高三数学总复习专题突破训练：概率01

2010 届高三数学总复习专题突破训练：概率 一、选择题 1、（2009 揭阳）已知函数： cbxxxf  2)( ，其中： 40,40  cb ，记函数 )(xf 满足条件： (2) 12 ( 2) 4 f f     为事件为 A，则事件 A 发生的概率为（ ）C A． 1 4 B． 5 8 C． 1 2 D． 3 8 2、（2009 广东五校）如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 2y x 和曲线 y x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形 AOBC 内随 机投一点（该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的）， 则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）B （A） 1 2 （B） 1 3 （C） 1 4 （D） 1 6 3、（2009 番禺）设 , (0,1)a b ，则关于 x 的方程 2 2 0x ax b   在 ( , )   上有两个零 点的概率为（ ）B A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4、（2009 惠州）若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落 在圆 2 2 16x y  内的概率为（ ）B A． 7 36 B． 2 9 C． 1 6 D． 1 4 二、解答题 1、（2009 广州海珠）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 2 1 ,请问:商场应将每次中奖奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利? 2、（2009 广州（一）某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落 在靶外（环数记为 0）的概率为 0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭 机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为 30cm、20cm、 10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次 一次得到的环数这个随机变量 x，求 x 的分布列及数学期望. 3、（2009 广东揭阳）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试， 面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一 同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为 1 2 ，乙、丙面试合格的概率都是 1 3 ，且 面试是否合格互不影响．求： （1）至少有 1 人面试合格的概率; （2）签约人数 的分布列和数学期望． 4、（2009 珠海期末）某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交 50 元活动费，可享受 20 元的 消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为 12 点获一等奖，奖价值为 a 元的 奖品；点数之和为 11 或 10 点获二等奖，奖价值为 100 元的奖品；点数之和为 9 或 8 点获 三等奖，奖价值为 30 元的奖品；点数之和小于 8 点的不得奖。求： （1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； （2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求 a 的值。 5、（2009 广东六校一）在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两 个比赛一场），共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为 3 1 ，甲胜丙的 概率为 4 1 ，乙胜丙的概率为 3 1 . （Ⅰ）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率； （Ⅱ）若每场比赛胜者得1分，负者得0 分，设在此次比赛中甲得分数为 X ，求 EX . 6、（2009 朝阳一中）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教师参 加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 0 10 9 8 版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 （1）从这 50 名教师中随机选出 2 名，求 2 人所使用版本相同的概率； （2）若随机选出 2 名使用人教版的教师发言，设使用人教 A 版的教师人数为 ，求随机 变量 的变分布列和数学期望。 7、（2009 ）交 5 元钱，可以参加一次抽奖。一袋中有同样大小的球 10 个，其中 有 8 个标有 1 元， 2 个标有 5 元，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球标的钱数之和 。 （I）求 的概率分布列； （II）求抽奖人获利的数学期望。 8、（2009 广东深圳）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能 答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试， 至少答对 2 题才算合格. （Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率； （Ⅱ）求甲答对试题数 的概率分布及数学期望. 祥细答案 1、解: (Ⅰ)从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品一共有 3 7C 种选法,. 选出的 3 种商品中没有日用商品的选法有 3 4C 种, ……1 分. 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 35 311 3 7 3 4  C CP .……4 分 (Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为 X,其所有可能值为 0, m ,2 m ,3 m .……6 分 X=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以   ,8 1 2 1 2 10 30 0 3          CXP ……7 分 同理可得   ,8 3 2 1 2 1 21 1 3          CmXP ……8 分   ,8 3 2 1 2 12 12 2 3          CmXP ……9 分   .8 1 2 1 2 13 03 3 3          CmXP ……10 分 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 mmmmEX 5.18 138 328 3 8 10  .……12 分 要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有 1505.1 m ,所以 100m ,……13 分. 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. ……14 分 2、解： 由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质 量和形状无关。 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为 3：2：1，面积比为 9：4：1 所以 8 环区域、9 环区域、10 环区域的面积比为 5：3：1 ………3 分 则掷得 8 环、9 环、10 环的概率分别设为 5k，3k，k 根据离散型随机变量分布列的性质有 0.1+5k+3k+k=1 解得 k=0.1 ………6 分 得到离散型随机变量 x 的分布列为 x 0 8 9 10 P 0.1 0.5 0.3 0.1 ………9 分 Ex=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7 ………12 分 3、解: 用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立， 且 1 1( ) , ( ) ( )2 3P A P B P C   .------------------------------------------------------2 分 （1）至少有 1 人面试合格的概率是 1 2 2 71 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 .2 3 3 9P ABC P A P B P C        ----------------------4 分 （2）  的可能取值为 0，1，2，3.----------------------------------------------------------5 分 ∵ ( 0) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC     ＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C  ＝ 1 1 2 1 2 1 1 2 2 4 .2 3 3 2 3 3 2 3 3 9          ---------------------------6 分 ( 1) ( ) ( ) ( )P P ABC P ABC P ABC     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C  = 1 2 1 1 1 2 1 2 2 4 .2 3 3 2 3 3 2 3 3 9          --------------------------------7 分 1 1 1 1( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 3 3 18P P ABC P A P B P C        ---------------------8 分 1 1 1 1( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 3 3 18P P ABC P A P B P C        ----------------------9 分 ∴  的分布列是  0 1 2 3 ( )P  4 9 4 9 1 18 1 18 --------10 分  的期望 4 4 1 1 130 1 2 3 .9 9 18 18 18E          ----------------------------------------12 分 4、解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中1 , 6x y  ， 则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为： 1 1 1 6 6 36   ； …………2 分 获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共 5 种可能，其概率为： 5 36 ； …………5 分 设事件 A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有： P（A）= 1 2 3 1 5 25( )36 36 15552C    ； …………6 分 （2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为 30 a , 70 ,0,30 ,…7 分 其分布列为： 则：Eξ= 1 5 1 7 310(30 ) ( 70) 0 3036 36 4 12 36 aa           ； …………11 分 由 Eξ=0 得：a=310，即一等奖可设价值为 310 元的奖品。 …………12 分 5、解：（Ⅰ）设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件 A ， 则 ;18 1 3 2 4 1 3 1)( AP ·································································· 6 分 （Ⅱ） X 可能的取值为 .2,1,0 2 3 1( 0) 3 4 2P X     ， 1 3 1 2 5( 1) 3 4 4 3 12P X       ， 1 1 1( 2) 3 4 12P X     ，··································································12 分 X 0 1 2 p 2 1 12 5 12 1 1 5 1 70 1 22 12 12 12EX        ······················································· 14 分 6、解：（1）从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 .12252 50 C ξ 30-a -70 0 30 p 1 36 5 36 1 4 7 12 选出 2 人使用版本相同的方法数为 .3502 10 2 5 2 15 2 20  CCCC 故 2 人使用版本相同的概率为： .7 2 1225 350 P …………………………5 分 （2）∵ 17 3 C C)0( 2 35 2 15 P ， 119 60 C C)1( 2 35 1 15 2 20  CP  119 38 C C)2( 2 35 2 20 P ∴ 的分布列为 ………………10 分 ∴ 7 8 119 1362119 381119 60017 3 E ……………………12 分 7、解（I） 2, 6,10  ……………………………………………………2 分 2 8 2 10 28( 2) 45 Cp C     ， 1 1 8 2 2 10 16( 6) 45 C Cp C     ， 2 2 2 10 1( 10) 45 Cp C     ……8 分 所以 的概率分布列为： ………………………10 分 （II）由（I）知， 28 16 1 182 6 1045 45 45 5E        ………………………12 分 所以抽奖人获利的数学期望为： 5 1.4E    元。 ………………………14 分 8、解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 P(A)= 3 10 3 6 1 4 2 6 C CCC  = 3 2 120 2060  ，P(B)= 15 14 120 5656 3 10 3 8 1 2 2 8  C CCC . ………3 分 因为事件 A、B 相互独立， ∴甲、乙两人考试均合格的概率为   2 14 28 3 15 45P A B    ……………………5 分 答：甲、乙两人考试均合格的概率为 28 45 ． …………………………6 分 （Ⅱ）依题意， =0，1，2，3，………………7 分  0 1 2 P 17 3 119 60 119 38  2 6 10 p 28 45 16 45 1 45 3 4 3 10 1( 0) 30 Cp C     ， 1 2 6 4 3 10 3( 1) 10 C CP C     ， 2 1 6 4 3 10 1( 2) 2 C CP C     ， 3 6 3 10 1( 3) 6 CP C     ……………………………9 分 甲答对试题数ξ的概率分布如下： ξ 0 1 2 3 P 30 1 10 3 2 1 6 1 甲答对试题数ξ的数学期望 E  5 9 6 132 1210 3130 10  . ……………………12 分