注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷 选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（2021·四川绵阳市·高三三模（理））已知集合 2{ | 1}A x x ，则 R A ð （ ）
A． 1,1 B． 1,1
C． , 1 1, U D． , 1 1,
【答案】B
【解析】
先求出集合 A，再根据补集的定义即可求出.
【详解】
2 1 1A x x x x 或 1x ，
R 1 1 1,1A x x ð .
故选：B.
2．（2021·全国高三月考（文））已知 2 1z i i ，则 z 的虚部为（ ）
A． 3
5
i B． 1
5
C． 3
5
i D． 3
5
【答案】D
【解析】
由复数运算法则及虚部概念得解.
【详解】
因为 1 21 1 3
2 5 5 5
i iiz ii
，
所以 z 的虚部为 3
5 .
故选: D.
3．（2021·四川高三一模（文））某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（ ）
A． 9
2 B．9 C． 27
2 D．27
【答案】B
【解析】
根据三视图得到四棱锥的底面为边长为3的正方形，高为 3，再根据棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可知，该四棱锥的底面为边长为 3的正方形，高为3，如图：
所以该四棱锥的体积为 1 3 3 3 93
.
故选：B
4．（2020·江苏高二单元测试）若椭圆
2
2
x
a
+
2
2
y
b
=1（a>b>0）的焦距为 2，且其离心率为 2
2
，则椭圆的方程
为（ ）
A．
2 2
+ =14 2
x y B．
2 2
+ =12 1
x y C．
2 2
14 3+ =x y D．
2 2
+ =18 4
x y
【答案】B
【解析】
计算出 , ,a b c 即可.
【详解】
由题意可知： 2 2c ，即 1c ，
由椭圆的离心率 2
2
ce a
，解得： 2a ， 2 2 2 1b a c
∴椭圆的标准方程：
2
2 12
x y
故选：B
5．（2021·辽宁高三月考）在等差数列 na 中， 5 32 1a a ， 8 26 2a a ，则 1 2 10a a a （ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
【答案】D
【解析】
根据已知条件求出 1a ， d ，用前 n 项和公式求出结果.
【详解】
设数列{ }na 的公差为 d ，
由 5 3 1 1 1=2 1 4 2( 2 ) 1 1a a a d a d a ，
由 8 2 1 1 1=6 2 7 6( ) 2 5 2 3a a a d a d d a ，
则 1 2 10 1
10 9 10 910 10 1 3 1452 2a a a a d .
故选：D
6．（2021·广东茂名市·高三月考）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能
源汽车产业的迅速发展.下表是 2020 年我国某地区新能源乘用车的前 5 个月销售量与月份的统计表：
月份代码 x 1 2 3 4 5
销售量 y (万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.5
由上表可知其线性回归方程为： 0.28y x a ，则 a 的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【答案】A
【解析】
求出 ,x y ，将 ,x y 代入 0.28y x a 即可求出.
【详解】
由表中数据可得 1 2 3 4 5 35x ， 0.5 0.6 1 1.4 1.5 15y ，
将 3,1 代入 0.28y x a ，即1 0.28 3 a ，解得 0.16a .
故选：A.
7．（2021·全国高三月考（文））已知函数 3 2 8f x x ax x 的导函数为偶函数，则 f x 的图象在点
2 2f, 处的切线方程为（ ）
A． 4 16 0x y B． 4 16 0x y
C． 2 8 0x y D． 4 4 0x y
【答案】A
【解析】
求导数 f x ，由 f x 为偶函数，求得 0a ，然后再求得 2 , 2f f ，写出切线方程.
【详解】
由题得， 23 2 8f x x ax ，
由 f x 为偶函数，得 0a ，
所以 23 8f x x ，
所以 f x 的图象在点 2 2f, 处的切线的斜率为 2 4f ， 2 8f
所求的切线方程为 8 4 2y x ，
即 4 16 0x y .
故选： A .
8．（2021·四川绵阳市·高三三模（理））在平行四边形 ABCD 中， 2AB ， 5AD ，点 F 为边 CD 的
中点，若 0AF DF ，则 BF AC （ ）
A． 4 B．3 C． 2 D．1
【答案】C
【解析】
建立平面直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.
【详解】
∵ 0AF DF ，
∴ AF AB ，如图建立平面直角坐标系，
0,2 , 1,2 , 2,0F C B ，
∴ 1,2 , 2,2AC BF ，
∴ 2 4 2BF AC ，
故选：C
9．（2021·全国高一课时练习）函数 ( ) cos(2 )3f x x ，下列关于该函数的叙述正确的是（ ）
A． ( )f x 的最小正周期为 2
B． ( )f x 的图象可以由 sin 2y x 向左平移 5
12
得来
C． ( )f x 图象关于直线
12x 对称
D．函数 ( )f x 在区间 (0, )3
上是增函数
【答案】B
【解析】
对于 A，求出函数的最小正周期判断得解；对于 B，利用函数的平移变换分析判断；对于 C，利用三角函数
的对称性分析判断；对于 D，利用函数的单调性性判断得解.
【详解】
对于 A，由周期公式可得： 2
2T ，故 A 错误；
对于 B，令 ( ) sin 2g x x ，向左平移 5
12
，得到
5 5 5( ) sin2( ) sin(2 ) sin[(2 ) ] cos(2 ) ( )12 12 6 3 2 3g x x x x x f x ，故 B 正确；
对于 C，由于 ( ) cos(2 ) cos 012 12 3 2f ，不是函数的最值，故 C 错误；
对于 D， (0, )3x ， 2 ( , )3 3x ，而 cosy z 在 (0, ) 上单调递减，故函数 ( )f x 在区间 (0, )3
上是
减函数，故 D 错误；
故选：B．
10．（2021·全国高二课时练习）如图，已知平面α⊥平面β，A、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA
⊂
β，
CB
⊂
β，且 DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α内有一个动点 P，使得∠APD＝∠BPC，当
平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角为 90°时，则
△
PAB 的面积的是（ ）
A．12 B．16 C． 36
5 D． 48
5
【答案】C
【解析】
由 DA⊥α，CB⊥α，证得∠APB 为平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角为 90°，再由∠APD＝∠BPC，
可证得 PB＝2PA．从而可求得 ,PA PB 的长，得三角形面积．
【详解】
解：由题意，平面α⊥平面β，A、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA
⊂
β，CB
⊂
β，
且 DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD 与
△
PBC 是直角三角形，
又∠APD＝∠BPC，∴△PAD∽△PBC，
又 AD＝4，BC＝8，∴PB＝2PA．
如图，由 DA⊥α，CB⊥α， DA 平面 PDA ，CB 平面 PBC ，可得平面 PAD⊥α，平面 PBC⊥α，
则∠APB 为平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角为 90°，
∵AB＝6，设 PA＝x，则 PB＝2x，∴x2+4x2＝36，得 2 36
5x ．
∴△PAB 的面积的是 S 21 3622 5x ．
故选：C．
11．（2021·全国高三月考（文））已知 , 0,π ， π 5cos 2 5
， tan π 7 ，则 tan
（ ）
A． 3 B． 13
9
C．3 D．13
9
【答案】B
【解析】
先分别判断 、 的范围，求出 tan 和 tan 的值，利用两角和的正切公式求出 tan .
【详解】
∵ , 0,π ， π 5cos 2 5
，
∴ π π 5cos cos =sin2 2 5
；
∵ tan π 7 ，∴ tan 7 ，又 0,π ，∴ ,π2
∵ 0,π ，∴ π, 2
∵ 5sin 05
，∴ π0, 2
，
∴
2
2 5 2 5cos 1 sin 1 5 5
，
sin 1tan cos 2
∴
1 7tan tan 132tan tan 11 tan tan 91 72
.
故选：B.
12．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数 0f x ，若对定义域内任意 1x 、 2x ， f x 均满足
1
1 22
1 2 2
x xf x f x f
，则称 f x 为几何函数，下列选项中不是几何函数的是（ ）
A． 2 0f x x x B． lg , 1,f x x x
C． exf x D． tan , 0, 2f x x x
【答案】D
【解析】
利用基本不等式可判断 AB 选项，利用指数运算可判断 C 选项，利用特殊值法可判断 D 选项.
【详解】
对于 A 选项，对任意的 1x 、 2 0,x ，
由基本不等式可得
21
2
1
1
2 2 1 2 1 22
2 1 2 1 2 2 2f x f x x x x xx x x x f ，
当且仅当 1 2x x 时，等号成立，即 2 0f x x x 为几何函数；
对于 B 选项，对任意的 1x 、 2 1,x ， 1lg 0x ， 2lg 0x ，
由基本不等式可得
1
1 22
1 2 1 2 1 2 1 2
lg lg 1lg lg lg lg2 2
x xf x f x x x x x x x
1 2 1 2lg 2 2
x x x xf
，
当且仅当 1 2x x 时，两个等号成立，所以， lg , 1,f x x x 为几何函数；
对于 C 选项，对任意的 1x 、 2x R ， 1 2
1 2
11
1 2222
1 2 2
x x
x x x xf x f x e e e f
，
即 exf x 为几何函数；
对于 D 选项，由两角和的正切公式可得 1 2
1 2
1 2
tan tantan 1 tan tan
x xx x x x
，
所以，
1 2
1 2
1 2
tan tantan tan 1 tan
x xx x x x
，
取 1 4x ， 2 3x ，则 1 2
1tan tan 1 tan tan 74 3 4 3 tan 12
f x f x
，
2
2 21 2 7 7 13 4tan tan 1 2tan 72 2 24 24 tan 12
x xf
，
作出函数 tan , 0, 2f x x x
的图象如下图所示：
由图象可知， 7tan tan 2tan4 3 24
，
又 7tan 012
，所以，
2
1 2
1 2 2
x xf x f x f
，即
1
1 22
1 2 2
x xf x f x f
，
所以函数 tan , 0, 2f x x x
不是几何函数.
故选：D.
第 II 卷 非选择题部分（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．（2021·全国高三月考（文））已知 3log 108a ， 33 4
b ，则 a b __________.
【答案】4
【解析】
由 33 4
b 得 3
3log 4b ，再根据对数加法运算法则即可求得结果．
【详解】
由 33 4
b 得 3
3log 4b ，所以 4
3 3 3 3
3 3log 108 log log 108 log 3 44 4a b
故答案为：4
14．（2021·全国高三其他模拟（文））已知实数 x ，y 满足
4
2
2 4
x
y x
y x
，则 3z x y 的最大值为___________.
【答案】16
【解析】
画出可行域求解.
【详解】
作出不等式组
4
2
2 4
x
y x
y x
，所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，
观察可知，平移直线 3z x y ，当直线 3z x y 过点 P 时， z 有最大值；
联立 4
2 4
x
y x
，解得 4
4
x
y
，
故 3z x y 的最大值为 4 3 4 16 .
故答案为:16.
15．（2021·漠河市高级中学高三月考（文））设直线 l 过点 (0, )a ，倾斜角为 45 ，且与圆
2 2 2 2 2 0x y x y 相切，则 a 的值为_________．
【答案】 2 2
【解析】
将圆的方程化为标准方程得圆心 (1,1) ，半径为 2 ，写出直线方程 y x a ，然后根据相切的条件列式，由
d r 求解.
【详解】
圆 2 2 2 2 2 0x y x y ，化为标准方程即 2 2( 1) ( 1) 4x y ，得圆心为 (1,1) ，半径为 2 ，直线l 的
方程为 y x a ，由题意可知， 1 1 2
2
ad - += = ，所以得 2 2a .
故答案为： 2 2 .
16．（2021·浙江杭州市·学军中学高一期中）在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c .已知
2cos 3A ，sin 5 cosB C ，并且 2a ，则 ABC 的面积为___________.
【答案】 5
2
【解析】
由题知 5sin 3A ,进而根据sin 5 cosB C ， sin sinB A C 整理得 5 cos sinC C ，再结合
2 2sin cos 1C C 得 5sin
6
C ， 1cos
6
C ，故 5sin 5 cos
6
B C ，再结合正弦定理得 3c ，
最后用面积公式计算即可.
【详解】
因为 0 A ， 2cos 3A ，
所以 2 5sin 1 cos 3A A .
又 5 cos sin sin sin cos cos sinC B A C A C A C 5 2cos sin3 3C C ，
即： 5 cos sinC C
结合 2 2sin cos 1C C ，得 5sin
6
C ， 1cos
6
C .
于是 5sin 5 cos
6
B C .
由 2a 及正弦定理
sin sin
a c
A C
，得 3c .
故 ABC 的面积 1 5sin2 2S ac B .
故答案为： 5
2
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21 题为必考题，每个
考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17．（2021·全国高三专题练习）2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立 70 周年纪念日.70 年砥砺奋进，70
年波澜壮阔，感染、激励着一代又一代华夏儿女，为祖国的繁荣昌盛努力拼搏，奋发图强.为进一步对学生
进行爱国教育，某校社会实践活动小组，在老师的指导下，从学校随机抽取四个班级 160 名同学对这次国
庆阅兵受到激励情况进行调查研究，记录的情况如下图：
（1）如果从这 160 人中随机选取 1 人，此人非常受激励的概率和此人是很受激励的女同学的概率都是 1
4
，
求 a，b，c 的值；
（2）根据“非常受激励”与“很受激励”两种情况进行研究，判断是否有 95%的把握认为受激励程度与性别有
关.
附：参考数据
2
0P K k 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）a＝20，b＝60，c＝40；（2）没有 95%的把握认为受激励程度与性别有关.
【解析】
（1）根据题设中所给的概率及条形图中的数据可求 , ,a b c 的值.
（2）先求得列联表，结合公式可求 2K 的观察值，再根据临界值表可得正确的判断.
【详解】
（1）由题意知 20 1
160 160 4
a c ，且 120a b c .
解之得 20, 60, 40a b c .
(2)由题意可得 2×2 列联表：
非常受激励 很受激励 合计
男 20 60 80
女 20 40 60
合计 40 100 140
∴ 2K 的观测值 2140 20 40 20 60 1.1740 100 80 60k
，
由于 1.17＜3.841，
∴没有 95%的把握认为受激励程度与性别有关.
18．（2021·辽宁高三其他模拟）已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，公比 0q ， 1 1a ， 3 2 2a a .若
数列 nb 的前 n 项和为 nT ， 1 1n n n na b S S ，求：
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 nb 的前 n 项和 nT .
【答案】（1） 12n
na -= ；（2） 1
11 2 1n nT .
【解析】
（1）根据已知条件可得出关于 q的方程，结合 0q 可求得 q的值，进而可求得等比数列 na 的通项公式；
（2）求出 2 1n
nS ，可得出
1
1 1
n
n n
b S S
，进而利用裂项求和法可求得 nT .
【详解】
（1） 1 1a ， 3 2 2a a ， 2 2 0q q ， 0q ，解得 2q = ，
1 1
1 2n n
na a q ；
（2） 2q ， 1 1 1 2 2 11 1 2
n n
n
n
a q
S q
，
又 1 1n n n na b S S ， 1 1n n n n nS S b S S ， 1
1 1
1 1n n
n
n n n n
S Sb S S S S
，
因此， 1 2
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
n n
n n
T b b b S S S S S S
1
1 1
1 1 11 2 1n
nS S
.
19．（2021·全国高一课时练习）如图所示，在四棱锥 A BCDE 中，底面 BCDE 为菱形，侧面 ABE 为等边
三角形，且侧面 ABE 垂直底面 BCDE ，O ， F 分别为 BE ， DE 的中点.
（1）求证：CE AF ；
（2）在棱 AC 上是否存在点 P ，使得 / /BP 平面 AOF ？若存在，请找出点 P 的位置，若不存在，请说明
理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点 P 在棱 AC 上靠近点 A 的三等分点处.
【解析】
（1）由 BCDE 为菱形知CE BD ，由中位线、平行线的性质得CE OF ，根据面面垂直的性质可得
AO 面 BCDE ，进而由线面垂直的判定及性质即可证 CE AF .
（2）设 BD 交CE 于 M ， OF 交CE 于 N ，过 M 作 / /MP AN 交 AC 于 P ，根据面面平行的判定可证面
/ /PBM 面 AOF ，由面面平行的性质有 / /BP 面 AOF ，进而可确定所得 P 点即为所求，且处于棱 AC 上
靠近点 A 的三等分点处.
【详解】
（1）证明：连接 BD ，
四边形 BCDE 为菱形，
CE BD ，
O ， F 分别为 BE ， DE 的中点，即 / /OF BD ，
∴CE OF ，
面 ABE 为等边三角形，且O 为 BE 的中点，
AO BE ，又面 ABE 面 BCDE ， AO 面 ABE ，
面 ABE 面 BCDE BE= ，
AO 面 BCDE ，又CE 面 BCDE ，
AO CE ，又 AO OF O ， ,AO OF 面 AOF ，
CE 面 AOF ，又 AF 面 AOF ，
CE AF .
（2）解：设 BD 交CE 于 M ， OF 交CE 于 N ，
则 M 为CE 的中点， N 为 EM 的中点，
在 ACE 中，过点 M 作 / /MP AN 交 AC 于点 P ，则点 P 即为所求.
理由如下：
O ， F 分别为 BE ， DE 的中点，
/ /ON BM ，ON 面 PBM ， BM 面 PBM ，
//ON 面 PBM ，同理 //AN 面 PBM ，
ON AN N ，ON ､ AN 面 AON ，
面 / /PBM 面 AON ，即面 / /PBM 面 AOF ，
BP 面 PBM ， / /BP 面 AOF .
/ /MP AN ， 1
3
AP NM
AC NC
，
故点 P 在棱 AC 上靠近点 A 的三等分点处.
20．（2020·浙江宁波市·高二课时练习）已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，准线方程为 1
2y ，F 为抛物线 C
的焦点，点 P 为直线 1 23
y x 上任意一点，以 P 为圆心，PF 为半径的圆与抛物线 C 的准线交于 A、B 两
点，过 A、B 分别作准线的垂线交抛物线 C 于点 D、E.
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）证明：直线 DE 过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1） 2 2x y ；（2）证明见解析，定点 1( , 2)3M .
【解析】
（1）设抛物线C 为 2 2x py ( 0)p ，结合准线方程求 p，写出抛物线方程.
（2）由 1(0, )2F ，设 ( , )P t s ，得圆 P 为 2 2 2 21( ) ( ) ( )2x t y s t s ，令 1
2y ，得 2 2 2 0x tx s ，
设
2 2
1 2
1 2( , ), ( , )2 2
x xD x E x 应用韦达定理得到 1 2 1 2,x x x x ，进而得到直线 DE 的方程，判断是否过定点即
可.
【详解】
（1）设抛物线C 的标准方程为 2 2x py ( 0)p ，
依题意，有 1
2 2
p ，得 1p ，
∴抛物线 C 的方程为 2 2x y ；
（2） 1(0, )2F ，设 ( , )P t s ，则 23
ts ， 2 2 21| | ( )2PF t s ，于是圆 P 的方程为
2 2 2 21( ) ( ) ( )2x t y s t s ，
令 1
2y ，得 2 2 2 0x tx s ，①
设
2 2
1 2
1 2( , ), ( , )2 2
x xD x E x ，由①式得 1 2 1 2
22 , 2 43
tx x t x x s ，②
直线 DE 的斜率为
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2DE
x x
x xk tx x
，则直线 DE 的方程为
2
1 1 2
2( )2 2
x x xy x x ，即
1 2 1 2( )
2 2
x x x x xy ，
代入②式，有 23
ty tx ，即 12 ( )3y t x ，则恒过定点 1( , 2)3M .
21．（2021·全国高三月考（理））已知函数 1 2 1xf x e ae x a R .
（1）若 f x 存在极值，求 a 的取值范围；
（2）当 0a 时，证明： 2 ln 1 0f x e x .
【答案】（1） 0, ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）先求导函数 1 2xf x e ae ，再按 0a 和 0a 分类讨论即可.
（2）先把要证明的不等式转化为 1 2 ln 1 0xe e x ，再构造函数
1 2 ln 1xg x e e x ，用导数探究函数 ( )g x 的最小值大于 0 即可.
【详解】
（1） 1 2 1xf x e ae x ， 1 2xf x e ae ，
当 0a 时， 0f x ，
则 f x 在 R 上单调递增， f x 无极值；
当 0a 时，由 0f x ，得 1 lnx a .
当 ,1 lnx a 时， 0f x ；
当 1 ln ,x a 时， 0f x ，
所以 f x 在 ,1 ln a 上单调递减，在 1 ln ,a 上单调递增.
即 f x 在 1 lnx a 时取得极小值，
所以若 f x 存在极值，
则 a 的取值范围为 0, .
（2）要证明 2 ln 1 0f x e x ，
即证 1 2 21 ln 1 0 1 0xe ae x e x x ，
由于当 0a 时， 2 1 0ae x ，
只要证 1 2 ln 1 0xe e x .
设 1 2 ln 1xg x e e x ，
则
2
1
1
x eg x e x
，设
2
1
1
x eh x e x
，
则
2
1
2 0
1
x eh x e
x
，
所以 g x 在 1, 上是增函数.
又 20 0g e e ，
2 2
21 02 2
e eg e ，
所以存在 0 0,1x ，使得 0
2
1
0
0
01
x eg x e x
，
即 0
2
1
0 1
x ee x
， 0 0ln 1 1x x .
所以当 01,x x 时， 0g x ；
当 0,x x 时， 0g x ，
因此 g x 在 01, x 上是减函数，在 0,x 上是增函数，
所以 g x 有极小值，也是最小值，
且最小值为 0 1 2
0 0ln 1xg x e e x
2
2
0
0
11
e e xx
2
2 2 2 2
0
0
1 2 2 2 01
e e x e e ex
，
因此 0g x ，即 1 2 ln 1 0xg x e e x .
综上，当 0a 时， 2 ln 1 0f x e x .
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（2021·全国高三其他模拟（理））已知曲线 C 的参数方程为 2cos
sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点为极
点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 12 .
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若点 P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求 PQ 的最小值.
【答案】（1） C 的普通方程是
2
2 14
x y ，l 的直角坐标方程是 2 3 12 0x y ；（2） 7 13
13
.
【解析】
（1）由 2 2cos sin 1 可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关
系可得出直线l 的直角坐标方程；
（2）设点 2cos ,sinQ ，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以及余弦函数的有界性可求得 PQ 的
最小值.
【详解】
（1）由 2cos
sin
x
y
得，
2
2 2 2cos sin 12
x y
，即
2
2 14
x y ，
故曲线C 的普通方程是
2
2 14
x y .
由 2 cos 3 sin 12 及公式 cos
sin
x
y
，得 2 3 12x y ，
故直线l 的直角坐标方程是 2 3 12 0x y ；
（2）直线l 的普通方程为 2 3 12 0x y ，曲线C 的参数方程为 2cos
sin
x
y
（ 为参数），
设 2cos ,sinQ ，点Q 到直线 2 3 12 0x y 距离为
4cos 3sin 12
13
d 5cos 12 12 5cos
13 13
（其中 3tan 4
），
当 cos 1 时， min
7 13
13d ，所以
min
7 13
13PQ .
23．（2021·全国高三专题练习（文））已知关于 x 的不等式 2 1x m x ．
（1）当 4m 时，求此不等式的解集；
（2）若对任意的 1[ ]2x ， ，不等式 2 1x m x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） 3x x 或 5
3x
；（2） 2m m 或 5m ．
【解析】
（1）分类讨论去绝对值，解不等式即可；（2）问题转化为 | 2 |y x m 的图像恒在直线 1y x 的上方，
借助两个函数图像得到 m 满足的条件，从而解出 m 的范围．
【详解】
（1） 4m 时原式化为 2 4 1 0x x ，
①当 2x 时， 2 4 1 0x x ， 3x ，
②当 2x 时， 2 4 1 0x x ，则 3 5 0x ，∴ 5
3x ，
综上原不等式的解集 3x x 或 5
3x
；
（2）依题意 2 1x m x 在[ 1 2] ， 上恒成立，
即 | 2 |y x m 的图像恒在直线 1y x 的上方，
如图
又 1y x 过点 2,1 ，
所以只需 12
m 或 2y m x 在 2x 时的函数值大于等于 1，
即 2m 或 5m ，
实数 m 的取值范围为 2m m 或 5m ．
【点睛】
关键点点睛：将不等式 2 1x m x 恒成立，转化为 | 2 |y x m 的图像恒在直线 1y x 的上方，是解
题的关键.
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