第 7 章 二元一次方程组
一．选择题
1．下列方程中，二元一次方程的个数有（ ）
①
2x﹣ ＝1；
②
＝3；
③
x2﹣y2＝4；
④
＝7；
⑤
2x2＝3，；
⑥
x+ ＝4．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．二元一次方程 3x+4y＝20 的正整数解有（ ）
A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
3．已知 3x﹣ ＝1，用含 x 的式子表示 y 下列正确的是（ ）
A．y＝6x﹣2 B．y＝2﹣6x C．y＝﹣1+3x D．
4．已知甲校原有 1016 人，乙校原有 1028 人，寒假期间甲、乙两校人数变动的原因只有转
出与转入两种，且转出的人数比为 1：3，转入的人数比也为 1：3．若寒假结束开学时甲、
乙两校人数相同，则乙校开学时的人数与原有的人数相差多少？（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 是方程组 的解，则 a﹣b 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
7．方程组 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问
题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐 3 人，则 2 辆车无人乘坐；若每车乘坐 2 人，
则 9 人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有 x 辆车，y 人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．商家常将单价不同的 A、B 两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、
B 两种糖的总价与 A、B 两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克
数的 A 种糖和 B 种糖混合而成的“什锦糖甲，另一种是由相同金额数的 A 种糖和 B 种糖
混合而成的“什锦糖乙．若 B 种糖比 A 种糖的单价贵 40 元/千克，“什锦糖”甲比“什锦
糖”乙的单价贵 5 元/千克，则 A 种糖的单价为（ ）
A．50 元/千克 B．60 元/千克 C．70 元/千克 D．80 元/千克
10．如果方程组 的解是方程 3x﹣5y﹣28＝0 的一个解，则 a＝（ ）
A．2.1 B．3 C．7 D．6
二．填空题
11．若方程（m﹣2）x+2y＝4 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m 满足的条件是 ．
12．若方程 x+2y＝1，6x﹣8y＝1 与 kx﹣y＝﹣2 有公共解，则 k＝ ．
13．在方程 x+2y＝3 中，用含 x 的代数式表示 y 的正确表达为 ．
14．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，
将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集 x 分，销售业绩第
二名集 y 分，销售业绩第三名集 0 分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过 4 个
月）考核后，第一小组集分为 23 分，第二小组集分为 20 分，第三小组集分为 9 分，则
第一小组最多得到 次第二名．
15．已知关于 x、y 的方程组 的解满足 3﹣x+2y＝0，则 k 的值为 ．
三．解答题
16．（1）我们知道对于任意实数 x，ax＝b 成立的条件是 a＝ ，b＝ ；
（2）对于任意实数 a、b，关于 x、y 的二元一次方程（a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b 有一组
公共解，请求出这些方程的公共解．
17．求方程 5x﹣3y＝﹣7 的正整数解．
18．某医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械，甲器械每台 2 万元，乙器械每台 5 万元．今
年厂方给经销部规定了 24 万元的营销任务，那么该经销部要想完成任务，有哪些销售方
案可选择？若乙器械的利润是甲器械的 3 倍，那么你觉得选择哪个方案更好些？
19．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．
（1）解方程组 ，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解
为 ；
（2）如何解方程组 呢？我们可以把 m+5，n+3 看成一个整体，设
m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
若关于 m，n 的方程组 的值与 有相同的解，求 a、b 的值．
20．解方程组
（1）
（2）
参考答案
一．选择题
1．解：
①
2x﹣ ＝1，是二元一次方程；
②
+ ＝3，是分式方程，不是二元一次方程；
③
x2﹣y2＝4，是二元二次方程；
④
+ ＝7，是二元一次方程；
⑤
2x2＝3，是一元二次方程；
⑥
x+ ＝4，是分式方程，不是二元一次方程．
所以有
①④
是二元一次方程，
故选：B．
2．解：把方程 3x+4y＝20 变形，得：
x＝ ，
要使 x，y 都是正整数，
当 y＝2 时，x＝4，
所以方程的正整数解有一组．
故选：A．
3．解：∵3x﹣ ＝1，
∴ ，
∴y＝6x﹣2．
故选：A．
4．解：设甲、乙两校转出的人数分别为 x 人、3x 人，甲、乙两校转入的人数分别为 y 人、
3y 人，
∵寒假结束开学时甲、乙两校人数相同，
∴1016﹣x+y＝1028﹣3x+3y，
整理得：x﹣y＝6，
开学时乙校的人数为：1028﹣3x+3y＝1028﹣3（x﹣y）＝1028﹣18＝1010（人），
∴乙校开学时的人数与原有的人数相差；1028﹣1010＝18（人），
故选：D．
5．解：A、是二元二次方程组，故 A 符合题意；
B、xy 的次数是二次，故 B 不合题意；
C、 不是整式方程，故不合题意；
D、未知数的项最高次数是二次，故 D 不合题意；
故选：A．
6．解：∵ 是方程组 的解，
∴ ，
两个方程相减，得 5a﹣5b＝5，
∴a﹣b＝1，
故选：B．
7．解：当 x≥0，y≤0 时，原方程组可化为： ，解得 ；
由于 y≤0，所以此种情况不成立．
当 x≤0，y≥0 时，原方程组可化为： ，解得 ．
当 x≥0，y≥0 时， ，无解；
当 x≤0，y≤0 时， ，无解；
因此原方程组的解为： ．
故选：A．
8．解：根据题意可得：
，
故选：A．
9．解：设 A 种糖的单价为 x 元/千克，则 B 种糖的单价为（x+40）元/千克，
“什锦糖”甲的单价为 （x+x+40）元/千克，
“什锦糖”乙的单价为 2÷（ + ）元/千克，
根据题意，得
（x+x+40）﹣2÷（ + ）＝5，
解得 x＝60，
经检验 x＝60 是分式方程的解，也符合题意，
所以 A 种糖的单价为 60 元/千克．
故选：B．
10．解：解方程组 得 ．
代入方程 3x﹣5y﹣28＝0 得 10a+ ﹣28＝0，解得 a＝2.1．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵方程（m﹣2）x+2y＝4 是关于 x、y 的二元一次方程，
∴m﹣2≠0，
解得 m≠2．
故答案为：m≠2．
12．解：∵方程组 的解为 ，
因为方程 x+2y＝1，6x﹣8y＝1 与 kx﹣y＝﹣2 有公共解，
所以 x＝ ，y＝ 适合方程 kx﹣y＝﹣2．
∴ k﹣ ＝﹣2．
∴k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
13．解：方程 x+2y＝3，
解得：y＝ ，
故答案为：y＝ ．
14．解：根据题意，得
一共经过了： （个）月，
23+20+9＝52，x＞y，
∵ ＞4，
∴x+y＜13，
故 x+y 可以为：1，2，4，
又∵x＞y，故 x＝3，y＝1，
∴一共有 13 个月，
设第一小组有 a 个月得第一名，b 个月得第二名，根据题意，得
由
①
得：3a+3b≤39
③由
②
得，3a＝23﹣b
④将
④
代入
③
，解得 b≤8，
当 b＝8 时，a＝5，
答：第一小组最多得到 8 次第二名．
故答案为：8．
15．解：解关于 x、y 的方程组 ，
①
×3﹣
②
得：x＝3k+2，
③把
③
代入
①
，得
y＝k+2，
④把
③
、
④
代入 3﹣x+2y＝0，得
3﹣（3k+2）+2（k+2）＝0，
解得 k＝5，
故答案为：5．
三．解答题
16．解：（1）对于任意实数 x，ax＝b 成立，说明方程 ax＝b 有无数个解，则 a＝0，b＝0 符
合题意，
故答案为：a＝0，b＝0．
（2）将二元一次方程 a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b 变形得：
a（x﹣y﹣1）﹣b（x+y+1）＝0
则当 时，
对于任意实数 a、b，关于 x、y 的二元一次方程（a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b 有一组公共
解
解得：
∴这些方程的公共解为： ．
17．解：5x﹣3y＝﹣7，
y＝ ，
当 x＝1 时，y＝4，即 为原方程组的一组整数解，因此，原方程的所有整数解为
（k 为任意整数），
∵x＞0，y＞0，
∴ ，
解得：k＜ ，
所以，当 k＝0，﹣1，﹣2，…时，方程 5x﹣3y＝﹣7 可得无穷多组整数解： （k
＝0，﹣1，﹣2，…）．
18．解：设分别销售甲、乙两种医疗器械 x、y 台，
由题意得，2x+5y＝24，
∵2x 与 24 都是偶数，
∴5y 也是偶数，
∴y＝2 时，x＝7，
y＝4 时，x＝2，
故，销售方案为：方案一，销售甲器械 7 台，乙器械 2 台，
方案二，销售甲器械 2 台，乙器械 4 台；
设甲器械每台的利润为 a 万元，则乙器械每台的利润为 3a 万元，
方案一利润，7a+2•3a＝13a，
方案二利润，2a+4•3a＝14a，
∵13a＜14a，
∴选择方案二更好些．
19．解：（1）方程组的解为： ；故应填： ；
（2）设 m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组 ，由（1）可得： ，所
以可解得 ，故应填： ；
由方程组 的值与 有相同的解可得方程组 ，解得
，
把 bn＝4 代入方程 2m﹣bn＝﹣2 得 2m＝2，解得 m＝1，
再把 m＝1 代入 3m+n＝5 得 3+n＝5，解得 n＝2，
把 m＝1 代入 am＝3 得：a＝3，
把 n＝2 代入 bn＝4 得：b＝2，
所以 a＝3，b＝2．
20．解：（1） ，
把
②
代入
①
得：﹣3（y﹣1）+2y＝1，
y＝2，
∴x＝2﹣1＝1，
∴方程组的解为： ；
（2） ，
①
﹣
②
得：9t＝3，
t＝ ，
把 t＝ 代入
①
得：2s+1＝2，s＝ ，
∴方程组的解为： ．
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