2021届高三数学(新高考)冲刺模拟考试押题卷(8) 含答案详解
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2021届高三数学(新高考)冲刺模拟考试押题卷(8) 含答案详解

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资料简介
2021 新高考数学押题卷(8) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.复数 z 满足 ( 2 ) (1 ) 2(z i i i    为虚数单位),则| | (z  ) A.1 B.2 C. 2 D. 5 2.已知集合 { | ( 1)( 2) 0}A x x x   „ , { | ( 1) 1}B x ln x  … ,则 ( ) A. A B B B. A B B C. ( ) [ 1RA B   ð , 1)e  D. ( )R A B Rð 3.已知平面 ,  , ,直线 m , n ,则下列命题中正确的是 ( ) A.若 / /m  , n  ,则 / /m n B.若  , m  , n  ,则 m n C.若 l   , / /m  , / /m  ,则 / /m l D.若 l   ,m  ,m l ,则 m  4.若正项等比数列{ }na 的公比为 (e e 是自然对数的底数),则数列 2 1{ }nlna  是 ( ) A.公比为 2e 的等比数列 B.公比为 2 的等比数列 C.公差为 2e 的等差数列 D.公差为 2 的等差数列 5.已知第一象限的点 ( , )a b 在直线 3 4 1 0x y   上,则 1 3 a b  的最小值是 ( ) A.5 2 3 B.8 C. 7 4 D.27 6.已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的一个焦点为 F ,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线 的垂线,垂足为 A .若 (OFA O 为坐标原点)的面积等于 21 (4 c c 为双曲线 C 的半焦距),则 双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 7.2021 年是中国共产党百年华诞,3 月 24 日,中宣部发布中国共产党成立 100 周年庆祝活 动标识(图1) ,标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和 56 根光芒线组成,生动展 现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100” 的两个“0”设计为两个半径为 R 的相交大圆,分别内含一个半径为 r 的同心小圆,且同心 小圆均与另一个大圆外切(图 2) .已知 ( 2 1)R r  ,则在两个大圆的区域内随机取一点, 则该点取自两大圆公共部分的概率为 ( ) A. 1 2 1     B. 2 3 2     C. 3 4 3     D. 4 5 4     8.已知锐角 ABC 的角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且 sin (sin sin )a A b B C  , 则 1 cos2( ) cos A B B   的取值范围为 ( ) A. (0,1) B. (1, 2) C. ( 2, 3) D.[1, 3] 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的对 2 分,有选错的得 0 分。 9. 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标.如图是某地 9 月 1 日到 10 日的 2.5PM 日均值(单 位: 3/ )g m 的折线图,则下列说法正确的是 ( ) A.这 10 天中 2.5PM 日均值的众数为 33 B.这 10 天中 2.5PM 日均值的中位数是 32 C.这 10 天中 2.5PM 日均值的中位数大于平均数 D.这 10 天中 2.5PM 日均值前 4 天的方差大于后 4 天的方差 10.已知非零实数 a , b 满足 3 2a b ,则下列不等关系中正确的是 ( ) A. a b B.若 0a  ,则 0b a  C. | | | | 1 | | 1 | | a b a b   D.若 30 log 2a  ,则 b aa b 11.已知直线 1 : 4 0l x y   与圆心为 (0,1)M 且半径为 3 的圆相交于 A , B 两点,直线 2 : 2 2 3 5 0l mx y m    与圆 M 交于 C ,D 两点,则四边形 ACBD 的面积的值可以是 ( ) A.9 3 B.9 2 C. 6 2 D.9( 2 1) 12.如图,四棱锥 P ABCD 的底面为矩形, PD  底面 ABCD , 1AD  , 2PD AB  , 点 E 是 PB 的中点,过 A , D , E 三点的平面 与平面 PBC 的交线为 l ,则 ( ) A. / /l 平面 PAD B. / /AE 平面 PCD C.直线 PA 与l 所成角的余弦值为 5 5 D.平面 截 P ABCD 四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为 3 5 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 2 5 3 1(3 )x x  的展开式中的常数项为 . 14.设单位向量 a ,b  的夹角为 ,| 2 | 3a b  ,则  . 15.函数 ( ) sin( )( 0)3f x x     向右平移 3  单位后,在[ 2  , ] 上仅有一个零点,则 的 取值范围是 . 16.已知抛物线 2: 4C y x 与椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yD a ba b     有一个公共焦点 F ,则点 F 的坐 标是 ;若抛物线的准线与椭圆交于 A , B 两点, O 是坐标原点,且 AOB 是直角三角 形,则椭圆 D 的离心率 e  . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知公差不为 0 的等差数列{ }na 满足 1 1a  ,且 1a , 2a , 5a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{ }na 的通项公式; (Ⅱ)若 12n nb  ,求数列{ }n na b 的前 n 项和 nT . 18.在 ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 2 2 2 3( )sin 2a b c C ab   . (1)求角 C 的大小; (2)若 4C  , 5c  , ABC 的周长为 12,求 ABC 的面积. 19.2020 年 8 月,习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示,要求进一步加强宣传 教育,切实培养节约习惯,在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻总书记指示, 大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者,协助食堂宣传节约粮食的相关活动.现已有高一 63 人,高二 42 人,高三 21 人报名参加志愿活动.根据活动安排,拟采用分层抽样的方法, 从已报名的志愿者中抽取 12 名志愿者,参加为期 20 天的第一期志愿活动. (1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人? (2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取 4 人去粘贴宣传标语,设这 4 人中 含有高二学生 X 人,求随机变量 X 的分布列; (3)食堂每天约有 400 人就餐,其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的 重量(单位:公斤),以 10 天为单位来衡量宣传节约粮食的效果.在一个周期内,这组志 愿者记录的数据如下: 前 10 天剩菜剩饭的重量为:24.1 25.2 24.5 23.6 23.4 24.2 23.8 21.5 23.5 21.2 后 10 天剩菜剩饭的重量为:23.2 21.5 20.8 21.3 20.4 19.4 20.2 19.3 20.6 18.3 借助统计中的图、表、数字特征等知识,分析宣传节约粮食活动的效果(选择一种方法进行 说明即可). 20.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面四边形 ABCD 是矩形, 2AB AP BC  ,平面 PAB  平面 ABCD ,二面角 P BC A  的大小为 45. (1)求证: PA  平面 ABCD ; (2)求直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值. 21.已知抛物线: 2: 2 ( 0)x py p   的焦点为 F ,准线为l ,O 为坐标原点, A 为抛物线  上位于第一象限内一点,直线 AO 与l 交于点 D ,直线 AF 与抛物线的另一个交点为 B . (1)试判定直线 BD 与 y 轴的位置关系,并说明理由; (2)过点 B 作抛物线的切线交 y 轴于点 E ,与直线 AO 交于点 G ,连接 DE .记 ABG , DEG 的面积分别为 1S , 2S ,当 1 22S S 时,若点 A 的横坐标为 2 2 1 ,求抛物线  的 方程. 22.已知函数 2( ) ( 1)f x ln x ax x    , a R . (1)讨论函数 ( )f x 的单调区间; (2)若函数 ( )f x 对 m , [0n ,1]( )m n 都有 ( 1) ( 1) 1f m f n m n     恒成立,求 a 的取值 范围. 2021 新高考数学押题卷(8)答案 1.解:由 ( 2 ) (1 ) 2z i i    得 22 11z i ii     , 1z i   , 故 2 2| | 1 1 2z    . 故选: C . 2.解:由 ( 1)( 2) 0x x  „ ,解得 1 2x „ „ , { | 1 2}A x x   „ „ , 由 ( 1) 1ln x  … 得 1x e … , { | 1}B x x e  … , { | 1}R B x x e   ð , { | 2R A x x ð 或 1}x   , { | 1 2}A B x e x   „ „ , { | 2}A B x x „ , ( ) [ 1RA B   ð , 1)e  , ( ) { | 2R A B x x ð 或 1}x e „ . 故选: C . 3.解:平面 ,  , ,直线 m , n , 对于 A ,若 / /m  , n  ,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误; 对于 B ,若  , m  , n  ,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 B 错误; 对于 C ,若 l   , / /m  , / /m  ,则由线面平行的性质得 / /m l ,故 C 正确; 对于 D ,若 l   , m  , m l ,则 m 与  不一定垂直,故 D 错误. 故选: C . 4.解:正项等比数列{ }na 的公比为 (e e 是自然对数的底数), 2 2 2 1 1 n na a e    , 2 2 2 1 1 1 1( ) 2 2 2 ( 2)n nlna ln a e lna n n lna         , 数列 2 1{ }nlna  是公差为 2 的等差数列. 故选: D . 5.解:由题意得3 4 1a b  , 0a  , 0b  , 则 1 3 1 3 4 9 4 9( )(4 3 ) 15 15 2 27b a b ab aa b a b a b a b          … , 当且仅当 4 9b a a b  且 3 4 1a b  ,即 1 9a  , 1 6b  时取等号,此时 1 3 a b  的最小值 27. 故选: D . 6.解:设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点 ( ,0)F c , 双曲线 C 的一条渐近线方程设为 0bx ay  , 可得 2 2 | | bcAF b a b    , 2 2| |OA c b a   , OAF 的面积为 21 4 c ,即有 21 1 2 4ab c , 化为 2 2 2 44 ( )a c a c  , 4 24 4 0e e   , 则 2e  , 故选: C . 7.解:如图,设 D 为线段 AB 的中点, 2 2 2OD r , ( 2 1)R r  , 在 AOD 中, 2cos 2 ODAOD OA    ,  4AOD   , 2AOB   , 两大圆公共部分的面积为: 2 2 212( ) ( 1)4 2 2R R R    , 则该点取自两大圆公共部分的概率为 2 2 2 ( 1) 22 3 22 ( 1)2 R R R         . 故选: B . 8.解:因为 sin (sin sin )a A b B C  , 由正弦定理可得 2 2a b bc  ,显然 a b , A B , 可得 2 2 2 2 cos 02 2 2 b c a c bc c bA bc bc b        , 由 cos 2 c bA b  ,可得 2 cosb A c b  ,可得 2sin cos sin sin sin( ) sinB A C B A B B     , 所以 sin( ) sinA B B  , 由 A , B , C 为锐角, 所以 A B B  , 2A B , 3C A B B      , 所以 0 2 2B   , 0 3 2B    ,可得 6 4B   ,可得 2cos ( 2B , 3)2 , 所以 1 cos2( ) 1 cos2 2cos ( 2cos cos A B B BB B      , 3) . 故选: C . 9.解:由图可知,众数为 33,中位数为 32,故 AB 正确, 因为受极端值 128 的影响,平均数应大于中位数,故 C 错误, 前四天图象比后四天图象波动大,故 D 正确; 故选: ABD . 10.解:对于 A ,由指数函数的图象可知,0 a b  或 0b a  ,故选项 A 错误,选项 B 正 确; 对于 C ,函数 111 1 xy x x     在 ( 1, )  上单调递增,而| | | |a b ,故选项 C 正确; 对于 D , 30 log 2a  ,则有 0 1a b   ,所以 b a aa a b  ,故选项 D 正确. 故选: BCD . 11.解:根据题意,圆 M 的圆心为 (0,1)M 且半径为 3,则圆 M 的方程为 2 2( 1) 9x y   , 即 2 2 2 8 0x y y    , 直线 1 : 4 0l x y   与圆 M 相交于 A , B 两点, 则有 2 2 2 8 0 4 0 x y y x y          ,解可得: 3 1 x y    或 0 4 x y    ,即 A 、 B 的坐标为 (3,1) , (0,4) , 则| | 9 9 3 2AB    ,且 AB 的中点为 3(2 , 5)2 , 直线 2 : 2 2 3 5 0l mx y m    ,变形可得 (2 3) 2 5 0m x y    ,直线 2l 恒过定点 3(2 , 5)2 , 设 3(2N , 5)2 , 当 CD 与 AB 垂直时,四边形 ACBD 的面积最大, 此时 CD 的方程为 5 3 2 2y x   ,变形可得 1y x  ,经过点 (0,1)M , 则此时| | 6CD  , 故 ACBDS四边形 的最大值 1 6 3 2 9 22ACB ADBS S       , 故 9 2ACBDS四边形 „ , 分析选项: BC 符合题意, 故选: BC . 12.解:对于 A ,取 PC 中点 F ,连接 DF 、 EF , 点 E 是 PB 的中点, / /EF AD , 过 A , D , E 三点的平面 与平面 PBC 的交线为l , l 与 EF 重合, / /l AD , AD  平面 PAD , l  平面 PAD , / /l 平面 PAD ,故 A 正确; 对于 B ,由 A 知 / /EF AD ,且 1 2EF AD , AE 与 DF 相交, AE 与平面 PCD 相交,故 B 错误; 对于 C ,由 A 知 / /l AD , PAD 是直线 PA 与 l 所成角(或所成角的补角), 四棱锥 P ABCD 的底面为矩形, PD  底面 ABCD , 1AD  , 2PD AB  , 2 21 2 5PA    , 直线 PA 与 l 所成角的余弦值为: 5cos 5 ADPAD PA    ,故 C 正确; 对于 D ,由 A 知截面  就是平面 AEFD ,下半部分分为四棱锥 E ABCD 和三棱锥 E DFC . 所以下部分体积为: 5 6 ,所以上部分 4 5 3 3 6 6    ,上下之比就是 3:5 .故 D 正确. 故选: ACD . 13.解:二项式 2 5 3 1(3 )x x  的通项公式为 2 5 5 10 5 1 5 53 1(3 ) ( ) 3r r r r r r rT C x C xx          , 令10 5 0r  ,解得 2r  , 所以二项式 2 5 3 1(3 )x x  的展开式中的常数项为: 2 3 5 3 270C   . 故答案为:270. 14.解:单位向量 a , b  的夹角为 ,| 2 | 3a b  , 可得 2 24 4 3a a b b      , 所以 4| || | cos 2a b    , 所以 1cos 2    ,因为 [0  , ] , 所以 2 3   . 故答案为: 2 3  . 15.解:函数 ( ) sin( )( 0)3f x x     向右平移 3  单位后,可得 sin( )3 3y x     的图 象, 由于所得图象对应的函数在[ 2  , ] 上仅有一个零点, 而 [3 3 3 6x         , 2 ]3 3   , 3 6    „ ,且 2 3 3    … , 1 4 „ „ , 则 的取值范围是[1, 4], 故答案为:[1, 4]. 16.解:抛物线 2: 4C y x 与椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yD a ba b     有一个公共焦点 F ,则点 F 的坐 标是 (1,0) , 抛物线的准线与椭圆交于 A , B 两点, O 是坐标原点,且 AOB 是直角三角形, 所以 ( 1.1)A  , ( 1, 1)B   , 所以 2 2 1 1 1a b   , 2 2 1a b  , 2 1 5 2b  , 2 3 5 2a  , 所以,离心率为: 1 2 5 1 23 5 1 5 2 e      . 故答案为: 5 1 2  . 17.解:(Ⅰ)设数列{ }na 的公差为 ( 0)d d  , 由题设可得: 2 2 1 5a a a ,即 2(1 ) 1 4d d   ,解得: 2d  , 1 2( 1) 2 1na n n      ; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: 1(2 1) 2n n na b n    , 0 1 2 11 2 3 2 5 2 (2 1) 2n nT n           , 又 1 2 12 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n          , 两式相减得: 2 1 2 3 2 (1 2 )1 2 2 2 (2 1) 2 1 (2 1) 21 2 n n n n nT n n              , 整理得: (2 3) 2 3n nT n    . 18.解:(1)由余弦定理知, 2 2 2 2 cosa b c ab C   , 因为 2 2 2 3( )sin 2a b c C ab   , 所以 32 cos sin 2ab C C ab ,即 3sin 2 2C  . 又 0 C   , 所以 2 3C  或 2 3  , 所以 6C  或 3  . (2)由(1)及 4C  ,得 3C  , 因为 12a b c   ,且 5c  , 所以 7a b  , 由余弦定理知, 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos 3c a b ab C a b ab ab         ,即 25 49 3ab  , 所以 8ab  , 所以 ABC 的面积 1 1sin 8 sin 2 32 2 3S ab C      . 19.解:(1)报名的学生共有 126 人,抽取比例为 12 2 126 21  , 所以高一抽取 263 621   人,高二抽取 242 421   人,高三抽取 221 221   人. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 2,3,4, 2 2 4 2 4 6 2( 2) 5 C CP X C    , 3 1 4 2 4 6 8( 3) 15 C CP X C    , 4 0 4 2 4 6 1( 4) 15 C CP X C    , 所以随机变量 X 的分布列为: P 2 3 4 X 2 5 8 15 1 15 (3)法一:(数字特征)前 10 天的平均值为 23.5,后 10 天的平均值为 20.5, 因为 20.5 23.5 , 所以宣传节约粮食活动的效果很好. 法二:(茎叶图) 因为前 10 天的重量集中在 23、24 附近, 后 10 天的重量集中在 20 附近, 所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少,宣传效果很好. 20.(1)证明:底面四边形 ABCD 是矩形, BC AB  , 又平面 PAB  平面 ABCD ,平面 PAB  平面 ABCD AB , BC  平面 ABCD , BC  平面 PAB , AB  平面 PAB , PB  平面 PAB , PA  平面 PAB BC AB  , BC PB , BC PA , PBA 为二面角 P BC A  的平面角, 又二面角 P BC A  的大小为 45, 45PBA   , 在 PAB 中 AB AP , 45PBA BPA     , 90PAB   ,即 AB AP , 又 BC PA , AB BC B , PA  平面 ABCD ; (2)解:如右图所示,在底面 ABCD 内,过点 B 作 BH AC ,垂足为 H ,连接 PH , 由(1)知 PA  平面 ABCD , BH  平面 ABCD , BH PA  , 又 PA AC A , BH  平面 PAC , BPH 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角,其中 2 5 AB BCBH BCAC   , 2 2 2BP PA BC  , 直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 2 105 102 2 BCBH BP BC   . 21.解:(1)由题意可得 (0, )2 pF ,准线 : 2 pl y   , 设 1(A x , 2 1 )2 x p , 2(B x , 2 2 )2 x p ,则直线 AO 的方程为 1 2 xy xp  ,故 D 的横坐标为 2 1 D px x   , 设直线 AB 的方程为 2 py kx  ,代入 2 2x py , 可得 2 22 0x pkx p   , 所以 2 1 2x x p  ,则 2 2 1 px x   , 所以 2 Dx x , 所以直线 BD 与 y 轴平行; (2)由题意可得 1 1 2 2 1 1 1 1| | ( ) | | ( ) | | ( )2 2 2G GS BD x x BD x x BD x x         . 2 2 2 1 1 1| | ( ) | | ( ) | | ( )2 2 2G GS BD x BD x x BD x         . 因为 1 22S S ,所以 1 2G Gx x x   ,即 1Gx x  , 又 G 在直线 AO 上,所以 2 1 1 1 1( )2 2G x xy x yp p       ,即 1(G x , 1)y , 抛物线在 B 处的切线的方程为 2 2 2 2 x xy xp p   , 所以 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2 2 2 x x x xpy x pp p p p p          , 将 2 1 1 2 xy p  , 2 2 1 px x   ,代入上式可得 4 2 2 4 1 12 0x x p p   , 解得 2 2 1 (1 2) 0x p    ,或 2 2 2 1 ( 2 1) (2 2 1) 4( 2 1)x p      ,可得 2p  , 故抛物线的方程为 2 4x y . 22.解:(1)依题意有定义域为 ( 1, )  , 1 (2 2 1)( ) 2 11 1 x ax af x axx x         , 当 0a… 时, 2 ( 1) 0a x   , 2 2 1 0ax a   , 当 ( 1,0)x  时 ( ) 0f x  , ( )f x 为增函数, 当 [0x , ) 时, ( ) 0f x „ , ( )f x 为减函数; 当 0a  时,令 ( ) 0f x  ,得 1 0x  , 2 11 2x a    ( )i 当 2 1x x , 11 02a    ,即当 1 2a   时, 11 12a     , 则 1( 1, 1 ) (0, )2x a      时, ( ) 0f x  , ( )f x 在 1( 1, 1 )2a    , (0, ) 上均为增函数,在 1( 1 ,0)2a   上为减函数; ( )ii 当 2 1x x , 11 02a    ,即 1 2a   时, 2 ( ) 01 xf x x    … , ( )f x 在 ( 1, )  上为增函数; ( )iii 当 2 1x x , 11 02a    ,即 1 02 a   时, 则 1( 1,0) ( 1 , )2x a      时, ( ) 0f x  , ( )f x 在 ( 1,0) , 1( 1 , )2a    上均为增函数;在 1(0, 1 )2a   上为减函数; 综上:当 1 2a   时, ( )f x 增区间为 1( 1, 1 )2a    , (0, ) ,减区间为 1( 1 ,0)2a   ; 当 1 2a   时, ( )f x 增区间为 ( 1, )  ; 当 1 02 a   时, ( )f x 增区间为 ( 1,0) 和 1( 1 , )2a    ,减区间为 1(0, 1 )2a   ; 当 0a… 时, ( )f x 增区间为 ( 1,0) ,减区间为[0 , ) . (2)不妨令 m n ,则 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f m f n m n m n         , 即 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f m m f n n       , 令 ( ) ( )g x f x x  ,则 ( )g x 在[1, 2]上为减函数, 22 2 2 1( ) ( ) 1 0, [1,2]1 ax ax xg x f x xx          „ , 即 2 2 12 xa x x  … 对1 2x„ „ 恒成立, 令 2 2 1( ) xu x x x   , 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1)(2 1) 2 2 1( ) 0( ) ( ) x x x x x xu x x x x x            , 当1 2x„ „ 时, 5 3( )6 2u x„ „ ,所以当1 2x„ „ 时, 2 3 2 1 5 2 6 x x x   „ „ ,  5 12a … , 故 a 的取值范围为 5[ , )12   .

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