2021届高三数学二轮专题六复习讲义解析几何
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2021届高三数学二轮专题六复习讲义解析几何

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时间:2021-04-22

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资料简介
专题五 解析几何 一、多选题 题 1.关于曲线 2 14 y x x  的以下描述,正确的是() A.该曲线的范围为: y R , 1x  B.该曲线既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称 C.该曲线与直线 2 0x y  有两个公共点 D.该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为 1 【答案】AD 【讲评建议】用方程研究性质,关键点是画出曲线表示的图形,考查了数形结合思想、转化的思想及计算 能力. 【解答过程】由题意,当 0x  时,曲线方程可以化为 2 2 14 y x  ,即为焦点在 y 轴,对称轴是坐标轴的 椭圆的右半部分和 y 轴正半轴上的两个点,当 0x  时,曲线方程可以化为 2 2 14 y x  ,即为焦点在 y 轴,对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分,如图 该曲线的范围为: y R , 1x  ,所以 A 正确; 由图可知,该曲线关于 x 轴对称,不关于 y 轴对称,所以 B 错误; 曲线 2 2 14 y x  的渐近线方程是 2 0x y  ,所以 2 0x y  是双曲线的一条渐近线,所以与双曲线无交 点,与椭圆有一个交点,所以 C 错误; 由图可知,曲线上到原点距离最小的点在椭圆部分,设 0 0( , )x y 是椭圆部分上的点, 则 2 20 0 14 y x  ,即求 2 2 0 0y x 的最小值,所以 2 2 2 0 0 0 31 14 4 y yy     ,所以当 0 0y  时, 2 2 0 0y x 最小,此时 0 1x  ,即点 (1,0) 到原点的距离最小,最小值为 1 ,所以 D 正确. 故选:AD . 题 2.已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     , A 、 B 分别为双曲线的左、右顶点, 1F 、 2F 为左、右焦 点, 1 2 2F F c ,且 a ,b ,c 成等比数列,点 P 是双曲线C 的右支上异于点 B 的任意一点,记 PA ,PB 的斜率分别为 1k , 2k ,则下列说法正确的是( ). A.当 2PF x 轴时, 1 2 30PF F   B.双曲线的离心率 1 5 2e  C. 1 2k k 为定值 1 5 2  D.若 I 为 1 2PF F△ 的内心,满足  1 2 1 2IPF IPF IF FS S xS x   R△ △ △ ,则 5 1 2x  【答案】BCD 【讲评建议】利用双曲线的定义与几何性质,圆的切线性质,根据 数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力,是解决本题的关键所在 【解答过程】∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac, 如图, 对于 A,当 PF2⊥x 轴时,点 P 为 2 , bc a      , 2 2 1 2 1 2 | | 1tan | | 2 2 2 b PF acaPF F F F c ac      ,显然 1 2 30PF F   ,选项 A 错误; 对于 B, 2 2 2 , 1,cac c a ab e     ∴e2﹣e﹣1=0,解得 1 5 2e  (舍负),即选项 B 正确; 对于 C,设 ( , )P x y ,则 1 2,y yk kx a x a    ,所以 2 1 2 2 2+ y y yk k x a x a x a     , 由点 ( , )P x y 在双曲线上可得 2 2 2 2 2 x a y a b   , 代入 22 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 51 1 2 1 5 2 y b y b ck k x a a y a a                ,故 C 正确; 对于 D,设圆 I 的半径为 r, 1 2 1 2IPF IPF IF FS xSS    2 1 2 1 1 1| | | | | |2 2 2r PF r PF x r F F        , 即 1 2 1 2| | | | | |PF PF x F F  ,由双曲线的定义知, 1 2| | | | 2 ,PF PF a  2 2a x c   ,即 1 5 1 2 ax c e    ,故选项 D 正确; 故选:BCD. 题 3.已知椭圆 2 2 : 125 20 x yM   的左、右焦点分别是 1F , 2F ,左、右顶点分别是 1A , 2A ,点 P 是椭圆上 异于 1A , 2A 的任意一点,则下列说法正确的是() A. 1 2 5PF PF  B.直线 1PA 与直线 2PA 的斜率之积为 4 5  C.存在点 P 满足 1 2 90F PF   D.若 1 2F PF△ 的面积为 4 5 ,则点 P 的横坐标为 5 【答案】BD 【讲评建议】本题考查椭圆的标准方程,椭圆的定义及椭圆的性质.有结论如下:椭圆上的点与两焦点连 线的斜率为定值,椭圆上的点对两焦点的张角最大时,点为短轴端点. 【解答过程】由题意 5, 2 5, 5a b c   , 1( 5,0)F  , 2 ( 5,0)F , 1( 5,0)A  , 2 (5 ),0A ,短轴一个顶 点 2 (0, 5)B , 1 2 2 10PF PF a   ,A 错; 设 ( , )P x y ,则 2 2 125 20 x y  , 2 2 20(1 )25 xy   , 所以 1 2 2 2 2 2 1 420(1 )5 5 25 25 25 5PA PA y y y xk k x x x x            ,B 正确; 因为 2 2 2 2 5 1tan 122 5 OFOB F OB      ,所以 2 20 45OB F     ,从而 1 2 2 2 22 90F B F OB F     , 而 P 是椭圆上任一点时,当 P 是短轴端点时 1 2F PF 最大,因此不存在点 P 满足 1 2 90F PF   ,C 错; ( , )P x y , 1 2 1 2 1 3 4 52PF F P PS F F y y  △ , 4Py  ,则 2 16 125 20 Px   , 5Px   ,D 正确. 题 4.已知过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线与抛物线交于点 A , B ,若 A , B 两点在准线上的射影分别 为 M , N ,线段 MN 的中点为C ,则() A. AC BC B.四边形 AMCF 的面积等于 AC MF C. AF BF AF BF   D.直线CA 与抛物线相切 【答案】ACD 【讲评建议】试题借助与抛物线相关的命题的判断,考查考生对抛物线的性质的掌握情况以及利用解析几 何的思想方法解决问题的能力,体现的学科素养是理性思维、数学探索. 【解答过程】设 2 1 1,4 yA y     , 2 2 2,4 yB y     ,直线 AB 的方程为 1x ty  ,将直线 AB 的方程代入抛物线 方程,利用根与系数的关系得 1 2 4y y   . 如图,由题意可得  1,0F ,准线方程为 1x   . 设 2 1 1,4 yA y     , 2 2 2,4 yB y     ,直线 AB 的方程为 1x ty  , 代人抛物线方程,得 2 4 4 0y ty   ,所以 1 2 4y y   , 因为线段 MN 的中点为C ,所以 1 21, 2 y yC     , 所以 2 1 1 21,4 2 y y yCA        , 2 2 2 11,4 2 y y yCB        , 所以 2 1 2 1 21 016 2 y y y yCA CB      ,所以 AC BC ,故 A 正确. 因为  11,M y ,所以  12,MF y  ,所以 1 22 02 y yCA MF     ,所以 AC MF , 所以四边形 AMCF 的面积等于 1 2 AC MF ,故 B 错误. 根据抛物线的定义知 2 1 14 yAF AM   , 2 2 14 yBF BN   ,所以 2 2 1 2 24 4 y yAF BF    , 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 216 4 4 4 4 y y y y y yAF BF        ,所以 AF BF AF BF   ,所以 C 正确. 不妨设点 2 1 1,4 yA y     在 x 轴上方,当 0y  时,由 2 4y x 得 2y x , 1y x   , 所以抛物线以点 A 为切点的切线方程为 2 1 1 12 11 1 2 4 2 4 y yy x y xyy          , 令 1x   ,得 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 42 2 2 2 2 y y y y y y yy y y y        ,所以点C 在以点 A 为切点的切线上, 即直线CA 与抛物线相切,故 D 正确. 题 5.已知点 ( 2,0)A  ,圆 2 2:( 4) 16C x y   ,点 P 在圆C 上运动,给出下列命题,其中正确的有() A. PA PC  的取值范围是[8,25] B.在 x 轴上存在定点 (4,0)B ,使| |:| |PA PB 为定值 C.设线段 PA 的中点为Q ,则点Q 到直线 3 0x y   的距离的取值范围 3 2 1,3 2 1    D.过直线 4 0x y   上一点T 引圆C 的两条切线,切点分别为 M , N ,则 CM CN  的取值范围 是(-16,0] 【答案】BD 【讲评建议】解析几何问题常见处理方法: (1)正确画出图形,利用平面几何知识简化运算; (2)坐标化,把几何关系转化为坐标运算. 【解答过程】对于 A,设 (4cos 4,4sin )P   ,∵ ( 2,0)A  , ( 4,0)C  ,则  2 2=(2 4cos 4sin ) ( 4cos , 4sin ) 16cos 8cos 16sin 16 8 cos 8,24PA PC                   , 故 A 错误; 对于 B,设 (4cos 4,4sin )P   ,则 2 2 2 2 4cos 2 4sin 20 16cos 1: = = = 280 64cos4cos 8 4sin PA PB           ( ) ( ) ( ) ( ) , 故 B 正确; 对于 C,设 (4cos 4,4sin )P   ,则点Q 到直线 3 0x y   的距离 | 2 2 sin( ) 6|| 2cos 2sin 6| 4 3 2 2,3 2 2 2 2 d             , 故 C 错误; 对于 D, 如图示: min | 4 0 4 | 4 2 2 CT     ,又:CM TM CN TN⊥ , ⊥ , ∴ 4 2cos ,cos 02 2 24 2 MCN CM MCN CT    ∠ ∠ ∴  ° ° ° °45 ,90 90 ,1802 MCN MCN    ∠ ,∴∠ , ∴  =| || |cos MCN 16,0CM CN CM CN      ∠ 故 D 正确. 题 6.瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后 人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 △ ABC,AB=AC=4,点 B(-1,3),点 C(4,-2),且其“欧 拉线”与圆 M: 2 2 2( 3)x y r   相切,则下列结论正确的是( ) A.圆 M 上点到直线 3 0x y   的最小距离为 2 2 B.圆 M 上点到直线 3 0x y   的最大距离为 3 2 C.若点(x,y)在圆 M 上,则 3x y 的最小值是3 2 2 D.圆 2 2( 1) ( ) 8x a y a     与圆 M 有公共点,则 a 的取值范围是[1 2 2,1 2 2]  【答案】ACD 【讲评建议】由题意结合“欧拉线”概念可得 △ ABC 的“欧拉线”即为线段 BC 的垂直平分线,结合直线方程的 知识可得线段 BC 的垂直平分线的方程,由直线与圆相切可得圆 M 的方程;由圆心到直线的距离可判断 A、 B;令 3z x y  ,由直线与圆相切可得 z 的最值,即可判断 C;由圆与圆的位置关系即可判断 D;即可 得解. 【解答过程】由 AB=AC 可得 △ ABC 外心、重心、垂心均在线段 BC 的垂直平分线上,即 △ ABC 的“欧拉线” 即为线段 BC 的垂直平分线, 由点 B(-1,3),点 C(4,-2)可得线段 BC 的中点为 3 1,2 2      ,且直线的 BC 的斜率 3 2 11 4BCk     , 所以线段 BC 的垂直平分线的斜率 1k  , 所以线段 BC 的垂直平分线的方程为 1 3 2 2y x   即 1 0x y   , 又圆 M: 2 2 2( 3)x y r   的圆心为 3,0 ,半径为 r , 所以点 3,0 到直线 1 0x y   的距离为 3 1 2 2 r    , 所以圆 M: 2 2( 3) 2x y   , 对于 A、B,圆 M 的圆心 3,0 到直线 3 0x y   的距离 3 3 3 2 2 d   ,所以圆上的点到直线 3 0x y   的最小距离为3 2 2 2 2  ,最大距离为3 2 2 4 2  ,故 A 正确,B 错误; 对于 C,令 3z x y  即 3 0x y z   ,当直线 3 0x y z   与圆 M 相切时,圆心 3,0 到直线的 距离为 3 22 z  ,解得 3 2 2z   或 3 2 2z   ,则 3x y 的最小值是3 2 2 ,故 C 正确; 对于 D,圆 2 2( 1) ( ) 8x a y a     圆心为 1,a a ,半径为 2 2 ,若该圆与圆 M 有公共点,则  2 22 2 2 1 3 2 2 2a a       即  2 22 2 18a a    ,解得1 2 2 1 2 2a    ,故 D 正确. 故选:ACD. 题 7.如图,在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D﹣ 中,P 为棱 1 1A B 的中点,点 Q 在侧面 1 1DCC D 内运动, 给出下列结论:其中结论正确的是( ) A.若 1BQ AC ,则动点 Q 的轨迹是线段; B.若| | 2BQ  ,则动点 Q 的轨迹是圆的一部分; C.若 1 1QBD PBD   ,则动点 Q 的轨迹是椭圆的一部分; D.若点 Q 到 AB 与 1DD 的距离相等,则动点 Q 的轨迹是抛物线的一部分. 【答案】ABC 【讲评建议】建立适当的空间直角坐标系,用坐标法求轨迹方程的解决立体几何中轨迹问题的有效方法. 【解答过程】 建立如图示的坐标系,则          10,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ,D A B C D          1 1 1 11,0,1 , 1,1,1 , 0,1,1 , 1, ,1 , 0, , ,0 1,0 1, 1, 1, ,2A B C P Q y z y z BQ y z            对于 A:若 1BQ AC ,则   1, 1, 1,1, 1 0y z     ,即 1+y-1-z=0 ∴  0 0 1,0 1y z y z      即动点 Q 的轨迹是线段.故 A 正确; 对于 B:若| | 2BQ  ,则  2 21 1 2y z    ,即    2 21 1 0 1,0 1y z y z       ∴则动点 Q 的轨迹是圆的一部分.故 B 正确; 对于 C:易证 1 11 AB C DD  ,若,设 BQ 交面 1 1AC D 于 E, 若 1 1QBD PBD   ,则 E 的轨迹为一个圆,显 然面 1 1AC D与面 CDD1C1 不平行,所以 Q 的轨迹是椭圆的一部分,故 C 正确. 对于 D:若点 Q 到 AB 与 1DD 的距离相等,则 21y z  ,∴ 2 2 1y z  ,所以 Q 的轨迹是双曲线的一 部分,故 D 错误. 二、结构不良题 题 8.在 ① M(x0,2)在抛物线 C 上,且|MF|=3, ② 过焦点 F 作 x 轴的平行线,与抛物线 C 交于 G,H 两 点,|GH|=4, ③ 抛物线 C 的准线过双曲线 4y2﹣ =1 的下焦点这三个条件中任选一个,补充在下面 的问题中,并解答.问题: 问题:已知抛物线 C:y= (p>0)的焦点为 F,点 A(1,p),______,若线段 AF 的垂直平分线交 抛物线于 P,Q 两点,求线段 PQ 的长度. 【讲评建议】分别选 ①②③ 进行讨论,选 ① 由抛物线的方程可得焦点的坐标,由抛物线性质到焦点的距 离等于到准线的距离可得 p 的值,求出 A,F 的坐标,求出直线 AF 的斜率进而求出线段 AF 的中垂线的方 程,与抛物线联立求出 P,Q 的坐标,进而求出弦长|PQ|的值, 选 ② 由抛物线的方程可得焦点的坐标,由题意可得 P,H 的坐标,由|PH|的值求出 p 的值,与 ① 方法类似 求出弦长|PQ|; 选 ③ 由双曲线的方程求出双曲线的下焦点的坐标,可得抛物线的准线方程,进而求出 p 的值,与 ① 类似 求出弦长|PQ|. 【解答过程】解:若选 ① ,由题意可得抛物线的焦点 F(0, ),由|MF|=2+ =3,可得 p=2, 所以 A(1,2),F(0,1),k= =1,中点坐标为( , ). 所以线段 AF 的中垂线的方程为:x+y﹣2=0, 联立 解得 或 ,所以|PQ|= • =4 . 选 ② 由题意:可得抛物线的焦点 F(0, ),将 y= 代入 x2=2py,得 x=±p, 设 Q(﹣p, ),H(p, ),则|GH|=2P,由 2p=4,解得 p=2, 所以抛物线的方程为:x2=4y, 因为 p=2,所以 A(1,2),F(0,1),所以线段 AF 的中垂线的方程为:x+y﹣2=0, 联立 可得 x2+4x﹣8=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以 x1+x2=﹣4,x1x2=﹣8, 所以|PQ|= |x1﹣x2|= = =4 . 选 ③ 可得抛物线的焦点 F(0, ),准线方程为 y=﹣ , 双曲线 4y2﹣ =1 的标准方程为: ﹣ =1,易知下焦点(0,﹣1),由﹣ =﹣1,解得 p=2, 所以 A(1,2),F(0,1),所以线段 AF 的中垂线的方程为:x+y﹣2=0, 联立 可得 x2+4x﹣8=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以 x1+x2=﹣4,x1x2=﹣8, 所以|PQ|= |x1﹣x2|= = =4 . 题 9.在①离心率 1 2e  ,②椭圆 C 过点 3(1, )2 ,③ 1 2PF F 面积的最大值为 3 ,这三个条件中任选一个,补 充在下面 ( 横线处 ) 问题中,解决下面两个问题. 设椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、F,过 1F 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点, 已知椭圆 C 的短轴长为 2 3 ,_________. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 PQ 的中垂线与 x 轴交于点 N,求证: 1 | | | | PQ NF 为定值. 【讲评建议】(1)可选①,由题意可得 b,运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,c, 即可得到椭圆方程; 若选②,由题意可得 b,将已知点代入椭圆方程求得 a,即可得到椭圆方程; 若选③,可得 P 位于短轴的端点时,取得最大值,结合条件可得 b,c 的值,由 a,b,c 的关系可得 a 的 值,进而得到所求方程. (2)设直线 l 的方程为 ( 1)y k x  ,联立椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,可得 | |PQ ;由中点 坐标公式可得 PQ 的中点 H,运用两直线垂直的条件:斜率之积为 1 ,可得 N 的坐标,求得 1| |NF ,即可 得到定值. 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查线段的 垂直平分线的定义,以及直线的斜率公式、中点坐标公式的运用,考查化简运算能力. 【解答过程】解: (1) 选择①离心率 1 2e  ,可得 1 2 ce a   , 2 2 3b  ,即 2 2 3b a c   , 解得 2a  , 1c  ,即有椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  ; 选②椭圆 C 过点 3(1, )2 ,即有 2 2 1 9 1 4a b   ,又 2 2 3b  ,即 3b  ,解得 2a  , 即有椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  ; 选③ 1 2PF F 面积的最大值为 3 ,可得 P 位于短轴的端点时,取得最大值,且为 1 2 32 c b   , 即为 3bc  ,又 2 2 3b  ,即 3b  , 1c  , 2 2 2a b c   , 即有椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  ; (2)证明:设直线 l 的方程为 ( 1)y k x  ,联立椭圆方程可得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     , 显然 0  , 设 1 1( , )P x y , 2 2( , )Q x y ,可得 2 1 2 2 8 3 4 kx x k     , 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k   , 可得 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 64 16 48 12(1 )| | 1 ( ) 4 1 (3 4 ) 3 4 3 4 k k kPQ k x x x x k k k k               , 设 PQ 的中点为 ( , )H t s ,可得 2 1 2 2 4 2 3 4 x x kt k     , 2 3 3 4 ks k   , 由题意可得 2 2 2 3 13 4 4 3 4 HN N k kk kk x k       ,解得 2 23 4N kx k    , 可得 2 2 1 2 2 3(1 )| | | 1 | 3 4 3 4 k kNF k k       , 可得 1 | | 4| | PQ NF  ,即为定值. 题 10.直线 l 经过两条直线 1l : 4 0x y   和 2l : 2 0x y   的交点,且________. (1) 求直线 l 的方程; (2) 求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积. 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按第一个解答 计分. ①与直线 2 1 0x y   平行. ②直线 l 在 x 轴上的截距为 1 .2  【讲评建议】本题主要考查的是直线方程的求解,直线与直线平行斜率的特点,难度一般,属于基础题. 选① (1) 先求出交点 P 再根据两直线平行即可求出直线方程. (2) 解出直线与 x 轴、y 轴交点,再求面积即可. 选② (1) 先求出交点 P,再根据直线 l 在 x 轴上的截距为 1 2  ,即可得到直线方程; (2) 解出直线与 x 轴、y 轴交点,再求面积即可. 【解答过程】选① (1)直线 l 经过直线 1l : 4 0x y   与直线 2l : 2 0x y   的交点 P , 解方程组 4 0 2 0 x y x y        ,解得 1 3 x y    ,即 (1,3)P , 直线 l 平行于直线 2 1 0x y   , 设直线 l 的方程为 2 0x y m   , 把 (1,3)P 代入,得 2 3 0m   ,解得 1m  , 直线 l 的方程为 2 1 0.x y   (2) 在直线 l: 2 1 0x y   中,令 0x  ,得 1y  ;令 0y  ,得 1 .2x   直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积: 1 1 11 .2 2 4S      选② (1)直线 l 经过直线 1l : 4 0x y   与直线 2l : 2 0x y   的交点 P, 解方程组 4 0 2 0 x y x y        ,解得 1 3 x y    ,即 (1,3)P , 由题意知直线 l 的斜率存在,设为 k,且 0k  ,则 l 为 3 ( 1)y k x   直线 l 在 x 轴上的截距为 1 3 1.2 2 k k     , 2k  , 直线 l 的方程为 2 1 0.x y   (2) 在直线 l: 2 1 0x y   中,令 0x  ,得 1y  ;令 0y  ,得 1 .2x   直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积: 1 1 11 .2 2 4S      三、文化情境题 题 11.如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐·金筐宝钿团花纹 金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银 细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的 右 支 与 直 线 0, 4, 2x y y    围成的曲边四边形 ABMN 绕 y 轴旋转 一周得到的几何体,若该金杯主体部分的上口外直径为10 3 3 ,下底外直径为 2 39 3 ,则双曲线 C 的离心 率为( ) A. 2 B.2 C. 3 D.3 【答案】B 【讲评建议】利用上口外直径、下底外直径确定 M、N 点坐标,代入双曲线方程求出 a,b 的值,进而求 出离心率。 【解答过程】由题意可知 5( 3,4)3M , 39( , 2)3N  由于双曲线 C 经过 M、N 两点, 则 2 2 2 2 2 2 5( 3) 163 1 39( ) 43 1 a b a b         ,解得 3, 3a b  所以 2 2 2 3c a b   则双曲线的离心率为 2 3 2 3 ce a    ,故选 B 题 12.古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面,将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同学用平行于母 线 PA 且过母线 PB 的中点 M 的平面去截圆锥,所得截线为如图所示的抛物线.若该圆锥的高 1PO  ,底面 半径 3OA  ,则该抛物线焦点到准线的距离为( ) A. 3 B.3 C. 3 2 D. 3 2 【答案】D 【讲评建议】先利用中位线计算 1OM  ,结合对称性判断抛物线以OM 为对称轴,焦点在OM 上,再 以顶点为原点建立坐标系,设抛物线标准方程  2 2 0y px p  ,根据点在抛物线上求得参数 p 即得结果. 【解答过程】由题意知,M 是 PB 的中点,O 是 AB 的中点, ABP△ 中,OM 是中位线, //AP OM , 2 21 1 1 1 3 12 2 2OM AP PO OA      , 截圆锥的平面平行于母线 PA 且过母线 PB 的中点 M,故 O 也在截面上,同时根据对称性可知抛物线的对称 轴为 OM ,焦点在 OM 上,建立以 M 为原点,OM 为 x 轴,过 M 点的垂线为 y 轴,则设抛物线与底面 交点为 E,则 1, 3E Ex OM y OA    , 设抛物线为  2 2 0y px p  ,则3 2 1p  ,解得 3 2p  ,即该抛物线焦点 ,02 p     到准线 2 px   的距 离为 p,即为 3 2 . 故选:D. 四、双空题 题 13.2021 年是中国传统的“牛”年,可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线 Z : 2 4x y 的焦点为 F ,圆 F :  22 1 4x y   与抛物线 Z 在第一象限的交点为 , 4 mP m     ,直线l :  0x t t m   与抛物线 Z 的交点为 A ,直线l 与圆 F 在第一象限的交点为 B ,则 m  ______; FAB 周 长的取值范围为______. 【答案】2  4,6 【讲评建议】联立圆与抛物线的方程即可求得 m,然后由  0 2x t t   分别与抛物线,与圆的方程联立 求得 A,B 的坐标,再结合抛物线的定义求解. 【解答过程】如图所示: 由   2 22 4 1 4 0, 0 x y x y x y          ,解得 2, 1 x y    , ∴ 2m  由 2 4 x t x y    ,解得 2 4 x t ty   , 所以 2 , 4 tA t     由  22 1 4 x t x y     ,解得 21 4 x t y t     , 所以  2,1 4B t t  , 由抛物线的定义得:∴ AF AC , ∴ FAB 周长 FA FB AB   2AC AB BF BC     24 4t   .  0,2t Q ,  24 4 4,6t    故答案为:2, 4,6 . 题 14.在平面上给定相异两点 A,B,设点 P 在同一平面上且满足 | | | | PA PB  ,当 0  且 1  时,P 点的 轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲 线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     , 1 2,F F 分别为双曲线的左、右焦点,A,B 为双曲线虛轴的上、下端点,动点 P 满 足 | | 2| | PB PA  , PAB△ 面积的最大值为 4.点 M,N 在双曲线上,且关于原点 O 对称,Q 是双曲线上一点, 直线 QM 和QN 的斜率满足 3QM QNk k  ,则双曲线方程是______________;过 2F 的直线与双曲线右支 交于 C,D 两点(其中 C 点在第一象限),设点 M 、 N 分别为 1 2CF F△ 、 1 2DF F△ 的内心,则 MN 的范围是 ____________. 【答案】 2 2 13 yx   [ 4 32, )3 【讲评建议】设 (0, ), (0, ), ( , )A b B b P x y ,根据 | | 2| | PB PA  ,求得 2 2 25 4( ) ( )3 3 b bx y   ,结合 PAB△ 的 最大面积得到 2 3b  ,再根据 3QM QNk k  ,得出 2 2 13 yx   ,设边 1 2 1 2, ,CF CF F F 上的切点分别为 , ,R S T , 根据内心的性质,得到 MN x 轴,设直线 CD 的倾斜角为 ,在 2MF N 中,得到 2 sinMN  ,进而 求得 MN 的取值范围. 【解答过程】设 (0, ), (0, ), ( , )A b B b P x y , 由题意知 | | 2| | PB PA  ,可得 2PB PA ,即 2 2 2 2( ) 2 ( )x y b x y b     , 整理得 2 2 25 4( ) ( )3 3 b bx y   ,可得圆心为 5(0, )3 b ,半径 4 3 br  , 所以 PAB△ 的最大面积为 1 42 42 3 bb   ,解得 2 3b  ,即 2 2 2 13 x y a   , 设 1 1( , ), ( , )Q x y M x y ,则 1 1( , )N x y  ,则 2 2 1 1 2 13 x y a   ,可得 2 2 2 1 1 2 3( )a xy a  ,同理 2 2 2 2 3( )a xy a  则 1 2 1 2 ,QM QN y y y xk y x x xk     ,则 2 22 2 12 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 3( )3( ) 3QM QN a xa x y y a a x x x xk k      , 整理得 2 1a  ,所以双曲线的方程为 2 2 13 yx   . 如图所示,设边 1 2 1 2, ,CF CF F F 上的切点分别为 , ,R S T , 则 ,M T 横坐标相等,则 1 1 2 2, ,CR CS F M FT F S F T   , 由 1 2 2CF AF  ,即 1 2( ) 2CR RF CS SF    ,即 1 2 2RF SF  , 即 1 2 2FT F T  ,即点 M 的横坐标为 0x ,则 0( ,0)T x ,于是 0 0( ) 2x c c x    ,可得 0 1x  , 同样内心 N 的横坐标也为1,则 MN x 轴, 设直线 CD 的倾斜角为 ,则 2 2, 902 2OF N MF O      , 在 2MF N 中, sin cos2 2( )[tan tan(90 )] ( )( )2 2 cos sin2 2 MN c a c a             2 2sin cos 22 2( ) ( ) sinsin cos2 2 c a c a             , 由双曲线的方程,可得 1, 3a b  ,则 2 2 2c a b   ,可得 2 sinMN  , 又由直线 CD 为双曲线右支上的点,且渐近线的斜率为 3b a  ,倾斜角为 60 , 可得 60 90   ,即 3 sin 12   ,可得 MN 的取值范围是[ 4 32, )3 . 故答案为: 2 2 13 yx   ;[ 4 32, )3 . 五、新定义题 题 15.双扭线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系 xOy 中,把到定点  1 ,0F a ,  2 ,0F a 距离之积等于  2 0a a  的点的轨迹称为双扭线 C.已知点  0 0,P x y 是 双扭线 C 上一点,下列说法中正确的有( ) A.双扭线 C 关于原点 O 中心对称; B. 02 2 a ay   ; C.双扭线 C 上满足 1 2PF PF 的点 P 有两个; D. PO 的最大值为 2a . 【答案】ABD 【讲评建议】本题考查了动点轨迹方程的性质判定,因为轨迹方程比较复杂,故在作不出图像时,需要根 据题意求出动点的方程进行对称性分析,同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析. 【解答过程】对 A,设动点  ,C x y ,由题意可得 C 的轨迹方程为    2 22 2 2x a y x a y a     把 ,x y 关于原点对称的点 ,x y  代入轨迹方程,显然成立; 对 B,因为  0 0,P x y ,故 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1sin2 2PF FS PF PF F PF F F y       . 又 2 1 2PF PF a  ,所以 2 1 2 0sin 2a F PF a y   , 即 0 1 2sin2 2 a ay F PF   ,故 02 2 a ay   .故 B 正确; 对 C,若 1 2PF PF ,则  0 0,P x y 在 1 2F F 的中垂线即 y 轴上. 故此时 0 0x  ,代入    2 22 2 2x a y x a y a     , 可得 0 0y  ,即  0,0P ,仅有一个,故 C 错误; 对 D,因为 1 2POF POF     ,故 1 2cos cos 0POF POF    , 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 02 2 OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF       , 因为 1 2OF OF a  , 2 1 2PF PF a  ,故 2 2 22 1 22 2OP a PF PF   . 即  22 2 1 2 1 22 2OP a PF PF PF PF     ,所以  22 1 22 OP PF PF  . 又 1 2 1 2 2PF PF F F a   ,当且仅当 P , 1F , 2F 共线时取等号.故  22 2 1 22 (2 )OP PF PF a   , 即 2 22OP a ,解得 2OP a ,故 D 正确. 故选:ABD. 题 16.我们把离心率为 5 1 2  的椭圆称为黄金椭圆,类似地,也把离心率为 5 1 2  的双曲线称为黄金双曲 线,则( ) A.曲线 2 2 13 5 1 x y   是黄金双曲线 B.如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线,那么 2b ac (c 为半焦距) C.如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线,那么右焦点 2F 到一条渐近线的距离等于焦距的 四分之一 D.过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点 2F 且垂直于实轴的直线 l 交 C 于 M、N 两点,O 为坐 标原点,若 90MON   ,则双曲线 C 是黄金双曲线 【答案】BD 【讲评建议】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常 见有两种方法: ①求出 a,c,代入公式 ce a  ; ②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=c2-a2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不 等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围). 【解答过程】对于 A: 2 2 13 5 1 x y   , 2 3a  , 2 5 1b   ,所以 2 5 4c   ,所以 22 2 2 5 1 3 5 2 2 5 4 3 ce a           ,故 A 错误; 对于 B:双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     是黄金双曲线,所以 5 1 2 ce a   ,由 2 2 2c a b  ,所以 2 2 2 25 1 5 1 2 2b a a a ac          ,故 B 正确; 对于 C:双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线 by xa  ,则  2 ,0F c 到其距离 2 2 1 1 bcd ba b a         ,而由 B 可知, 2 21 4b ac c  ,故 C 错误; 对于 D:当 0x  时, 2 4 2 2 2 21c by ba a        ,令 2 , bM c a      , 2 , bN c a     ,则 2 , bOM c a       , 2 , bON c a       , 所以 4 2 2 0bOM ON c a      ,则 2b ac ,由 B 可知,双曲线 C 是黄金双曲线,故 D 正确; 题 17.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量,已知对于曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     上点  0 0,P x y 处的曲率半径公式为 3 2 2 2 2 2 0 0 4 4 x yR a b a b      ,则下列说法正确的是( ) A.对于半径为 R 的圆,其圆上任一点的曲率半径均为 R B.椭圆   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     上一点处的曲率半径的最大值为 a C.椭圆   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     上一点处的曲率半径的最小值为 2b a D.对于椭圆   2 2 2 1 1x y aa    上一点 0 1 ,2 y     处的曲率半径随着 a 的增大而减小 【答案】AC 【讲评建议】对新定义的量进行运算 【解答过程】圆:  2 2 2 0 0, ,x y R P x y  ,曲率半径为 3 2 2 2 2 2 0 0 4 4 x yR R RR R        ,A 正确;  0 0,P x y 在椭圆   2 2 0 0 2 2 1 0x y a ba b     上, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2020 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 bb xx y x x x x xa a b a b a b a b a a b b              2 2 2 20 02 4 2 1 , 0,c x x ab a b       , ∴ 2 2 0 0 4 4 2 2 1 1,x y a b a b      , 2 2 ,b aR a b     ,B 错误,C 正确; 33 3 3 4 22 2 22 2 2 3 04 4 2 4 2 1 1 1 1 11 14 4 4 4 4R a y a aa a a a a                           3 3 4 8 4 22 2 3 3 3 3 4 2 1 1 1 114 4 4 4a a a aa a                    令   8 4 2 3 3 31 1 4 4f a a a a      , 1a  ,    11 1 5 11 4 23 3 3 32 4 1 1 8 4 03 3 6 6f a a a a a a a            , ∴ R 在( )1,+¥ 上随 a 增大而增大,D 错误. 题 18.画法几何的创始人-法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以 椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 , F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,A,B 为椭圆上两个动点.直线 l 的方程为 bx+ay-a2-b2=0.下列说法正确的是 A.C 的蒙日圆的方程为 x2+y2=3b2 B.对直线 l 上任意点 P, PA PB  >0 C.记点 A 到直线 l 的距离为 d,则 d-|AF2|的最小值为 4 3 3 b D.若矩形 MNGH 的四条边均与 C 相切,则矩形 MNGH 面积的最大值为 6b2 【答案】AD 【讲评建议】在理解蒙日圆概念的基础上利用特殊位置确定蒙日圆的方程,则下面各个选项正误就很好确 定了. 【解答过程】易知点 Q(a,b)在蒙日圆上,所以方程为 x2+y2=a2+b2,又由 e = = = ,得 a2=2b2, A 正确;l 过顶点 P(b,a),而 Q 又满足蒙日圆方程,所以 P 在圆 x2+y2=3b2 上,当 A、B 恰为切点时, = t h ,B 错误;由 A 在椭圆上,故|AF1|+|AF2|=2a,所以 d-AF2=d-(2a-AF1)=d+AF1-2a,当 F1A⊥l 时,d+AF1 有最小值,即 F1 到 l 距离 = ,即 = ,所以 㔮㤰 = b a ,C 错误;当矩形四 边都与椭圆 C 相切时,它为蒙日圆得内接矩形,对角线为蒙日圆得直径,设边长为 x,y,则 x2+y2=(2r)2=4r2=12b2, 矩形 = xy ≤ = 6 ,D 正确;故选 AD。 题 19.由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光 学性质:一束平行于抛物线轴的光线   2 4 4 13 y x y x      ,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物 线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在直角坐标系中,对称轴与 x 轴重合,顶点与原点重合,如图, 若抛物线过点 1 ,14A     ,平行于对称轴的光线经过点 A 反射后,反射光线交抛物线于点 B ,则线段 AB 的中点到准线的距离为( ) A. 2 B.17 4 C. 25 8 D. 25 4 【答案】C 【讲评建议】将 1 ,14A     代入抛物线方程可得抛物线方程,利用 1 ,14A     和焦点坐标求出直线 AB 的 方程,与抛物线方程联立可得点 B 的坐标,进而可得 AB 的中点坐标,即可求解. 【解答过程】设抛物线方程为: 2 2y px ,将点 1 ,14A     代入可得 11 2 4p  ,解得: 2p  , 所以抛物线方程为: 2 4y x ,焦点为  1,0F , 1x   , 由题意可得:直线 AB 的方程为:  1 00 11 14 y x    ,即  4 13y x   , 由   2 4 13 4 y x y x       可得: 2 3 4 0y y   ,解得: 1 1 4 4 x y     或 2 2 1 4 1 x y     , 所以 1 ,14A     ,  4, 4B  ,可得 AB 的中点为 17 3,8 2     , 所以线段 AB 的中点到准线的距离为17 17 2518 2 8 8 p    , 故选:C 题 20.若椭圆或双曲线上存在点 P ,使得点 P 到两个焦点 1 2,F F 的距离之比为 2:1,且存在 1 2PF F△ ,则称 此椭圆或双曲线存在“ 点”,下列曲线中存在“ 点”的是( ) A. 2 2 136 32 x y  B. 2 2 116 15 x y  C. 2 2 15 4 x y  D. 2 2 115 yx   【答案】C 【讲评建议】求出满足条件 1 2 2 1 PF PF  时的 1PF 和 2PF ,再求出 1 2F F ,验证 1PF , 2PF , 1 2F F 能否 是三角形的三边长,即可得.本题考查新定义“  点”,解题方法是弱化条件,求出满足部分条件的 P 点具 有的性质,验证是否满足另外的条件:构成三角形.从而完成求解. 【解答过程】 1 2 2 1 PF PF  ,则 1 22PF PF ,若是椭圆,则 1 2 23 2PF PF PF a   , 2 2 3 aPF  , 1 4 3 aPF  , 若是双曲线,则 1 2 2 2PF PF PF a   , 1 4PF a , A 中椭圆, 6, 2a c  , 2 4PF  , 1 8PF  , 1 2 4F F  ,不存在 1 2PF F△ ; B 中椭圆, 4, 1a c  , 1 8 3PF  , 1 16 3PF  , 1 2 2F F  ,不存在 1 2PF F△ C 中双曲线, 5, 3a c  ,双曲线上点到到右焦点距离的最小值是 23 5 3 ac a    , 2 2 5PF  , 1 4 5PF  , 1 2 6F F  ,构成 1 2PF F△ ,存在“  点”, D 中双曲线, 1a  , 4c  , 2 2PF  , 1 4PF  , 1 2 8F F  ,不存在 1 2PF F△ 故选:C. 题 21.“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的:如图, ABC 的三条边长分别为 BC a , AC b , AB c .延长线段CA 至点 1A ,使得 1AA a ,以此类推得到点 2 1 2 1, , ,A B B C 和 2C ,那么这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知 4, 3, 5a b c   ,则由 ABC 生成的 康威圆的半径为___________. 【答案】 37 【讲评建议】利用弦长相等, 1 2 2 1 2 1AC A B B C  ,圆心与弦所在直线距离相等,得圆心是直角 ABC 的内心,从而易求得圆半径. 【解答过程】设 M 是圆心,因为 1 2 2 1 2 1AC A B B C  ,因此 M 到直线 , ,AB BC CA 的距离相等,从而 M 是直角 ABC 的内心,作 MN AC 于 N ,连接 2MC ,则 3 4 5 12MN CN     , 2 1 5 6NC    , 所以 2 2 2 1 6 37MC    . 故答案为: 37 .

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