nx y z ．
（3） 2 3 2 216 ( ) ( )3m n x y mn y x
2 3 2 216 ( ) ( )3m n x y mn x y
2 2 3 21( 6) ( )( )[( ) ( ) ]3 m m n n x y x y
3 3 52 ( )m n x y ．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．
类型二、单项式与多项式相乘
2、 计算：
19 / 73
（1） 21 2 422 3 3ab ab ab b
；
（2） 2 2 21 3 ( 6 )3 2xy y x xy
；
（3） 2 2 2 23 40.62 3a ab b a b
；
【答案与解析】
解：（1） 21 2 422 3 3ab ab ab b
21 2 1 1 4( 2 )2 3 2 2 3ab ab ab ab ab b
2 3 2 2 21 2
3 3a b a b ab ．
（2） 2 2 21 3 ( 6 )3 2xy y x xy
2 2 2 2 21 3( 6 ) ( 6 ) ( )( 6 )3 2xy xy y xy x xy
2 3 4 3 22 9 6x y xy x y ．
（3） 2 2 2 23 40.62 3a ab b a b
2 2 2 23 3 4
2 5 3a ab b a b
2 2 2 2 2 2 2 23 4 4 3 4
2 3 3 5 3a a b ab a b b a b
4 2 3 3 2 44 42 3 5a b a b a b ．
【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质
符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．
举一反三：
【变式 1】
2
2 4 312 (6 ) 2m n m n m n
．
【答案】
20 / 73
解：原式
2
2 2 4 2 3 2 2112 2 2m n m n m n
2 6 2 6 2 2 6 21 712 2 124 4m n m n m n m n m n ．
【变式 2】若 n 为自然数，试说明整式 2 1 2 1n n n n 的值一定是 3 的倍数．
【答案】
解： 2 1 2 1n n n n ＝
因为 3 n 能被 3 整除，所以整式 2 1 2 1n n n n 的值一定是 3 的倍数．
类型三、多项式与多项式相乘
3、计算：
（1） (3 2 )(4 5 )a b a b ；
（2） 2( 1)( 1)( 1)x x x ；
（3） ( )( 2 ) ( 2 )( )a b a b a b a b ；
（4） 25 ( 2 1) (2 3)( 5)x x x x x ．
【答案与解析】
解：（1） (3 2 )(4 5 )a b a b 2 212 15 8 10a ab ab b 2 212 7 10a ab b ．
（2） 2( 1)( 1)( 1)x x x 2 2( 1)( 1)x x x x 4 1x ．
（3） ( )( 2 ) ( 2 )( )a b a b a b a b 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )a ab b a ab b
2 2 2 22 2a ab b a ab b 2ab ．
（4） 25 ( 2 1) (2 3)( 5)x x x x x
3 2 2(5 10 5 ) (2 7 15)x x x x x
3 2 25 10 5 2 7 15x x x x x
3 25 8 12 15x x x ．
【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始
21 / 73
时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；
（2）不能漏乘任何一项．
4、求方程 ( 1)(2 1) (2 1)( 2)x x x x 的解．
【思路点拨】等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解.
【答案与解析】
解：去括号，得 2 22 2 1 2 4 2x x x x x x ．
移项并合并同类项，得 4 1x ．
系数化为 1，得 1
4x ．
【总结升华】利用整式乘法去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 即可．
举一反三：
【变式】求出使 (3 2)(3 4) 9( 2)( 3)x x x x 成立的非负整数解．
【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．
解： 2 29 12 6 8 9( 6)x x x x x ，
2 29 6 8 9 9 54x x x x ，
2 29 6 9 9 8 54x x x x ，
15 46x ，
46
15x ．
∴ x 取非负整数为 0，1，2，3．
22 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1．下列算式中正确的是( )．
A. 3 2 63 2 6a a a B. 3 5 82 4 8x x x
C. 4 43 3 9x x x D. 7 7 145 5 10y y y
2． 2 21
2 m n mn x 的结果是( )．
A. xnm 24
2
1 B. 33
2
1 nm C. xnm 33
2
1 D. xnm 33
2
1
3．下面计算正确的是( )．
A. 2 22 2 2a b a b a b B. 2 2a b a b a b
C. 2 23 3 3 10 3a b a b a ab b D. 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b
4．已知 22 1 3 2 3x x x mx ，那么 m 的值为( )．
A.－2 B.2 C.－5 D.5
5. 要使 23 2 5 4x x a x b x x 成立，则 a ，b 的值分别是( )．
A. 2 2a b ， B. 2 2a b ，
C. 2 2a b ， D. 2 2a b ，
6．设 M＝ 3 7x x ，N＝ 2 8x x ，则 M 与 N 的关系为( )．
A.M＜N B.M＞N C.M＝N D.不能确定
二.填空题
7. 已知三角形的底边为 (6 2 )a b ，高是 ( 2 6 )b a ，则三角形的面积是_________.
8. 计算：① 2 3x x ＝________；② 3 7x x ＝______；
③ 7 10x x ＝_______；④ 5 6x x ＝______．
9. 方程 2 1 2 5 12x x x x 的解为________．
10. ( ) ( ) ( ) _______x y z y x z z x y .
11. 计算： 2 25 8 2x xy y x y ＝________________________.
12. 若 2xy ， 3x y ，则 1 1x y ＝____________.
23 / 73
三.解答题
13. 请计算下图中阴影部分的面积．
14. 解下列各方程．
（1） 2 22 ( 1) (3 2) 2 2y y y y y y
（2） 25( 3) 4 (6 ) ( 4) 0x x x x x x
15. 化简求值：
（1） 1 1 1 1
2 3 2 3x x
，其中 4x ．
（2） 2 2 3 23 (2 1) (3 4 2 )x x x x x x x ，其中 1x ．
24 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】 3 2 53 2 6a a a ； 4 53 3 9x x x ； 7 7 145 5 25y y y .
2. 【答案】C；
3. 【答案】C；
4. 【答案】D；
【解析】 2 22 1 3 2 5 3 2 3x x x x x mx ，所以 5m .
5. 【答案】C；
【解析】由题意 3 5 2 4a b ， ，所以 2 2a b ， .
6. 【答案】B；
【解析】M＝ 2 10 21x x ，N＝ 2 10 16x x ，所以 M＞N.
二.填空题
7. 【答案】 2 212 18 2 ab a b ；
8. 【答案】 2 2 2 25 6; 10 21; 3 70; 11 30x x x x x x x x .
9. 【答案】 x ＝4；
【解析】 2 22 2 2 5 12, 4x x x x x .
10.【答案】0；
【解析】原式＝ 0xy xz xy yz xz yz .
11.【答案】 3 2 2 310 21 10 x x y xy y ；
12.【答案】6；
【解析】原式＝ 1 2 3 1 6xy x y .
三.解答题
13.【解析】
解： (3 2 )(2 ) (2 )( )a b a b b a a b
3 2 3 2 2 2 (2 2 )a a a b b a b b b a b b a a a b
2 2 2 2 26 3 4 2 2 2 5 4a ab ab b ab b a ab a ab ，
所以阴影部分的面积是 25 4a ab ．
14.【解析】
25 / 73
解：（1） 2 2 2 22 2 3 2 2 2y y y y y y ．
4 2y ， 1
2y ．
（2） 2 2 25 5 15 24 4 4 0x x x x x x ．
15 15x ， 1x ．
15.【解析】
解：（1）原式 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 2 3 3 4 6 6 9x x x x x x x
21 1
4 9x ．
当 4x 时，原式 21 1 1 8( 4) 4 34 9 9 9
．
（2）原式 4 3 2 4 3 2 4 3 26 3 3 3 4 2 3x x x x x x x x x
当 1x 时，原式 4 3 23 ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 1 3 ．
26 / 73
整式的乘法（提高）
【学习目标】
1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.
【要点梳理】
要点一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换
到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，
是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式
里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
要点二、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即 ( )m a b c ma mb mc .
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单
项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还
要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的
结果.
要点三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即 a b m n am an bm bn .
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多
项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：
2x a x b x a b x ab .
【典型例题】
类型一、单项式与单项式相乘
27 / 73
1、 计算：
（1） 1 212 3 2
n nx y xy x z
（2） 3 2 2 3 25 ( 3 ) ( 6 ) ( ) ( 4 )a b b ab ab ab a ．
【答案与解析】
解：（1） 1 212 3 2
n nx y xy x z
1 212 3 2
n nx x x y y z
4 13 n nx y z
（2） 3 2 2 3 25 ( 3 ) ( 6 ) ( ) ( 4 )a b b ab ab ab a
3 2 2 2 3 25 9 36 ( ) 16a b b a b ab ab a
3 3 3 3 3 3 3 345 36 16 7a b a b a b a b ．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有
同类项，必须合并.
类型二、单项式与多项式相乘
2、计算：
（1） ( 2) 2 ( 1) 3 ( 5)x x x x x x
（2） 2 3 22 ( 3 2) 3( 2 1)a a a a a a
【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简．
【答案与解析】
解：（1） ( 2) 2 ( 1) 3 ( 5)x x x x x x
2 ( 2) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 )( 5)x x x x x x x x
2 2 2 22 2 2 3 15 4 11x x x x x x x x ．
（2） 2 3 22 ( 3 2) 3( 2 1)a a a a a a
2 3 22 2 3 2 ( 2) ( 3) ( 3) 2 ( 3)( ) ( 3)a a a a a a a a
28 / 73
3 2 3 2 32 6 4 3 6 3 3 3a a a a a a a a ．
【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算
的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果．（2）单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、
多乘．（3）在确定积的每一项的符号时，一定要小心．
3、化简求值：
（1）已知 2 3 5 212 2
，求代数式a b ab a a b a b 的值
（2）已知 3 32 0 2 ( ) 4 8 ，求a b a ab a b b 的值.
（3）已知 2 1 0 m m ，求 3 22 2010 m m 的值.
【答案与解析】
解：（1） 3 5 2 2 4 2 6 31 1 1 1
2 2 2 2
ab a a b a b a b a b a b
当 2 2a b 时，原式＝ 2 31 1 12 2 2 1 2 4 12 2 2
（2） 3 3 3 2 2 32 ( ) 4 8 2 2 4 8 a ab a b b a a b ab b
法 1： 2 0 a b ，则 2 a b 。将 2 a b 代入上式得：
3 2 2 3 3 3 3 3( 2 ) 2( 2 ) 2( 2 ) 4 8 8 8 4 4 8 8 b b b b b b b b b b
法 2：原式＝ 3 2 2 3 2 22 2 4 8 ( 2 ) 2 ( 2 ) 8 a a b ab b a a b b a b
由 2 0 a b ，得原式 8 .
（3）法 1: 由 2 1 0 m m ，得 2 1 m m 。
原式＝ 2 2 22 2010 ( 1) 2 2010m m m m m m
2 2010 1 2010 2011m m
法 2: 原式＝ 2 2( 1) ( 1) 1 2010 1 2010 2011 m m m m m
【总结升华】整体思想是指将题中条件或结论中的一部分看成一个整体，使问题转化为对这个整体
的研究，能起到化繁为简、化难为易的作用．若一个代数式能整理成只含某个代数式的形式，则可
整体求值．
举一反三：
29 / 73
【变式】若 2 0x y ，求 3 32 ( ) 4x xy x y y 的值．
【答案】
解： 3 32 ( ) 4x xy x y y
3 2 2 32 2 4x x y xy y
2 2( 2 ) 2 ( 2 )x x y y x y ，
当 2 0x y 时，原式＝ 2 20 0 2 0x y ．
类型三、多项式与多项式相乘
4、若多项式 2 1ax bx 与 22 3 1x x 的积不含 3x 项，也不含 x 项，求 a 和b 的值．
【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含 3x 和 x 项，也就是 3x 和 x 项的系数
为 0，由此得方程组求解．
【答案与解析】
解： 2 2( 1)(2 3 1)ax bx x x
4 3 2 3 2 22 3 2 3 2 3 1ax ax ax bx bx bx x x
4 3 22 ( 3 2 ) ( 3 2) ( 3) 1ax a b x a b x b x
∵ 乘积中不含 3x 和 x 项．
∴ 3 2 0
3 0
a b
b
，解得 2
3
a
b
．
【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根
据题意由某些项的系数为零，通过解方程（组）求解．
举一反三：
【变式】在 2 22 3 1x ax b x x 的积中， 3x 项的系数是－5， 2x 项的系数是－6，求 a 、b ．
【答案】
解： 2 22 3 1x ax b x x
4 3 2 3 2 2
4 3 2
2 3 2 3 2 3
2 (2 3) (2 3 1) 3
x x x ax ax ax bx bx b
x a x b a x bx b
30 / 73
因为 3x 项的系数是－5， 2x 项的系数是－6，
所以 2 3 5a ， 2 3 1 6b a ，解得 1 4a b ， .
31 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1．如果单项式 2 23 a bx y 与 3 5 81
3
a b a bx y 是同类项，那么这两个单项式的积是( )．
A. 10 4x y B. 6 4x y C. 25 4x y D. 5 2x y
2．下列各题中，计算正确的是( )．
A. 2 33 2 6 6m n m n B. 3 32 2 9 9m n mn m n
C . 2 32 2 9 8m n mn m n D. 32 33 2 18 18m n m n
3. 如果 2x 与－2 2y 的和为 m ，1＋ 2y 与－ 22x 的差为 n ，那么 2 4m n 化简后为( )
A. 2 26 8 4x y B. 2 210 8 4x y
C. 2 26 8 4x y D. 2 210 8 4x y
4. 如图，用代数式表示阴影部分面积为( )．
A. ab B. ac bc
C. ac b c c D. a c b c
5．结果是 3 12 16x x 的式子是( )．
A .( x ＋4)( x ＋2)2 B .( x ＋4) 2 2x x
C .( x －4) 2 2x x D .( x ＋4) 22x
6. 已知： 2 2 24 4 0, 2 3a b a b ，则 21 22 a b b 的值为（ ）
A.－1 B.0 C. 1
2
D.1
二.填空题
7. 已知 2 0m n ，则 3 32 ( ) 4 8m mn m n n ＝___________.
32 / 73
8. 已知关于 x 的代数式 (3 1)( 3 )x k x 的运算结果中不含常数项，则 k ＝_____.
9. 3 2 2 3 2 2(4 2 3 5 )(2 3 3 ) x x y xy y x xy y 之积中含 3 2x y 项的系数为 .
10. 若 2 3 2( 1)( ) 6 11 6 x x mx n x x x ，则 m ， n .
11. 观察下列各式：
2 2( )( )x y x y x y ；
2 2 3 3( )( )x y x xy y x y ；
3 2 2 3 4 4( )( )x y x x y xy y x y ；
4 3 2 2 3 4 5 5( )( )x y x x y x y xy y x y
根据这些式子的规律，归纳得到：
1 2 3 2 2 1( )( )n n n n nx y x x y x y xy y …… .
12. 把 62 )1( xx 展 开 后 得 01
2
2
10
10
11
11
12
12 ...... axaxaxaxaxa ， 则
024681012 aaaaaaa
三.解答题
13. （1）已知 2 6xy ，求 3 7 2 5( 3 5 )xy x y x y y 的值；
（2）若 2 5 3 0x y ，求 4 32x y 的值；
14.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有
33 / 73
一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：
2a b a b ＝ 2 22 3a ab b ，就可以用图 1 的面积关系来说明．
① 根据图 2 写出一个等式 ；
② 已知等式： x p x q ＝ 2x p q x pq ，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
15.已知 2 28 3x px x x q 的展开式中不含 2x 和 3x 项，求 p q、 的值．
34 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】由题意 2 3a b a b ， 2 5 8a b ，解得 2 1a b ， ，所以两个单项式的积为
10 4x y .
2. 【答案】D；
【解析】 2 33 2 6 6m n m n ； 3 32 2 9 9m n mn m n ；
2 32 2 7 8m n mn m n .
3. 【答案】A；
【解析】 2 2 2 22 ,1 2x y m y x n ，
2 4m n ＝ 2 2 2 2 2 22 4 4 4 8 6 8 4x y y x x y
4. 【答案】C ；
【解析】阴影部分面积为 2ab a c b c ab ab ac bc c ac c b c .
5. 【答案】D；
【解析】 2 24 2 4 4 4x x x x x
3 2 2 34 4 4 16 16 12 16x x x x x x x
6. 【答案】A；
【 解 析 】 两 式 相 减 得 22 4 1b b ， 将 2 4 4a b 代 入 21 22 a b b 得
21 4 4 2 2 4 12 b b b b b .
二.填空题
7. 【答案】－8；
【解析】 3 32 ( ) 4 8m mn m n n 3 2 2 32 2 4 8m m n mn n
2 2( 2 ) 2 ( 2 ) 8 8m m n n m n
8. 【答案】－3；
【解析】将代数式展开得常数项为 3k ，由题意 3 0k ，所以 3k .
9. 【答案】12；
【解析】用多项式的乘法展开式子，得 3 2x y 项的系数为 12.
10.【答案】 5 6m n ， ；
35 / 73
【解析】 2 3 2 3 2( 1)( ) ( 1) ( ) 6 11 6x x mx n x m x n m x n x x x ，所以 m －1
＝－6， n m ＝11， 5 6m n ， .
11.【答案】 n nx y ；
12.【答案】365；
【解析】∵ 展开后得
∴当 时， ，①；
当 时， ，②
∴①＋②＝ ，
∴ .
三.解答题
13.【解析】
解：（1）原式 4 8 3 6 24 3 5x y x y xy 2 4 2 3 2( ) 3( ) 5( )xy xy xy ．
当 2 6xy 时，
原式 4 3( 6) 3 ( 6) 5 ( 6) 1974 ．
（2）∵ 2 5 3 0x y ．
∴ 2 5 3x y ．
∴ 2 5 2 5 34 32 2 2 2 2 8x y x y x y ．
14.【解析】
解：① 2 22 2 2 5 2a b a b a ab b
②如图所示：
15.【解析】
36 / 73
解： 2 28 3x px x x q
4 3 2 3 2 2
4 3 2
3 3 8 24 8
( 3) ( 3 8) 24 8
x x qx px px pqx x x q
x p x q p x pqx x q
因为展开式中不含 2x 和 3x 项，
所以 3 0p ， 3 8 0q p
解得 3p ， 1q .
37 / 73
乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式： 2 2( )( )a b a b a b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里， ba, 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相
同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如 ( )( )a b b a 利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如 (3 5 )(3 5 )x y x y
（3）指数变化：如 3 2 3 2( )( )m n m n
（4）符号变化：如 ( )( )a b a b
（5）增项变化：如 ( )( )m n p m n p
（6）增因式变化：如 2 2 4 4( )( )( )( )a b a b a b a b
要点二、完全平方公式
完全平方公式： 2 2 22a b a ab b
222 2)( bababa
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平
方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：
22 2 2a b a b ab 2 2a b ab
2 2 4a b a b ab
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到
括号里的各项都改变符号.
38 / 73
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号
是否正确.
要点四、补充公式
2( )( ) ( )x p x q x p q x pq ； 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b ；
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ； 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc .
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算
结果．
(1) 2 3 3 2a b b a ； (2) 2 3 2 3a b a b ；
(3) 2 3 2 3a b a b ； (4) 2 3 2 3a b a b ；
(5) 2 3 2 3a b a b ； (6) 2 3 2 3a b a b ．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.
【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．
(2) 2 3 2 3a b a b ＝ 23b － 22a ＝ 2 29 4b a ．
(3) 2 3 2 3a b a b ＝ 22a － 23b ＝ 2 24 9a b ．
(4) 2 3 2 3a b a b ＝ 22a － 23b ＝ 2 24 9a b ．
(5) 2 3 2 3a b a b ＝ 23b － 22a ＝ 2 29 4b a ．
【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同
类项）．
举一反三：
【变式】计算：（1） 3 3
2 2 2 2
x xy y
； （2） ( 2 )( 2 )x x ；
（3） ( 3 2 )(2 3 )x y y x ．
【答案】
解：（1）原式
2 2 2
23 9
2 2 4 4
x xy y
．
39 / 73
（2）原式 2 2 2( 2) 4x x ．
（3）原式 2 2(3 2 )(2 3 ) (3 2 )(3 2 ) 9 4x y y x x y x y x y ．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝ 2 260 0.1 ＝3600－0.01＝3599.99
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝ 2 2100 2 ＝10000－4＝9996．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两
数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用
平方差公式来计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)899×901＋1； (2)99×101×10001；
(3) 22005 －2006×2004；
【答案】解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝ 2 2900 1 1 ＝810000．
(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝ 2100 1 ×10001
＝(10000－1)×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．
(3)原式＝ 22005 －(2005＋1)(2005－1)＝ 22005 －( 22005 － 21 )＝1．
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1) 23a b ； (2) 23 2a ； (3) 22x y ； (4) 22 3x y ．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.
【答案与解析】
解：(1) 2 2 2 2 23 3 2 3 9 6a b a a b b a ab b ．
(2) 2 2 2 2 23 2 2 3 2 2 2 3 3 4 12 9a a a a a a ．
(3) 2 22 2 22 2 2 2 4 4x y x x y y x xy y ．
(4) 2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 2 2 3 3 4 12 9x y x y x x y y x xy y ．
40 / 73
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果
中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)
注意 2 2a b a b 之间的转化．
4、计算：(1) 22002 ；(2) 21999 ．(3) 2999.9 ．
【答案与解析】
解：(1) 22 2 22002 2000 2 2000 2 2000 2 2
＝4000000＋8000＋4＝4008004．
(2) 22 2 21999 2000 1 2000 2 2000 1 1
＝4000000－4000＋1＝3996001．
(3) 22 2 2999.9 1000 0.1 1000 2 1000 0.1 0.1
＝1000000－200＋0.01＝999800.01．
【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．
5、已知 7a b ， ab ＝12．求下列各式的值：
(1) 2 2a ab b ；(2) 2( )a b ．
【答案与解析】
解：(1)∵ 2 2a ab b ＝ 2 2a b － ab ＝ 2a b －3 ab ＝ 27 －3×12＝13．
(2)∵ 2a b ＝ 2a b －4 ab ＝ 27 －4×12＝1.
【总结升华】由乘方公式常见的变形：① 2a b － 2a b ＝4 ab ；② 2 2a b ＝ 2a b －2 ab ＝
2a b ＋2 ab ．解答本题关键是不求出 ,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的
值．
举一反三：
【变式】已知 2( ) 7a b ， 2( ) 4a b ，求 2 2a b 和 ab 的值．
【答案】
解：由 2( ) 7a b ，得 2 22 7a ab b ； ①
由 2( ) 4a b ，得 2 22 4a ab b ． ②
①＋②得 2 22( ) 11a b ，∴ 2 2 11
2a b ．
41 / 73
①－②得 4 3ab ，∴ 3
4ab ．
42 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )．
① 2 5 5 2ab x x ab ② ax y ax y
③ ab c ab c ④ m n m n
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
2. 若 2 1
4x kx 是完全平方式，则 k 值是（ ）
A. 2 B. 1 C. 4 D. 1
3.下面计算 7 7a b a b 正确的是( )．
A.原式＝(－7＋ a ＋b )[－7－( a ＋b )]＝－ 27 － 2a b
B.原式＝(－7＋ a ＋b )[－7－( a ＋b )]＝ 27 ＋ 2a b
C.原式＝[－(7－ a －b )][－(7＋ a ＋b )]＝ 27 － 2a b
D.原式＝[－(7＋ a )＋b ][－(7＋ a )－b ]＝ 2 27 a b
4．( a ＋3)( 2a ＋9)( a －3)的计算结果是( )．
A. 4a ＋81 B.－ 4a －81 C. 4a －81 D.81－ 4a
5．下列式子不能成立的有( )个．
① 2 2x y y x ② 2 2 22 4a b a b ③ 3 2a b b a a b
④ x y x y x y x y ⑤ 2 21 1 2x x x
A.1 B.2 C.3 D.4
6．计算 2)22( ba 的结果与下面计算结果一样的是( )．
A. 2)(2
1 ba B. abba 2)(2
1
C. abba 2)(4
1 D. abba 2)(4
1
二.填空题
7．多项式 2 8x x k 是一个完全平方式，则 k ＝______．
43 / 73
8. 已知 1 5a a
，则 2
2
1a a
的结果是_______.
9. 若把代数式 2 2 3x x 化为 2x m k 的形式，其中 m ， k 为常数，则 m ＋ k ＝_______.
10. 如果 1ab ，那 2 2
_________n n n na b a b .
11．对于任意的正整数 n ，能整除代数式 3 1 3 1 3 3n n n n 的最小正整数是_______.
12. 如果 2 2 1 2 2 1a b a b ＝63，那么 a ＋b 的值为_______.
三.解答题
13.计算下列各值.
2 2(1) 101 99 22 2 2(2) 2 2 4m m m
(3) ( )( )a b c a b c 2(4) (3 2 1)x y
14. 已知 2 1x x ，求下列代数式的值：(1) 5 5 3x x ； (2) 2
2
1x x
15. 已知： 26, 9 0,a b ab c a 求 a b c 的值.
44 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】①，②，③可用平方差公式.
2. 【答案】B；
【解析】
2
2 21 1 12 2 2 4x x x kx
，所以 k ＝±1.
3. 【答案】C；
4. 【答案】C；
【解析】( a ＋3)( 2a ＋9)( a －3)＝ 2 2 4( 9)( 9) 81a a a .
5. 【答案】B；
【解析】②，③不成立.
6. 【答案】D；
【解析】
2 2
2 21( ) ( )2 2 4 4 2 4
a b a b ab a b ab .
二.填空题
7. 【答案】16；
【解析】 2 2 28 2 4 4x x k x x ，∴ k ＝16.
8. 【答案】23；
【解析】 21( ) 25,a a
2 2
2 2
1 12 25, 23a aa a
.
9. 【答案】－3；
【解析】 22 22 3 2 1 1 3 1 4x x x x x ， m ＝1， k ＝－4.
10.【答案】－4；
【解析】原式 2 2n n n n n n n n n na b a b a b a b a b
4 4 4nn na b ab .
11.【答案】10；
【解析】利用平方差公式化简得 10 2 1n ，故能被 10 整除.
12.【答案】±4；
【解析】 2 2 1 2 2 1a b a b 22 2 1 63, 2 2 8, 4a b a b a b .
三.解答题
13.【解析】
45 / 73
解：（1）原式＝ 2 2100 1 100 1 =10000 200 1 10000 200 1=20002
（2）原式＝ 2 2 22 2 4 8 44 4 16 32 256m m m m m
（3）原式＝ 22 2 2 2 2a b c a b c bc
（4）原式＝ 2 22(3 2 1) 3 2 1 2 3 2 2 3 2 2x y x y x y x y
2 29 4 12 6 4 1x y xy x y
14.【解析】
解：（1） 25 2 3 3 4 31 1 1x x x x x x x x x x
22 3 1 2 1 3 1 5 3x x x x x
∴ 5 5 3 5 3 5 3 6x x x x
（2）已知两边同除以 x ，得 1 11 , 1x xx x
即
∴ 2 2
2
1 1( ) 2 1x xx x
∴ 2
2
1 3x x
.
15.【解析】
解：∵ 6,a b ∴ 6a b
∵ 2 9 0,ab c a
∴ 26 9 0,b b c a
∴ 2 23 0,b c a
∴ 3,b c a
∴ 3 6 3, 3a c
∴ 3 3 3 3a b c .
46 / 73
乘法公式（提高）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式： 2 2( )( )a b a b a b
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里， ba, 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相
同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如 ( )( )a b b a 利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如 (3 5 )(3 5 )x y x y
（3）指数变化：如 3 2 3 2( )( )m n m n
（4）符号变化：如 ( )( )a b a b
（5）增项变化：如 ( )( )m n p m n p
（6）增因式变化：如 2 2 4 4( )( )( )( )a b a b a b a b
要点二、完全平方公式
完全平方公式： 2 2 22a b a ab b
222 2)( bababa
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平
方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：
22 2 2a b a b ab 2 2a b ab
2 2 4a b a b ab
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到
括号里的各项都改变符号.
47 / 73
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号
是否正确.
要点四、补充公式
2( )( ) ( )x p x q x p q x pq ； 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b ；
3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ； 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc .
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2＋1)( 22 1 )( 42 1 )( 82 1 )( 162 1 )( 322 1 )＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现 2＋1 与 2－1， 22 1 与 22 1 ， 42 1 与 42 1
等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.
【答案与解析】
解：原式＝(2－1)(2＋1)( 22 1 )( 42 1 )( 82 1 )( 162 1 )( 322 1 ) ＋1
＝( 22 1 )( 22 1 )( 42 1 )( 82 1 )( 162 1 )( 322 1 )＋1
＝ 642 －1＋1＝ 642 ．
【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解
决，会事半功倍，提高解题能力．
举一反三：
【变式】计算：
(1) 2( 3)( 9)( 3)x x x
(2)( a ＋b )( a －b )( 2 2a b )( 4 4a b )
【答案】
解：(1)原式＝[( x ＋3)( x －3)]( 2 9x )＝( 2 9x )( 2 9x )＝ 4 81x ．
(2)原式＝[( a ＋b )( a －b )]( 2 2a b )( 4 4a b )
＝[( 2 2a b )( 2 2a b )]( 4 4a b )
＝( 4 4a b )( 4 4a b )＝ 8 8a b ．
2、解方程： (2 1)(2 1) 3( 2)( 2) (7 1)( 1)x x x x x x ．
48 / 73
【答案与解析】
解： 2 2 2(2 ) 1 3( 4) 7 7 1x x x x x ，
2 2 24 1 3 12 7 6 1x x x x ，
2 27 7 6 1 1 12x x x ，
6 12x ，
∴ 2x ．
【总结升华】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来
考查．
举一反三：
【变式】解不等式组： ( 3)( 3) ( 2) 1,
(2 5)( 2 5) 4 (1 ).
x x x x
x x x x
【答案】
解： ( 3)( 3) ( 2) 1,
(2 5)( 2 5) 4 (1 ).
x x x x
x x x x
①
②
由①得 2 29 2 1x x x ， 2 10x ， 5x ．
由②得 2 2 25 (2 ) 4 4x x x ， 2 225 4 4 4x x x ，
4 25x ， 6.25x ．
∴ 不等式组的解集为 6.25x ．
类型二、完全平方公式的应用
3、运用乘法公式计算：
（1） 2( 2 3)a b ；（2） ( 2 3 )( 2 3 )a b c a b c ．
【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将 2 3a b
化成 (2 3)a b ，看成 a 与 (2 3)b 和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中 a 与 a 完
全相同， 2b ， 3c 与 2b ，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完
全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．
【答案与解析】
解：（1）原式 2 2 2[ (2 3)] 2 (2 3) (2 3)a b a a b b
2 24 6 4 12 9a ab a b b
2 24 4 6 12 9a b ab a b ．
49 / 73
（2）原式 2 2 2 2 2[ (2 3 )][ (2 3 )] (2 3 ) 4 12 9a b c a b c a b c a b bc c ．
【总结升华】配成公式中的“ a ”“b ”的形式再进行计算.
举一反三：
【变式】运用乘法公式计算：
(1) a b c a b c ； (2) 2 1 1 2x y y x ；
(3) 2x y z ； (4) 2 3 1 1 2 3a b a b ．
【答案】
解：(1) a b c a b c ＝[ a －(b － c )][ a ＋(b － c )]
＝ 22 2 2 22a b c a b bc c
＝ 2 2 22a b bc c ．
(2) 2 1 1 2x y y x ＝[2 x ＋( y －1)][2 x －( y －1)]
＝ 2 2 2 22 1 4 2 1x y x y y
＝ 2 24 2 1x y y ．
(3) 22 2 22x y z x y z x y x y z z
＝ 2 2 22 2 2x xy y xz yz z ．
(4) 2 3 1 1 2 3a b a b ＝ 22 3 1a b
＝－ 2 2[(2 3 ) 2(2 3 ) 1 ]a b a b＋ － ＋ ＋
＝－ 22(2 ) 2 2 3 3 4 6 1a a b b a b
＝ 2 24 12 9 4 6 1a ab b a b－ － － ＋ ＋ －
4、已知△ABC 的三边长 a 、b 、c 满足 2 2 2 0a b c ab bc ac ，试判断△ABC 的形状．
【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．
【答案与解析】
解：∵ 2 2 2 0a b c ab bc ac ，
∴ 2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac ，
50 / 73
即 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0a ab b b bc c a ac c ．
即 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c a c ．
∴ 0a b ， 0b c ， 0a c ，
即 a b c ，∴ △ABC 为等边三角形．
【总结升华】式子 2 2 2 0a b c ab bc ac 体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平
方式相仿，但差着 2ab 中的 2 倍，故想到等式两边同时扩大 2 倍，从而得到结论．
举一反三：
【变式】多项式 2 22 2 2 5x xy y y 的最小值是____________.
【答案】4；
提示： 2 22 22 2 2 5 1 4x xy y y x y y ，所以最小值为 4.
51 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. ))(( nmnm B. 3 3 3 3x y x y
C. ))(( baba D. 2 2 2 2c d d c
2．若 x y ＝6， x y ＝5，则 2 2x y 等于( )．
A.11 B.15 C.30 D.60
3．下列计算正确的是( )．
A. 5 5m m ＝ 2 25m B. 1 3 1 3m m ＝ 21 3m
C. 24 3 4 3 9 16n n n D.( 2ab n )( 2ab n )＝ 2 24ab n
4．下列多项式不是完全平方式的是( )．
A. 2 4 4x x B. mm 2
4
1
C. 2 29 6a ab b D. 24 12 9t t
5．下列等式能够成立的是( )．
A. 2 2a b a b B. 2 2 2x y x y
C. 2 2m n n m D.(x－y)(x＋y)＝(－x－y)(x－y)
6．下列等式不能恒成立的是( )．
A. 2 2 23 9 6x y x xy y B. 2 2a b c c a b
C. 222
4
1)
2
1( nmnmnm D. 2 2 4 4x y x y x y x y
二.填空题
7．若 2 2 16x ax 是一个完全平方式，则 a ＝______．
8. 若 2 29 4x y ＝ 23 2x y M ,则 M ＝______．
9. 若 x y ＝3， xy ＝1，则 2 2x y ＝_______.
10.观察等式 2 2 2 2 2 22 1 3,3 2 5,4 3 7 ，…用含自然数 n 的等式表示它的规律为：
_________.
52 / 73
11. 25( 2)( 2) 2 1x x x ___________.
12.若 21 2x ，则代数式 2 2 5x x 的值为________.
三.解答题
13. 计算下列各题：
（1） 3 3( 2 )( 2 )2 2x y x y
（2） 2( 4)( 4)( 16)x x x
（3） 2(2 )( ) 4( 2 )x y x y x y
（4） 23( ) (2 )( 2 )y z y z z y
14. 先化简，再求值： 22 )1(2)1)(1(5)1(3 aaaa ，其中 3a ．
15.已知：
2 2 25, 7x y x y ，且 ,x y 求 x y 的值.
53 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】A 中 m 和 m 符号相反，n 和 n 符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，
另一项互为相反数.
2. 【答案】C；
【解析】 2 2x y x y x y ＝6×5＝30.
3. 【答案】C；
【解析】 5 5m m ＝ 225 m ； 1 3 1 3m m ＝ 21 9m ；
( 2ab n )( 2ab n )＝ 2 2 24a b n .
4. 【答案】A；
【解析】 2 21 1( )4 2m m m ； 2 2 29 6 (3 )a ab b a b ； 2 24 12 9 (2 3)t t t .
5. 【答案】C；
6. 【答案】D；
【解析】 22 2 2 2x y x y x y x y .
二.填空题
7. 【答案】±4；
【解析】 2 2 22 16 2 4 4x ax x x ，所以 4a .
8. 【答案】 12xy ；
【解析】 2 29 4x y ＝ 23 2 12x y xy .
9. 【答案】7；
【解析】 2 2 2 2x y x y xy ， 2 2 9 2 7x y .
10.【答案】 2 21 2 1n n n （ n ≥1 的正整数）；
11.【答案】 2 4 21x x ；
【解析】 2 2 2 25( 2)( 2) 2 1 5 4 4 4 1 4 21x x x x x x x x .
12.【答案】6；
【解析】因为 21 2x ，所以 2 22 1, 2 5 6x x x x .
三.解答题
13.【解析】
54 / 73
解：（1）原式＝
2
2 2 23 3 3 92 2 2 4 62 2 2 4x y x y x y x y y
；
（2）原式＝ 2 2 416 16 256x x x ；
（3）原式＝ 2 2 2 2 2 22 2 4 4 4 2 17 17x xy xy y x xy y x xy y ；
（4）原式＝ 2 2 2 2 2 23 2 4 6 4y yz z y z y yz z .
14.【解析】
解： 2 23( 1) 5( 1)( 1) 2( 1)a a a a
2 2 23 2 1 5 1 2 2 1
2 10
a a a a a
a
当 3 , =2 3 10 16a 时 原式 .
15.【解析】
解：∵ 2 2 2 2x y x y xy ，且 2 2 25, 7x y x y
∴ 27 25 2xy ，∴ 12xy ，
∵ 2 2 2 2 25 2 12 1x y x y xy
∴ 1x y
∵ ,x y 即 0x y
∴ 1x y .
55 / 73
整式的除法（基础）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 m n m na a a （ a ≠0，m n、 都是正整数，并且 m n ）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.即 0 1a （ a ≠0）
要点诠释：底数 a 不能为 0， 00 无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0 次方的积.因此常数
项也叫 0 次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连
同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字
母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单
项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多 项 式 除 以 单 项 式 ： 先 把 多 项 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 . 即
am bm cm m am m bm m cm m a b c
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将
它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算：
56 / 73
（1） 8 3x x ；（2） 3( )a a ；（3） 5 2(2 ) (2 )xy xy ；（4）
5 31 1
3 3
．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．
【答案与解析】
解：（1） 8 3 8 3 5x x x x ．
（2） 3 3 1 2( )a a a a ．
（3） 5 2 5 2 3 3 3(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 8xy xy xy xy x y ．
（4）
5 3 5 3 21 1 1 1 1
3 3 3 3 9
．
【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前
面的符号．
类型二、单项式除以单项式
2、计算：
（1） 3 4 2 2 2 2(4 ) (2 )x y x y ；
（2） 2 1 3 7 32
3
m n m m nx y z x y x y z
；
（3） 2 2[( )( )] ( ) ( )x y x y x y x y ；
（4） 2[12( ) ( )] [4( )( )]a b b c a b b c ．
【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）
中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案与解析】
解：（1） 3 4 2 2 2 2 6 8 4 4 2 4(4 ) (2 ) 16 4 4x y x y x y x y x y ．
（2） 2 1 3 7 32
3
m n m m nx y z x y x y z
2 1 3 7 321 1 ( )( )( )3
m m m n nx x x y y y z z
2 1 43
2
nxy z ．
（3） 2 2[( )( )] ( ) ( )x y x y x y x y
57 / 73
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y
2( ) ( )x y x y x y ．
（4） 2[12( ) ( )] [4( )( )]a b b c a b b c
2(12 4)[( ) ( )][( ) ( )]a b a b b c b c
3( ) 3 3a b a b ．
【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字
母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分
数．
举一反三：
【变式】计算：
（1） 315 3a b ab ； （2） 5 3 2 25 3x y z x y ；
（3） 2 2 21 1
2 6a b c ab
； （4） 6 3(10 10 ) (2 10 ) ．
【答案】
解：（1） 3 3 2 0 215 3 (15 3)( )( ) 5 5a b ab a a b b a b a ．
（2） 5 3 2 2 5 2 3 2 355 3 ( 5 3)( )( ) 3x y z x y x x y y z x yz ．
（3） 2 2 2 2 2 2 01 1 1 1 ( )( ) 3 32 6 2 6a b c ab a a b b c ab c ac
．
（4） 6 3 6 3 3(10 10 ) (2 10 ) (10 2)(10 10 ) 5 10 ．
3、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是因为光
的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为 83 10 米/秒，
而声音在空气中的传播速度约为 23.4 10 米/秒．
（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）
（2）如果你看到闪电 8 秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？（注：
光传播到地球的时间忽略不计）
【答案与解析】
解：（1） 8 2 8 2 6(3 10 ) (3.4 10 ) (3 3.4) (10 10 ) 0.882 10 ≈ 58.8 10≈ ．
58 / 73
（2） 2 33.4 10 8 2.72 10 2720 （米）．
【总结升华】在科学记数法表示的数 10na 中，a 相当于单项式的系数，10n 相当于单项式中的幂．
类型三、多项式除以单项式
4、计算：
（1） 3 2 4(6 7 )x y x y xy ；
（2） 4 2( 3 4 2 ) ( 2 )x x x x ；
（3） 2 2 2 2 2(12 8 4 ) ( 4 )x y xy y y ；
（4） 2 3 2 4 3 21 10.3 ( 0.5 )3 6a b a b a b a b
．
【答案与解析】
解：（1） 3 2 4 3 2 4 2 3(6 7 ) (6 ) ( 7 ) 6 7x y x y xy x y xy x y xy x y x ．
（2） 4 2( 3 4 2 ) ( 2 )x x x x
4 2[( 3 ) ( 2 )] [4 ( 2 )] [( 2 ) ( 2 )]x x x x x x
33 2 12 x x ．
（3） 2 2 2 2 2(12 8 4 ) ( 4 )x y xy y y
2 2 2 2 2 2 212 ( 4 ) ( 8 ) ( 4 ) 4 ( 4 )x y y xy y y y
23 2 1x x
（4） 2 3 2 4 3 21 10.3 ( 0.5 )3 6a b a b a b a b
2 2 3 2 2 4 3 21 10.3 ( 0.5 ) ( 0.5 ) ( 0.5 )3 6a b a b a b a b a b a b
2 23 2 1
5 3 3ab a b ．
【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，
不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为 1．（3）运算时要注意符号的变化．
举一反三：
【变式】计算：
59 / 73
（1） 2 3 2 3 3 4 21( 3 ) 2 (3 ) 92xy x x xy y x y ；
（2） 2[( 2 )( 2 ) 4( ) ] 6x y x y x y x ．
【答案】
解： （1）原式 2 2 3 2 3 9 4 219 2 27 92x y x x x y y x y
5 2 5 10 4 2 8(9 27 ) 9 3x y x y x y x xy ．
（2）原式 2 2 2 2[ 4 4( 2 )] 6x y x xy y x
2 2 2 2( 4 4 8 4 ) 6x y x xy y x
2(5 8 ) 6x xy x
5 4
6 3x y ．
60 / 73
【巩固练习】
一.选择题
1. 下列计算不正确的是( )
A. 3 3 1m mx x ＝x B. 12 6 2x x x
C. 210 3 5x x x x D. 3 3 mmx x ＝1
2. 4 2 328 7a b a b 的结果是 ( )
A. 24ab B. 44a b C. 2 24a b D. 4ab
3. 23 225 5a b ab 的结果是 ( )
A. a B.5a C. 25a b D. 25a
4. 如果□×3ab ＝ 23a b ，则□内应填的代数式是（ ）
A. ab B.3ab C. a D.3a
5．下列计算正确的是( )．
A. 13 n nx y z ÷ 13 n nx y z ＝0 B. 2 215 10 5 3 2x y xy xy x y
C. xxyxyyx 2
16)63( 2 D. 23112 39
3
1)3( xxxxx nnn
6. 太阳的质量约为 2.1× 2710 t ，地球的质量约为 6× 2110 t ，则太阳的质量约是地球质量的（ ）
A.3.5× 610 倍 B.2.9× 510 倍 C.3.5× 510 倍 D.2.9× 610 倍
二.填空题
7. 若 35k ＝1，则 k ＝________.
8. 计算 3 4 4 3 2 3 2 2 39 6 3 3 2x y x y x y x y x y xy .
9．直接写出结果：
(1) 35a a ＝_______； (2) 24a a ＝_______；
(3) 10 4 2x x x ＝_______； (4)10n ÷ 210n ＝_______；
(5) 3 m ma a ＝_______； (6) 2 1n ny x x y ＝_______．
10．直接写出结果：
(1) 3 22 2 2a a a a ＝____________；
61 / 73
(2)( 5 1 181 15 3n n nx x x )÷( 13 nx )＝_____________；
(3)(____________)·( 2 34x y )＝ 5 4 4 5 2 78 2 12x y x y x y ．
11. 若 02 2x 有意义，则 x ______________．
12．学校图书馆藏书约 3.6× 410 册，学校现有师生约 1.8× 310 人，每个教师或学生假期平均最多
可以借阅______册图书.
三.解答题
13.计算：
（1） 6 3 3 4 5 33 6 9 3( ) .4 5 10 5a x a x ax ax
（2） 23 3 7 3 5 3 5 32 7 28 21 7m n m m n m n m n
14. 先化简，再求值： 2 3 24 2 6 2 25 3 2a a a a a ，其中 a ＝－5．
15. 天文学上常用太阳和地球的平均距离 1.4960× 810 千米作为一个天文单位，已知月亮和地球的平
均距离约为 384401 千米，合多少天文单位?(用小数表示，精确到 0.0001)
62 / 73
63 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】 12 6 6x x x .
2. 【答案】D；
3. 【答案】B；
【解析】 23 2 3 2 2 225 5 25 5 5a b ab a b a b a .
4. 【答案】C；
5. 【答案】D；
【 解 析 】 13 n nx y z ÷ 13 n nx y z ＝ 1 ； 2 215 10 5 3 2x y xy xy x y ；
2 1(3 6 ) 6 12x y xy xy x .
6. 【答案】C；
【解析】（2.1× 2710 ）÷（6× 2110 ）＝0.35× 610 ＝3.5× 510 .
二.填空题
7. 【答案】3；
【解析】 3 05 1 5k ，所以 3 0 3k k ， .
8. 【答案】 23xy ；
9. 【答案】(1) 2a ；(2)－ 2a ；(3) 4x ；(4)100；(5) 2ma ；(6) 1nx y ；
【解析】（6） 2 1 2 1 1n n n n ny x x y x y x y .
10．【答案】(1) 4 2a a ；(2) 6 227 5 1x x ；(3) .3
2
12 4223 yyxyx
【解析】（2）( 5 1 181 15 3n n nx x x )÷( 13 nx )
＝27 5 1n nx －5 1 1n nx ＋1＝ 6 227 5 1x x
（3） 5 4 4 5 2 78 2 12x y x y x y ÷（ 2 34x y )＝ .3
2
12 4223 yyxyx
11.【答案】 x ≠2；
【解析】 0 1, 0a a .
12．【答案】20 册；
64 / 73
【解析】3.6× 410 ÷（1.8× 310 ）＝20.
三.解答题
13.【解析】
解：（1） 6 3 3 4 5 33 6 9 3( ) .4 5 10 5a x a x ax ax
＝ 6 1 3 3 3 1 4 3 1 1 5 33 5 6 5 9 5
4 3 5 3 10 3a x a x a x
＝ .
2
32
4
5 225 xxaa
（2） 23 3 7 3 5 3 5 32 7 28 21 7m n m m n m n m n
＝ 7 6 7 3 5 3 5 398 28 21 7m n m n m n m n
＝ 7 5 6 3 7 5 3 3 5 5 3 398 28 21
7 7 7m n m n m n
＝ 2 3 214 4 3m n m ．
14. 【解析】
解：原式＝ 6 12 6 45 9 4a a a a
＝ 6 44 4a a
＝ 2a
当 a ＝－5 时，原式＝－25.
15.【解析】
解：由题意得：384401÷1.4960× 810 ≈0.0026（个天文单位）
答：月亮和地球的平均距离约为 0.0026 个天文单位.
65 / 73
整式的除法（提高）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 m n m na a a （ a ≠0，m n、 都是正整数，并且 m n ）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.即 0 1a （ a ≠0）
要点诠释：底数 a 不能为 0， 00 无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0 次方的积.因此常数
项也叫 0 次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连
同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字
母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单
项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多 项 式 除 以 单 项 式 ： 先 把 多 项 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 . 即
am bm cm m am m bm m cm m a b c
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将
它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算下列各题：
（1） 5( ) ( )x y x y （2） 12 5(5 2 ) (2 5 )a b b a
66 / 73
（3） 6 4 6 2(3 10 ) (3 10 ) （4） 3 3 2 4[( 2 ) ] [(2 ) ]x y y x
【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地
去变偶次幂的底数，如 12 12(5 2 ) (2 5 )a b b a ．（2）注意指数为 1 的多项式．如 x y 的指数为 1，
而不是 0．
【答案与解析】
解：（1） 5 5 1 4( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y x y ．
（2） 12 5 12 5 7(5 2 ) (2 5 ) (2 5 ) (2 5 ) (2 5 )a b b a b a b a b a
（3） 6 4 6 2 6 4 2 6 2 12(3 10 ) (3 10 ) (3 10 ) (3 10 ) 9 10 ．
（4） 3 3 2 4[( 2 ) ] [(2 ) ]x y y x 9 8 9 8( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2x y x y x y x y ．
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
2、已知3 2m ，3 4n ，求 1 29m n 的值．
【答案与解析】
解：
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
2 2 2 4 4 4 4
9 (3 ) 3 3 3 3 3 (3 ) 39 9 (3 ) 3 3 (3 ) (3 )
m m m m m m
m n
n n n n n n
．
当3 2m ，3 4n 时，原式
2 2
4
2 3 9
4 64
．
【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含 3m ，3n 的式子，再代入求值．本题
是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．
举一反三：
【变式】已知 2 5 5 2m m ，求 m 的值．
【答案】
解：由 2 5 5 2m m 得 1 15 2m m ，即 1 15 2 1m m ，
15 12
m
，
∵ 底数 5
2
不等于 0 和 1，
∴
1 05 5
2 2
m
，即 1 0m ， 1m ．
67 / 73
类型二、单项式除以单项式
3、先化简，再求值．
4 5 5 2 3 2 3 3 4 7 4 55 2 5 7 7418 3 6 8 2x y z xy z x y z x y z x y y z ， 其 中 1x ，
2y ， 3z ．
【答案与解析】
解：原式 4 1 5 2 5 1 3 2 3 3 1 4 1 7 4 55 3 5 7 7418 2 6 8 2x y z x y z x y z y z
3 3 4 3 2 3 4 5 7 4 55 5 7 7
12 6 2 2x y z x y z x y z y z
3 3 3 2 4 3 4 5 4 7 55 6
12 5 x y z x y z
0 4 2 4 21 1
2 2x yz x yz yz x yz ．
当 1x ， 2y ， 3z 时，
4 2 4 21 1 ( 2) 3 ( 1) ( 2) 3 3 18 212 2yz x yz ．
【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，
同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．
类型三、多项式除以单项式
4、计算：
（1） 2 3 2 3 3 4 21( 3 ) 2 (3 ) 92xy x x xy y x y ；
（2） 2[( 2 )( 2 ) 4( ) ] 6x y x y x y x ；
（3） 5 4 3 3[2( ) 3( ) ( ) ] [2( ) ]a b a b a b a b ．
【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中 ( )a b 看作一个整体，然后再按
多项式除以单项式的法则计算．
【答案与解析】
解：（1）原式 2 2 3 2 3 9 4 219 2 27 92x y x x x y y x y
68 / 73
5 2 5 10 4 2 8(9 27 ) 9 3x y x y x y x xy ．
（2）原式 2 2 2 2[ 4 4( 2 )] 6x y x xy y x 2 2 2 2( 4 4 8 4 ) 6x y x xy y x
2(5 8 ) 6x xy x 5 4
6 3x y ．
（3）原式 5 4 3 3[2( ) 3( ) ( ) ] [2( ) ]a b a b a b a b
5 3 4 3 3 32( ) 2( ) 3( ) 2( ) ( ) 2( )a b a b a b a b a b a b
2 3 1( ) ( )2 2a b a b ．
【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注意整
体思想的应用，如第（3）题．
举一反三：
【变式】先化简，再求值．
（1） 2 2 2 2 4[( 2 ) ( )( ) 5 ] 2x y x y x y y y ，其中 2x ， 1
4y ；
（2）已知 2 10x y ，求 2 2 2[( ) ( ) 2 ( )] 4x y x y y x y y 的值．
【答案】解：（1）原式 2 2 4 2 4 4[ 4 4 ( ) 5 ] 2x xy y x y y y
2 2 4 2 4 4( 4 4 5 ) 2x xy y x y y y
24 2 2xy y xy ．
当 2x ， 1
4y 时，原式 12 ( 2) 14
．
（2）原式 2 2 2 2 2( 2 2 2 ) 4x y x xy y xy y y
2(4 2 ) 4xy y y
1
2x y ．
由已知 2 10x y ，得 1 52x y ，即 1 52x y ．
5、已知一个多项式除以多项式 2 4 3a a 所得的商式是 2 1a ，余式是 2 8a ，求这个多项
式．
【答案与解析】
解： 所求的多项式为
2 3 2 2( 4 3)(2 1) 2 8 2 8 6 4 3 2 8a a a a a a a a a a
69 / 73
3 22 9 5a a ．
【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式＋余
式，应牢记这一关系式．
【巩固练习】
一.选择题
1.下列计算中正确的是( )．
A. 2 1 2a ax x x B. 6 3 2 2xy xy x y
C. 12 5 2 9x x x x D. 4 2 3 3 2n n n nx x x x
2．若 2 1 3m ny x x y xy ，则 ,m n 值是( )．
A. m ＝ n ＝1 B. m ＝ n ＝2
C. m ＝1， n ＝2 D. m ＝2， n ＝1
3． )
2
1(4 3224 yzxzyx 的结果是( )．
A.8 xyz B.－8 xyz C.2 xyz D.8 2 2xy z
4．下列计算中错误的是( )
A. 25 3 2 24 2a b c a bc ab B. 2 3 2 224 3 2 16a b a b a ab
C.
2
14)2
1(4 222 yxyyx D. 3658410 2
2
1)()( aaaaaa
5. 已知 5 37x y 与一个多项式之积是 7 3 6 5 5 528 98 21x y x y x y ，则这个多项式是( )
A. 2 24 3x y B. 2 24 3x y xy
C. 2 2 24 3 14x y xy D. 2 2 34 3 7x y xy
6. 计算 2 3 8x x 除以 3x 后，得商式和余式分别为（ ）
A．商式为 3，余式为 28x B．商式为 3，余式为 8
C．商式为 3 x ＋8，余式为 28x D．商式为 3 x ＋8，余式为 0
二.填空题
7. 已知 2 5 3 0x y ，则 4 32x y ＝_____________；若 9ma ， 8na ， 4ka 则
70 / 73
2 3m n ka ．
8. 5 32a a __________, 20 10 79 27 3 __________,
0
2 13 9
______.
9. (1)已知10m ＝3，10n ＝2， 210 m n __________．
(2)已知 23 m ＝6，9n ＝8， 6 43 m n ___________．
10. 已知 A 是关于 x 的四次多项式，且 A÷ x ＝B，那么 B 是关于 x 的_______次多项式．
11. 若 M 33 2 2a b a b ，那么整式 M＝____________．
12．若 2x ＝3， 2y ＝6， 2z ＝12， x ， y ， z 之间的数量关系是________．
三.解答题
13．先化简，再求值：
3 2 3 2 2 5 2 4a b a b a b a b a ，其中 a ＝2，b ＝－3．
14．已知 99
9
9
99P ， 90
9
9
11Q ，那么 P，Q 的大小关系怎样?为什么?
15. 是否存在常数 p 、q 使得 4 2x px q 能被 522 xx 整除？如果存在，求出 p 、q 的值，否
则请说明理由.
71 / 73
72 / 73
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】 2 1a ax x x ； 6 3 3 3xy xy x y ； 4 2 3 5n n n nx x x x .
2. 【答案】A；
【解析】 2 1 2 1 3m n m ny x x y y x xy ，所以 2 1 3m ， 1m ， n ＝1.
3. 【答案】A；
【解析】 4 2 2 3 4 3 2 1 2 11 14 ( ) 4 82 2x y z x yz x y z xyz
.
4. 【答案】D；
【解析】 10 4 8 5 6 31( ) ( ) 22a a a a a a .
5. 【答案】C；
【解析】这个多项式为 7 3 6 5 5 5 5 3 2 2 228 98 21 7 4 3 14x y x y x y x y x y xy .
6. 【答案】A；
【解析】 3x ×商式＋余式＝ 2 3 8x x .
二.填空题
7. 【答案】8；9；
【解析】 2 5 34 32 2 2 8x y x y ； 2 3 2 3 2 39 8 4 9m n k m n ka a a a .
8. 【答案】 7 ;27;10a ；
【解析】 20 10 7 40 30 7 39 27 3 3 3 3 3 27 .
9. 【答案】(1)
2
9 ；(2)
8
27 ；
【解析】 22 910 10 10 2
m n m n ； 33 26 4 2
2
6 273 3 9 8 8
m n m n .
10.【答案】三；
11.【答案】 3a b ；
【解析】M＝ 3 3 32 2a b a b a b .
12．【答案】 2y x z ；
73 / 73
【解析】 2 22 2 36 2 2 2 3 12y y x z x z ，所以 2y x z .
三.解答题
13.【解析】
解：原式＝ 2 2 2 29 4 5 2 10 4 4a b a ab ab b a
＝ 24 8 4a ab a
＝ 2a b
当 a ＝2，b ＝－3 时，原式＝ 2 2 3 8 .
14.【解析】
解：∵
9 9
99 90
99 11
9 9P Q
9 90
99 9
9 9 90
99 9
9 11 9
9 11
9 11 9 19 11
∴ P＝Q.
15. 【解析】
解：设 2 2 4 2( )( 2 5)x mx n x x x px q
4 3 2 4 2( 2) ( 2 5) (2 5 ) 5x m x n m x n m x n x px q
由等式左右两边对应系数相等可得：
2 0m , 2 5n m p , 2 5 0n m , 5n q
解得： 6p ， 25q
所以 p 、 q 是存在的.
微信/支付宝扫码支付