2021届高考物理二轮备考题型专练:带电粒子在组合场、复合场中的运动(解析版)
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2021届高考物理二轮备考题型专练:带电粒子在组合场、复合场中的运动(解析版)

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时间:2021-04-20

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资料简介
1 带电粒子在组合场、复合场中的运动【原卷】 1.如图所示,在 xOy 平面内,匀强电场的方向沿 x 轴正方向,匀强磁场的方向 垂直于 xOy 平面向里。一电子在 xOy 平面内恰好做直线运动,则该电子的运 动方向为( ) A.沿 x 轴正方向 B.沿 x 轴负方向 C.沿 y 轴正方向 D.沿 y 轴负方向 2. CT 扫描是计算机 X 射线断层扫描技术的简称,CT 扫描机可用于对多种病 情的探测。图(a)是某种 CT 机主要部分的剖面图,其中 X 射线产生部分的 示意图如图(b)所示。图(b)中 M、N 之间有一电子束的加速电场,虚线 框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方 向前进,打到靶上,产生 X 射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到 靶上的点记为 P 点。则( ) 2 A.M 处的电势高于 N 处的电势 B.增大 M、N 之间的加速电压可使 P 点左移 C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外 D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使 P 点左移 3.如图所示,光滑绝缘水平面内有足够大的直角坐标系 xOy,第二象限内有水 平向左、垂直于 y 轴的电场强度 E=2.5×10-2 N/C 的匀强电场,第一象限(包 含 y 轴)内有竖直向下的匀强磁场 B1,第四象限有竖直向下的匀强磁场 B2(图 中未画出)。在整个 x 轴上有粒子吸收膜,若粒子速度垂直于膜,可以穿过该 膜,且电荷量不变,速度大小不变;若粒子速度不垂直于膜,将被膜吸收。 不计膜的厚度。一质量为 m=5.0×10-9 kg,电荷量为 q=2.0×10-4 C 的带负电 的粒子,从 A 点(-20,0)以初速度 v0=2.0×102 m/s 沿 y 轴正方向开始运动, 通过 y 轴上 B 点(图中未画出),之后将反复通过膜,而没有被膜吸收。不计 粒子重力。求: (1)B 点距坐标原点 O 的距离 yB; (2)匀强磁场 B1 大小; (3)匀强磁场 B2 的取值范围。 3 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形区域 ABC 内存在垂直纸面向里 的匀强磁场 B1,线段 CO=OB=L,θ=30°;第三象限内存在垂直纸面的匀强磁 场 B2(图中未画出),过 C 点放置着一面与 y 轴平行的足够大荧光屏 CD;第 四象限正方形区域 OBFE 内存在沿 x 轴正方向的匀强电场。一电子以速度 v0 从 x 轴上 P 点沿 y 轴正方向射入磁场,恰以 O 点为圆心做圆周运动且刚好不 从 AC 边射出磁场;此后电子经第四象限进入第三象限,经过 y 轴时速度方向 与 y 轴负方向成 60°角,最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知 电子的质量为 m、电荷量为 e,不计电子的重力,求: (1)P 点距 O 点的距离 d; (2)电子在电场中的运动时间 t; (3)第三象限内的磁感应强度 B2 的大小。 5.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰三角形 ABC 区域内左半部分有方 4 向垂直纸面向外磁感应强度大小 B1=1T 的匀强磁场,右半部分有方向垂直 x 轴向下的匀强电场,边界上有磁场或电场。在 x 轴 OA 段上的 P 点(图中未 画出)有一粒子源(大小可忽略) ,能垂直 x 轴在纸面内以速度 v0(未知) 向磁场射人质量 m=2.4×10-7 kg。电荷量 q=1×10-5 C 的带正电粒子。粒子源 射出的粒子恰好不从磁场的 AC 边界射出且垂直于 y 轴射人电场,也恰好不从 电场的 BC 边界射出。已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-3 m,0)、(3 m, 0)和(0,4 m) ,不计粒子受到的重力。求: (1)P 点的坐标和粒子射入磁场的速度大小 U0; (2)匀强电场的电场强度大小 E; (3)粒子在磁场和电场中运动的总时间 t 总。 6.如图 1 所示,水平直线 MN 上方有竖直向下的匀强电场,场强 33 10 N / CE   , MN 下方有垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度 B 随时间 t 周期性变化的规律 如图 2 所示,规定垂直纸面向外为磁场正方向,在 0t  时,将一带正电的粒子 从电场中的 O 点处由静止释放,在 51 10 st   时通过 MN 上的 P 点进入磁场, 经过一段时间后,粒子最终打在足够大的挡板上。已知挡板位于 P 点左侧且 垂直于 MN,挡板与 P 点间的距离为 100cm;粒子的比荷 610 C / kgq m      ,不计 5 粒子的重力;计算中取 3  。 (1)求粒子从 P 点进入磁场时速度的大小; (2)在 51 10 st   至 52 10 s 时间内,求粒子运动的轨道半径和周期; (3)求粒子从 O 点出发运动到挡板所需的时间。 7.如图所示,光滑平台处于水平向右的匀强电场中(图中区域 I),其场强 1 2 mgE q  , 区域 II 存在场强未知的竖直向上的匀强电场 2E ,区域 III 存在场强未知的竖 直向上的匀强电场 3E 和垂直纸面向外的匀强磁场,一质量为 m、带电量为 q 的 小球从 A 点无初速度释放,AO 距离为 L, 1OO 的距离也为 L。小球恰经过 1O 点 上方 2 L 处的 P 点再进入区域 III 做匀速圆周运动后又能无碰撞地滑上平台并刚 好回到 A 点。重力加速度为 g,求: (1)区域 III 内电场的电场强度 3E ; (2)区域 III 内匀强磁场的磁感应强度 B; (3)小球从 A 点开始至回到 A 点的运动时间 t。 6 8.人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动,某控制带电 粒子运动的仪器原理如图所示,区域 PP′M′M 内有竖直向下的匀强电场,电 场场强为 E=1×103V/m,宽度为 d=0.05m,长度为 L=0.40m;区域 MM′N′N 内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B=2.5×10-2T,长度也为 L=0.40m, 磁场宽度足够。比荷为 81 10 C/kgq m   的带正电的粒子以水平初速度从 P 点射入 电场。边界 MM′不影响粒子的运动,不计粒子重力。 (1)若带电粒子以水平初速度v0=8×105m/s从P点射入电场后,求粒子从PP′M′M 区域射出的位置; (2)当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时,粒子只进入磁场一次就恰好垂 直 P′N′边界射出。 7 9.如图所示,平行金属板 MN 水平放置,板间距为 d,板长为 2d ,板间接有恒 定电压,两板间电场可看做匀强电场,且两板外无电场。紧邻金属板右侧有 垂直纸面向里的匀强磁场,边界线为 CD.线状离子源均匀发射出大量比荷为 k 的粒子,粒子以相同的速度由板的左侧进入板间,粒子速度方向与板平行, 若有 50%的粒子能从板间射出,不计粒子间的相互作用及粒子重力。 (1)求两极板所加电压 U 的大小; (2)射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间,求磁感应强度 B 的最小值。 10.如图所示,直角坐标系 xOy 中,矩形 MNOA区域分布有沿 x 轴正方向的匀强电 场,场强大小为 E ,三角形 AOC 区域分布有垂直纸面向外的匀强磁场,N 、A 分别为 x 、y 轴上的两点,ON 、AC 长均为 L , 30AOC   。在边界 NM 上0 3y L  范围内均匀分布着大量相同的带正电粒子,质量为 m ,电荷量为q,它们持续 不断地飘入电场并从静止开始加速运动,然后进入磁场。已知从 y 轴上 P 点(图 中未画出)进入磁场的粒子刚好垂直OC 边界离开磁场,且 3 4OP L ,不计带 电粒子的重力,不考虑带电粒子之间的相互作用,试求: (1)磁场的磁感应强度大小 B ; (2)带电粒子在电场和磁场中运动的最长时间 mt ; 8 (3) x 轴上有带电粒子打到的区域范围。 11.如图所示,直线 OA 与 x 轴正方向夹角为 37°,OA 上方与 y 轴之间有垂直 xoy 平面向外的匀强磁场 B2;OA 下方与直线 x=d 左侧之间有沿 y 轴负方向的 匀强电场,电场强度 44 10 V/m3E   ,另有一半径 R=1m 的圆形匀强磁场区域, 磁感应强度 B1=0.2T,方向与 B2 相同,该圆与直线 x=d 和 x 轴均相切,且与 x 轴相切于 S 点。一带负电的粒子从 S 点沿 y 轴的正方向以速度 v0 进入圆形 磁场区域,经过一段时间进入磁场区域 B2,且第一次进入磁场 B2 时的速度方 向与直线 OA 垂直。粒子速度大小 v0=1.0×105m/s,粒子的比荷为 5= 5.0 10 C/kgq m   ,粒子重力不计。求:(计算结果均保留三位有效数字) (1)粒子在圆形匀强磁场 B1 中运动的时间 t1; (2)坐标 d 的值; (3)要使粒子打不到 y 轴上,磁感应强度 B2 应满足的条件。 9 12.如图所示,光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内,半径 R=0.8 m,与长 l=2.0 m 的绝缘水平面 CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和 匀强磁场,电场强度 E=20 N/C,方向竖直向上,磁场的磁感应强度 B=1.0 T, 方向垂直纸面向外。将质量为 m=2. 0 × 10-6 kg、带电量 q=1.0 × 10-6 C 的带正电 小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放,最后落在地面上的 P 点。已知小球 a 在 水平面 CD 上运动时所受的摩擦阻力 f = 0.1mg, 3PN ND 。取 g=10 m/s2 , 求(结果可带根号): (1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小; (2)水平面 CD 离地面的高度 h; (3)从小球 a 开始释放到落地前瞬间的整个运过程中系统损失的机械能 E 。 13.如图所示.ABC 是固定在竖直平面内的绝缘圆弧轨道,圆弧半径为 R,A 点 与圆心 O 等高,B、C 点处于竖直直径的两端,PA 是一段绝缘的竖直圆管, 两者在 A 点平滑连接,整个装置处于方向水平向右的匀强电场中,一质量为 10 m、电荷量为+q 的小球从管内与 C 点等高处 P 由静止释放,一段时间后小球 离开圆管进人圆弧轨道运动。已知匀强电场的电场强度 3 4 mgE q  (g 为重力加速 度),小球运动过程中的电荷量保持不变,忽略圆管和轨道的摩擦眼力,求(计 算结果可带根号): (1)小球从释放到 A 经历的时间; (2)小球到达 B 点时速度的大小; (3)小球到达 B 点时对圆弧轨道的压力大小。 14.如图所示,在水平面上,平放一半径为 R 的光滑半圆管道,管道处在方向竖 直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中,另有一个质量为 m、带电量为+q 的小 球。 (1)当小球从管口沿切线方向以速度 v0 射入时,求小球对管道侧壁的作用力大 小; (2)现把管道固定在竖直面内,且两管口等高,磁场仍保持和管道平面垂直,如 图所示,空间再加一个水平向右、场强 E= mg q 的匀强电场(未画出),若小球 仍以 v0 的初速度沿切线方向从左边管口射入,求小球在管道运动全程中获得的 最大速度。 11 15.如图所示,绝缘直棒上的小球,其质量为 m、带电荷量是+q,小球可在棒 上滑动。将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中, 电场强度是 E,磁感应强度是 B,小球与棒间的动摩擦因数为μ,已知 mg>μqE, 则小球由静止沿棒下滑过程中(小球所带电荷量不变); (1)最大加速度是多少? (2)最大速度是多少? 16.如图所示,光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内,半径 0.8mR  ,与长 2.0ml  的绝缘水平面CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强 磁场,电场强度方向竖直向上,磁场的方向垂直纸面向外。将质量为 62.0 10 kgm   ,带电量 61.0 10 Cq   的带正电小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放, 在磁场中恰好做匀速圆周运动,直接打在地面上的 P 点。已知小球 a 在水平面 CD 上运动时所受的摩擦阻力 0.1f mg , 3PN ND , 2 3mND  ,取 210m/sg  , 求: (1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小; 12 (2)电场强度大小; (3)磁感应强度大小。 17.如图甲所示,直角坐标系 xOy 位于竖直平面内且 x 轴沿水平方向,其第二象 限内有一对平行金属板 A、B,两板相距为 d,两板之间有方向平行于板面并 垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为 1B ,第一象限某一矩形区域 内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 2B ,第四象限存在一未 知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 3B ,在 竖直方向存在交变电场,将一个倾角为 的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知 大量带电量均为 q 的带电粒子从平行金属板左侧沿 x 轴正方向以相同的速度 0v 飞入平行金属板 A、B 之间,稳定后,某一质量为 m 的带电离子能沿平行 金属板中心线射出,经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀 减速直线运动,恰好沿斜面进入第三象限,此时粒子速度为 0,且此后一直在 第三象限内运动,取带电粒子刚进入斜面时为 0t  时刻,电场变化如图乙所示, 电场方向竖直向上为正,场强大小为 0E ,已知 3B 的大小数值上等于 2 m q  ,且 题中 d、 1B 、 2B 、q、m、 0v 、 0E 为已知量,不计带电粒子的重力及粒子间的 相互作用,则 13 (1)求稳定后两金属板之间的电势差 ABU ; (2)求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径 2r ; (3)求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角 的函数关系式; (4)若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面,19s后电场变为垂直斜面向上的 匀强电场,电场大小变为 0 3 cosθ4 E ,并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE 。 已知小球在电场变化后的 1 s4 内打在荧光屏上,且与 C 点的距离为 0 2 cos 32 qE m   ,求 19s末带电粒子与斜面底端 C 点的距离 L(计算结果用角度关系表示)。 18.利用磁场可以控制带电微粒的运动。如图甲所示,直角坐标系 xOy 平面内, 一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电微粒,以初速度 v0 在 t=0 时沿+x 方向从 坐标原点 O 射入,为平衡带电微粒的重力,空间加上了匀强电场,同时施加 垂直纸面向里的磁场,磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示。经 时间 0 4 3 a v 微粒运动到 3 3( , )2 2 a a 处。重力加速度为 g。求: 14 (1)电场强度; (2)磁感应强度大小; (3)带电微粒能否再次回到 O 点?若能,求出相邻两次通过 O 点过程中微粒通 过的路程;若不能,求带电微粒总体朝哪个方向运动,并求出朝这个方向运动 的平均速度。 19.如图甲所示,竖直面 MN 的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场(上、下及 左侧无边界).一个质量为 m、电荷量为 q、可视为质点的带正电小球,以水 平初速度 0v 沿 PQ 向右做直线运动,Q 位于 MN 上,若小球刚经过 D 点时(t=0), 在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强 磁场,使得小球再次通过 D 点时与 PQ 连线成 90°角,已知 D、Q 间的距离为 2L, 0t 小于小球在磁场中做圆周运动的周期,忽略磁场变化造成的影响,重 力加速度为 g。求: (1)电场强度 E 的大小和方向; (2) 0t 与 1t 的比值; (3)小球过 D 点后做周期性运动,则当小球运动的周期最大时,求出此时磁 感应强度 0B 的大小及运动的最大周期 mT 。 15 20.如图甲所示,竖直平面内坐标系 xOy 的 y 轴左侧有一个加速电场,电压 U=100V,y 轴右侧存在变化的磁场,磁场方向与纸面垂直,规定向里为正方 向,其随时间变化如图乙所示。若将静止的电子加速后从 y=2 10-2m 处垂直 y 轴进入磁场。已知电子的比荷 111.8 10 C/kge m   ,不计重力,不考虑磁场变化引 起的电磁影响,计算时π取 3。 (1)求电子进入磁场时的速度; (2)在坐标纸图丙上画出电子的运动轨迹,并求出电子运动轨迹的最高点和最低 点的纵坐标。 16 21.空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场,y 轴为两磁场的边界,磁感应强 度分别为 02B 、 03B 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 O 沿 x 轴正向射 入磁场,速度均为 v。甲第 1 次、第 2 次经过 y 轴的位置分别为 P、Q,其轨 迹如图所示。甲经过 Q 时,乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为 m,电 荷量为 q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求: (1)Q 到 O 的距离 d; (2)甲两次经过 P 点的时间间隔 t ; (3)乙的比荷 q m   可能的最小值。 22.某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直放置的两金属板,两板 17 间电压为 U,Q 板为记录板,分界面 P 将 N、Q 间区域分为宽度均为 d 的 I、 Ⅱ两部分,M、N、P、Q 所在平面相互平行,a、b 为 M、N 上两正对的小孔。 以 a、b 所在直线为 z 轴, 向右为正方向,取 z 轴与 Q 板的交点 O 为坐标原 点,以平行于 Q 板水平向里为 x 轴正方向,竖直向上为 y 轴正方向,建立空 间直角坐标系 Oxyz。区域 I、Ⅱ内分别充满沿 x 轴正方向的匀强磁场和匀强 电场,磁感应强度大小、电场强度大小分别为 B 和 E。一质量为 m,电荷量 为+q 的粒子,从 a 孔飘入电场(初速度视为零),经 b 孔进入磁场,过 P 面 上的 c 点(图中未画出)进入电场,最终打到记录板 Q 上。不计粒子重力。 (1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 以及 c 点到 z 轴的距离 L; (2)求粒子打到记录板上位置的 x 坐标; (3)求粒子打到记录板上位置的 y 坐标(用 R、d 表示); (4)如图乙所示,在记录板上得到三个点 s1、s2、s3,若这三个点是质子 1 1H、氚 核 3 1H 、氦核 4 2 He 的位置,请写出这三个点分别对应哪个粒子(不考虑粒子间的 相互作用,不要求写出推导过程)。 23.如图,在 0≤x≤h, y    区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场,磁感应 强度 B 的大小可调,方向不变。一质量为 m,电荷量为 q(q>0)的粒子以速 18 度 v0 从磁场区域左侧沿 x 轴进入磁场,不计重力。 (1)若粒子经磁场偏转后穿过 y 轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向, 并求在这种情况下磁感应强度的最小值 Bm; (2)如果磁感应强度大小为 m 2 B ,粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。 求粒子在该点的运动方向与 x 轴正方向的夹角及该点到 x 轴的距离。 24.通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率(即打到探测板 上质子数与衰变产生总质子数 N 的比值),可研究中子( 1 0 n )的  衰变。中子 衰变后转化成质子和电子,同时放出质量可视为零的反中微子 eν 。如图所示, 位于 P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源,该质子源在纸面内各向均匀 地发射 N 个质子。在 P 点下方放置有长度 1.2mL  以 O 为中点的探测板,P 点 离探测板的垂直距离OP 为 a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里,磁感 应强度大小为 B 的匀强磁场。 已知电子质量 31 2 e 9.1 10 kg 0.51MeV / cm    ,中子质量 2 n 939.57MeV / cm  ,质子质 量 2 p 938.27MeV / cm  (c 为光速,不考虑粒子之间的相互作用)。 若质子的动量 21 1 8 14.8 10 kg m s 3 10 MeV s mp            。 (1)写出中子衰变的核反应式,求电子和反中微子的总动能(以 MeV 为能量 单位); 19 (2)当 0.15ma  , 0.1TB  时,求计数率; (3)若 a 取不同的值,可通过调节 B 的大小获得与(2)问中同样的计数率, 求 B 与 a 的关系并给出 B 的范围。 带电粒子在组合场、复合场中的运动 1.如图所示,在 xOy 平面内,匀强电场的方向沿 x 轴正方向,匀强磁场的方向 垂直于 xOy 平面向里。一电子在 xOy 平面内恰好做直线运动,则该电子的运 动方向为( ) A.沿 x 轴正方向 B.沿 x 轴负方向 C.沿 y 轴正方向 20 D.沿 y 轴负方向 【答案】C 【详解】 电子垂直于磁场的方向运动时一定受到洛伦兹力,若电子的速度变化,则洛伦 兹力一定变化,故电子一定是做匀速直线运动,电子受力平衡。电子受到的静 电力沿 x 轴负方向,故所受洛伦兹力一定沿 x 轴正方向,根据左手定则判断可 知,电子应沿 y 轴正方向运动,故 ABD 错误,C 正确。 故选 C。 2. CT 扫描是计算机 X 射线断层扫描技术的简称,CT 扫描机可用于对多种病 情的探测。图(a)是某种 CT 机主要部分的剖面图,其中 X 射线产生部分的 示意图如图(b)所示。图(b)中 M、N 之间有一电子束的加速电场,虚线 框内有匀强偏转磁场;经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方 向前进,打到靶上,产生 X 射线(如图中带箭头的虚线所示);将电子束打到 靶上的点记为 P 点。则( ) A.M 处的电势高于 N 处的电势 B.增大 M、N 之间的加速电压可使 P 点左移 C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外 21 D.增大偏转磁场磁感应强度的大小可使 P 点左移 【答案】D 【详解】 A.由于电子带负电,要在 MN 间加速则 MN 间电场方向由 N 指向 M,根据 沿着电场线方向电势逐渐降低可知 M 的电势低于 N 的电势,故 A 错误; B.增大加速电压则根据 21 2eU mv 可知会增大到达偏转磁场的速度;又根据在偏转磁场中洛伦兹力提供向心力有 2vevB m R  可得 mvR eB  可知会增大在偏转磁场中的偏转半径,由于磁场宽度相同,故根据几何关系可 知会减小偏转的角度,故 P 点会右移,故 B 错误; C.电子在偏转电场中做圆周运动,向下偏转,根据左手定则可知磁场方向垂 直纸面向里,故 C 错误; D.由 B 选项的分析可知,当其它条件不变时,增大偏转磁场磁感应强度会减 小半径,从而增大偏转角度,使 P 点左移,故 D 正确。 故选 D。 3.如图所示,光滑绝缘水平面内有足够大的直角坐标系 xOy,第二象限内有水 平向左、垂直于 y 轴的电场强度 E=2.5×10-2 N/C 的匀强电场,第一象限(包 22 含 y 轴)内有竖直向下的匀强磁场 B1,第四象限有竖直向下的匀强磁场 B2(图 中未画出)。在整个 x 轴上有粒子吸收膜,若粒子速度垂直于膜,可以穿过该 膜,且电荷量不变,速度大小不变;若粒子速度不垂直于膜,将被膜吸收。 不计膜的厚度。一质量为 m=5.0×10-9 kg,电荷量为 q=2.0×10-4 C 的带负电 的粒子,从 A 点(-20,0)以初速度 v0=2.0×102 m/s 沿 y 轴正方向开始运动, 通过 y 轴上 B 点(图中未画出),之后将反复通过膜,而没有被膜吸收。不计 粒子重力。求: (1)B 点距坐标原点 O 的距离 yB; (2)匀强磁场 B1 大小; (3)匀强磁场 B2 的取值范围。 【答案】(1)40 m;(2) 1.25×10-4 T;(3) B2′≥1.5×10-4 T。 【详解】 (1)设带电粒子在电场中的加速度为 a,运动时间为 t1,则 qE=ma |xA|= 1 2 at12 yB=v0t1 解得 a=1.0×103 m/s2 t1=0.2 s 23 yB=40 m (2)设带电粒子在 B 点速度为 vB,沿 x 轴正方向分速度为 vx,vB 与 y 轴正方向 夹角为θ,则 vx=at1 tanθ= 0 x v v vB2=v02+vx2 解得 vx=2.0×102 m/s vB=2 2 ×102 m/s θ=45° 粒子通过 B 点后在匀强磁场 B1 中做匀速圆周运动,且反复通过吸收膜,而没 有被膜吸收,则粒子速度垂直于膜即垂直于 x 轴。 设粒子做匀速圆周运动的圆心为 O1,轨道半径为 r1,则: qvBB1=m 2 1 Bv r r1cosθ=yB 解得 r1=40 2 m B1=1.25×10-4 T 24 (3)粒子第一次垂直于 x 轴即垂直于膜穿过膜后,将在第四象限做匀速圆周运动。 如果匀强磁场 B2 的方向竖直向下,粒子向 x 轴负方向偏转: 若粒子从负 y 轴上离开第四象限,速度方向与 y 轴正方向夹角,如果大于和等 于 90°,粒子不再回到 y 轴,如果小于 90°,粒子将运动到负 x 轴上,且不垂 直于 x 轴,被膜吸收。 若粒子从正 x 轴离开第四象限,粒子速度一定垂直于 x 轴,进入第一象限,然 后在第一象限做半个圆周运动后垂直于膜穿过膜进入第四象限,并且穿过点在 上次穿过点的右边,所以会反复通过膜,而没有被膜吸收。 这种情况,粒子在第四象限做圆周运动轨道半径最大为 r2m,匀强磁场 B2 大小 最小为 B2m,则 2r2m=r1+r1sinθ qvBB2m=m 2 2 B m v r 设这种情况匀强磁场 B2 大小 B2′,则 B2′≥B2m 解得 B2m= 2 4(1 2) ×10-3 T≈1.5×10-4 T 即 B2′≥1.5×10-4 T 综上所述:当匀强磁场 B2 的方向竖直向下时磁感应强度大小 B2′≥1.5×10-4 T。 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形区域 ABC 内存在垂直纸面向里 的匀强磁场 B1,线段 CO=OB=L,θ=30°;第三象限内存在垂直纸面的匀强磁 场 B2(图中未画出),过 C 点放置着一面与 y 轴平行的足够大荧光屏 CD;第 25 四象限正方形区域 OBFE 内存在沿 x 轴正方向的匀强电场。一电子以速度 v0 从 x 轴上 P 点沿 y 轴正方向射入磁场,恰以 O 点为圆心做圆周运动且刚好不 从 AC 边射出磁场;此后电子经第四象限进入第三象限,经过 y 轴时速度方向 与 y 轴负方向成 60°角,最后到达荧光屏时速度方向恰好与荧光屏平行。已知 电子的质量为 m、电荷量为 e,不计电子的重力,求: (1)P 点距 O 点的距离 d; (2)电子在电场中的运动时间 t; (3)第三象限内的磁感应强度 B2 的大小。 【答案】(1) 2 L ;(2) 0 3 3 L v ;(3) 0 2 3mvB eL  或 0 2 mvB eL  【详解】 (1)电子在区域 ABC 内以O点为圆心做匀速圆周运动,在G 点与 AC 相切,其运 动轨迹如图: 26 在 COG 中,根据几何知识有 d= sin30 2 LR L   (2)电子从 H 点进入电场做类平抛运动,设电子从OE 边离开且在电场中运动的 时间为t ,在 x 方向上有 0 tan 60xv v  根据运动学规律有 2 2 xvL t 解得 0 3 3 Lt v  (3)电子在第三象限运动时速度 0 02cos60 vv v  做匀速圆周运动有两种情况 ①若磁场方向垂直于纸面向里,设其做匀速圆周运动的轨道半径为 1r ,圆心在 1O ,根 据几何知识有 1 1 sin30r r L   27 洛伦兹力提供向心力 2 2 1 vevB m r  解得 0 2 3mvB eL  ②若磁场方向垂直于纸面向外,设其做匀速圆周运动的轨道半径为 2r ,圆心为 2O ,根据几何知识有 2 2sin30L r r   根据牛顿第二定律有 2 2 2 vevB m r  解得 0 2 mvB eL  5.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰三角形 ABC 区域内左半部分有方 向垂直纸面向外磁感应强度大小 B1=1T 的匀强磁场,右半部分有方向垂直 x 轴向下的匀强电场,边界上有磁场或电场。在 x 轴 OA 段上的 P 点(图中未 画出)有一粒子源(大小可忽略) ,能垂直 x 轴在纸面内以速度 v0(未知) 向磁场射人质量 m=2.4×10-7 kg。电荷量 q=1×10-5 C 的带正电粒子。粒子源 射出的粒子恰好不从磁场的 AC 边界射出且垂直于 y 轴射人电场,也恰好不从 电场的 BC 边界射出。已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-3 m,0)、(3 m, 0)和(0,4 m) ,不计粒子受到的重力。求: (1)P 点的坐标和粒子射入磁场的速度大小 U0; (2)匀强电场的电场强度大小 E; (3)粒子在磁场和电场中运动的总时间 t 总。 28 【答案】(1) (-2.4 m,0);100m/s;(2) 400 3E  N/C ;(3) 3 3 6 250 s  【详解】 (1)粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知 4tan tan 3    A B 粒子在磁场中运动的轨道半径 sin 2.4mr OA A   所以 P 点的坐标为(-2.4 m,0) 粒子在磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有 2 0 0 1  mvqv B r 解得 29 0 100m/sv  (2)粒子在电场中运动时,其运动轨迹恰好与 BC 相切,由几何关系可知 0 tan   atB v 2 0 1 2tan     OC r at B v t qEa m  5 21 10 m/s18a  解得 400 3E  N/C (3)粒子在磁场中运动 1 4 圆周,用时 1 4 Tt  2 0 1 2( )qv B m rT 解得 1 3 s250t  粒子在电场中沿电场方向做初速度为 0 的匀加速运动,则 2 2 1 2r at 解得 2 3 6 s250t  所以粒子在磁场和电场中运动的总时间 1 2 3 3 6 s250t t t     6.如图 1 所示,水平直线 MN 上方有竖直向下的匀强电场,场强 33 10 N / CE   , 30 MN 下方有垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度 B 随时间 t 周期性变化的规律 如图 2 所示,规定垂直纸面向外为磁场正方向,在 0t  时,将一带正电的粒子 从电场中的 O 点处由静止释放,在 51 10 st   时通过 MN 上的 P 点进入磁场, 经过一段时间后,粒子最终打在足够大的挡板上。已知挡板位于 P 点左侧且 垂直于 MN,挡板与 P 点间的距离为 100cm;粒子的比荷 610 C / kgq m      ,不计 粒子的重力;计算中取 3  。 (1)求粒子从 P 点进入磁场时速度的大小; (2)在 51 10 st   至 52 10 s 时间内,求粒子运动的轨道半径和周期; (3)求粒子从 O 点出发运动到挡板所需的时间。 【答案】(1)3×104m/s;(2)20cm;4×10-5s;(3)1.3×10-4s。 【详解】 (1)电荷在电场中做匀加速直线运动,则 qE=ma v0=at1 解得 6 3 5 41 0 10 3 10 1 10 m/s 3 10 m/sqEtv m       = (2)电荷在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力 31 2vqvB m r  解得 mvr qB  在 t=1×10-5s 至 2×10-5s 时间内,B1=0.15T 时,半径 4 60 1 1 3 101 10 m 0.2m=20cm0.15 mvr qB    = = 周期 5 5 1 6 2 2 3 s 4 10 s 4 10 s10 0.15 mT qB         = = (3)当 B2=0.30T 时,半径 4 0 2 6 2 3 10 m 0.1m10 0.30 mvr qB    = = 周期 5 2 6 2 2 2 3 s 2 10 s10 0.30 mT qB      = = 故电荷从 t=0 时刻开始做周期性运动,其运动轨迹如图所示。 从 t=0 到 t2=4×10-5s 时间内,电荷先沿直线 OP 运动 t1,再沿大圆轨迹运动 1 4 T , 紧接着沿小圆轨电荷从 P 点开始的运动周期 T=6×10-5s,且在每一个 T 内向左 沿 PM 移动 s1=2r1=40cm,电荷到达挡板前经历了 2 个完整周期,沿 PM 运动 32 距离 s=2s1=80cm,最后 d-s=20cm 内电荷正好运动 1 4 T 垂直撞击挡板。 则电荷从 O 点出发运动到挡板所需的时间 t 总=t1+2T+ 1 4 T 解得 t 总=1.3×10-4s 7.如图所示,光滑平台处于水平向右的匀强电场中(图中区域 I),其场强 1 2 mgE q  , 区域 II 存在场强未知的竖直向上的匀强电场 2E ,区域 III 存在场强未知的竖 直向上的匀强电场 3E 和垂直纸面向外的匀强磁场,一质量为 m、带电量为 q 的 小球从 A 点无初速度释放,AO 距离为 L, 1OO 的距离也为 L。小球恰经过 1O 点 上方 2 L 处的 P 点再进入区域 III 做匀速圆周运动后又能无碰撞地滑上平台并刚 好回到 A 点。重力加速度为 g,求: (1)区域 III 内电场的电场强度 3E ; (2)区域 III 内匀强磁场的磁感应强度 B; (3)小球从 A 点开始至回到 A 点的运动时间 t。 【答案】(1) mg q ;(2) 2m gLqL ;(3) 24 3π 4 gLg  【详解】 33 根据题意,做出小球的运动轨迹示意如图所示 (1)小球在区域 III 做匀速圆周运动,则: 3 0qE mg  解得: 3 mgE q  (2)小球在区域 I 内做匀加速运动,设到达 O 点时速度为 0v 由动能定理有: 2 1 0 1 2qE L mv 得出 0v gl 小球从 O 到 P 做类平抛运动,设经过时间 2t 到达 P 点,速度为 v,有: 0 2L v t 2qE mg ma  2 2 1 2 2 L at 得出 2 lt g  , 2 2mgE q  由动能定理得: 34   2 2 2 0 1 1 2 2 2 LqE mg mv mv   设小球从 1O N 边界进入区域 III 时速度与 1O N 的夹角为θ,有 0 sin vv 得出 2sin 2   , 2v gl 小球在区域 III 内做匀速圆周运动,有: 2vqvB m R  得出 22 sin 2 L R L  得: 2mB gLqL  (3)根据题意:从 A 到 O,小球做匀加速运动,有: 0 1 1v a t 1 1qE ma 得出 1 2 lt g  小球在区域 III 内做匀速圆周运动有: 2πRT v  3 2π 2 2πt T 得出 35 3 3π 4 lt g  对小球运动全程,有: 1 2 32 2t t t t   得: 24 3π 4t gLg  8.人类研究磁场的目的之一是为了通过磁场控制带电粒子的运动,某控制带电 粒子运动的仪器原理如图所示,区域 PP′M′M 内有竖直向下的匀强电场,电 场场强为 E=1×103V/m,宽度为 d=0.05m,长度为 L=0.40m;区域 MM′N′N 内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B=2.5×10-2T,长度也为 L=0.40m, 磁场宽度足够。比荷为 81 10 C/kgq m   的带正电的粒子以水平初速度从 P 点射入 电场。边界 MM′不影响粒子的运动,不计粒子重力。 (1)若带电粒子以水平初速度v0=8×105m/s从P点射入电场后,求粒子从PP′M′M 区域射出的位置; (2)当带电粒子射入电场的水平初速度为多大时,粒子只进入磁场一次就恰好垂 直 P′N′边界射出。 36 【答案】(1) P′下方,0.0125m;(2) 53.6 10 m/s 【详解】 (1)假设粒子以水平速度从 P 点射入电场后,做类平抛运动从 M′M 边界飞出, 由牛顿第二定律可得 11 21 10 m/sqEa m    竖直方向由位移公式可得 21 2d at 联立解得 t=1×10-6s 水平方向做匀速运动 x=v0t=0.8m x=0.8m>L=0.4m 所以假设不成立,粒子从 P′M′边射出,假设粒子从 P′点下方 y 处射出 0L v t 2 1 1 2y at 联立可得 2 0 1 2 Ly a v       =0.0125 m (2)同第一问原理可得:粒子在电场中做类平抛运动的水平位移 x=v0t 即在 t=1×10-6s 粒子进入磁场时,垂直边界的速度 vy=at 设粒子进入磁场时的速度与磁场边界之间的夹角为α,则粒子进入磁场时的速 度 37 sin sin yv atv    在磁场中由牛顿第二定律可得 2vqvB m R  得 mvR qB  分情况讨论,第一种情况粒子第一次进入磁场后,垂直边界 M′N′从磁场射出, 如图 1 所示必须满足 1 sinx R L  联立解得 01 matv t LqB   得 5 01 3.6 10 m/sv   第二种情况,粒子第一次进入磁场后,垂直边界 P′M′从电场射出,如图 2 所 示,必须满足 22( sin )x R L  联立解得 38 022( )matv t LqB   得 5 02 1.6 10 m/sv   9.如图所示,平行金属板 MN 水平放置,板间距为 d,板长为 2d ,板间接有恒 定电压,两板间电场可看做匀强电场,且两板外无电场。紧邻金属板右侧有 垂直纸面向里的匀强磁场,边界线为 CD.线状离子源均匀发射出大量比荷为 k 的粒子,粒子以相同的速度由板的左侧进入板间,粒子速度方向与板平行, 若有 50%的粒子能从板间射出,不计粒子间的相互作用及粒子重力。 (1)求两极板所加电压 U 的大小; (2)射出的粒子经磁场偏转后能全部回到板间,求磁感应强度 B 的最小值。 【答案】(1) 2 0 4 vU k  ;(2) 0 min 4vB kd  【详解】 解:(1)粒子在板间做类平抛运动,有 02d v t 21 2 2 d at qUa md  39 解得 2 0 4 vU k  (2)如图所示,设粒子以速度 v 进入磁场,速度偏转角为 , 则 yv at 0 tan yv v   0 cos vv  由几何关系 2 cos 2 dR   2mvqvB R  由以上各式解得 0 min 4vB kd  10.如图所示,直角坐标系 xOy 中,矩形 MNOA区域分布有沿 x 轴正方向的匀强电 场,场强大小为 E ,三角形 AOC 区域分布有垂直纸面向外的匀强磁场,N 、A 分别为 x 、y 轴上的两点,ON 、AC 长均为 L , 30AOC   。在边界 NM 上0 3y L  范围内均匀分布着大量相同的带正电粒子,质量为 m ,电荷量为q,它们持续 不断地飘入电场并从静止开始加速运动,然后进入磁场。已知从 y 轴上 P 点(图 中未画出)进入磁场的粒子刚好垂直OC 边界离开磁场,且 3 4OP L ,不计带 40 电粒子的重力,不考虑带电粒子之间的相互作用,试求: (1)磁场的磁感应强度大小 B ; (2)带电粒子在电场和磁场中运动的最长时间 mt ; (3) x 轴上有带电粒子打到的区域范围。 【答案】(1) 4 6 3 Em qL ;(2) 2 63 6 Lm Lm Eq Eq  ;(3) 30 2 Lx  【详解】 (1)由几何关系可知,OP 长为 3 4 L , 经过 P 点的粒子速度垂直边界OC ,可知 轨迹圆心在O点,半径为 3 4 Lr  在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力,有 2vqvB m r  电场中,根据牛顿第二定律,有 Eqa m  2v aL 41 联立,可解得 4 6 3 EmB qL  (2)从 M 点进入的带电粒子在电场和磁场中运动的时间最长 在电场中运动的时间 1 2 23 3L Lmt a Eq   粒子在磁场中做圆周运动的周期 2 6 4 r LmT v Eq    在磁场中运动的时间 2 2 6 3 6 Lmt T Eq   所以,带电粒子在电场和磁场中运动的最长时间为 1 2 2 63 6 Lm Lmt t t Eq Eq     (3)如图所示,设粒子从Q 点进入磁场的运动轨迹的圆心为 1O ,圆心角为 ,经 过边界OC 上的点 1S ,然后做匀速直线运动,交 x 轴于点 2S , 由几何关系在 1 2OS S 中, 2 1OS S   根据正弦定理 2 1 1 2sin sin OS OS OS S  42 在 1 1O OS 中,根据正弦定理 1 sin30 sin sin r OS     可得 2 1 2 3 sin sin30 2 OS r L OS S   2 1 2 3 sin2 LOS OS S  由于 1 20 120OS S    所以 2 30 2 LOS  即 x 轴上有带电粒子通过的区域范围为 30 2 Lx  11.如图所示,直线 OA 与 x 轴正方向夹角为 37°,OA 上方与 y 轴之间有垂直 xoy 平面向外的匀强磁场 B2;OA 下方与直线 x=d 左侧之间有沿 y 轴负方向的 匀强电场,电场强度 44 10 V/m3E   ,另有一半径 R=1m 的圆形匀强磁场区域, 磁感应强度 B1=0.2T,方向与 B2 相同,该圆与直线 x=d 和 x 轴均相切,且与 x 轴相切于 S 点。一带负电的粒子从 S 点沿 y 轴的正方向以速度 v0 进入圆形 磁场区域,经过一段时间进入磁场区域 B2,且第一次进入磁场 B2 时的速度方 向与直线 OA 垂直。粒子速度大小 v0=1.0×105m/s,粒子的比荷为 5= 5.0 10 C/kgq m   ,粒子重力不计。求:(计算结果均保留三位有效数字) 43 (1)粒子在圆形匀强磁场 B1 中运动的时间 t1; (2)坐标 d 的值; (3)要使粒子打不到 y 轴上,磁感应强度 B2 应满足的条件。 【答案】(1) -51.57 10 s ;(2)5.11m;(3)B2>0.193T 【详解】 (1)在磁场 B1 中,洛伦兹力提供向心力,则有 2 1 vqvB m r  1 1mr R  轨迹恰为四分之一圆,则有 2 rT v  -5 1 1 2 = =1.57 10 s4 4 2 T m mt qB qB      (2)在电场中做类平抛运动,则有竖直方向速度 50 y 4 10 m/stan37 3 vv    竖直方向做匀加速做直线运动,则有 y qEv tm  又根据 0x v t 44 y0 2 vy t  联立解得坐标 d 的值 1tan37 46 m 5.11mtan37 9 x y rd       (3)进入磁场 B2 的速度为 50 1 5 10 m/ssin37 3 vv    当带电粒子与 y 轴相切时,圆周半径 2 1 2 35 mcos37 sin37 9 r y rr     联立解得 2 140 m81r  洛伦兹力提供向心力 2 1 2 vqvB m r  要使粒子打不到 y 轴上,所以 2 0.193TB  12.如图所示,光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内,半径 R=0.8 m,与长 l=2.0 m 的绝缘水平面 CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和 匀强磁场,电场强度 E=20 N/C,方向竖直向上,磁场的磁感应强度 B=1.0 T, 方向垂直纸面向外。将质量为 m=2. 0 × 10-6 kg、带电量 q=1.0 × 10-6 C 的带正电 小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放,最后落在地面上的 P 点。已知小球 a 在 水平面 CD 上运动时所受的摩擦阻力 f = 0.1mg, 3PN ND 。取 g=10 m/s2 , 求(结果可带根号): (1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小; 45 (2)水平面 CD 离地面的高度 h; (3)从小球 a 开始释放到落地前瞬间的整个运过程中系统损失的机械能 E 。 【答案】(1) 2 3 m sDv  ;(2) 2 3mh  ;(3) 57.3 10 JE    【详解】 (1)设小球 a 运动到 D 点时的速度为 vD,从小球 a 释放至 D 点,由动能定理得 21 02 DmgR fl mv   解得 2 3 m sDv  (2)小球 a 进入复合场后,满足 Eq mg 小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,如图所示 根据牛顿第二定律得 2 D D vqBv m r  又因为 3PN ND ,由图可知 2r h ,联立解得 2 3mh  46 (3)系统损失的机械能为 2 51( ) 7.3 10 J2 DE mg R h mv       13.如图所示.ABC 是固定在竖直平面内的绝缘圆弧轨道,圆弧半径为 R,A 点 与圆心 O 等高,B、C 点处于竖直直径的两端,PA 是一段绝缘的竖直圆管, 两者在 A 点平滑连接,整个装置处于方向水平向右的匀强电场中,一质量为 m、电荷量为+q 的小球从管内与 C 点等高处 P 由静止释放,一段时间后小球 离开圆管进人圆弧轨道运动。已知匀强电场的电场强度 3 4 mgE q  (g 为重力加速 度),小球运动过程中的电荷量保持不变,忽略圆管和轨道的摩擦眼力,求(计 算结果可带根号): (1)小球从释放到 A 经历的时间; (2)小球到达 B 点时速度的大小; (3)小球到达 B 点时对圆弧轨道的压力大小。 【答案】(1) 2Rt g  ;(2) 11 2Bv gR ;(3)13 2 mg 【详解】 (1)小球释放后有 21= 2R gt 得 47 2Rt g  (2)小球从 P 运动到 B 的过程中,由动能定理得 212 02 Bmg R EqR mv    解得 11 2Bv gR (3)小球在最低点 B 时,根据牛顿第二定律得 2 N BvF mg m R   解得 N 13 2F mg 则由牛顿第三定律得小球对圆弧轨道的压力大小为13 2 mg 14.如图所示,在水平面上,平放一半径为 R 的光滑半圆管道,管道处在方向竖 直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中,另有一个质量为 m、带电量为+q 的小 球。 (1)当小球从管口沿切线方向以速度 v0 射入时,求小球对管道侧壁的作用力大 小; (2)现把管道固定在竖直面内,且两管口等高,磁场仍保持和管道平面垂直,如 图所示,空间再加一个水平向右、场强 E= mg q 的匀强电场(未画出),若小球 仍以 v0 的初速度沿切线方向从左边管口射入,求小球在管道运动全程中获得的 最大速度。 48 【答案】(1) 2 0 0 mv qv BR + ;(2) 2 2 2 2 (2 2 2)q B R gRm   【详解】 (1)当小球从管口沿切线方向以速度 v0 射入时,对小球进行受力分析得 =N F F 洛伦兹力 向 即 2 0 0 vN Bqv m R   有 2 0 0 vN Bqv m R   根据牛顿第三定律可知小球对管道侧壁的作用力大小为 2 0 0 vBqv m R  ; (2)求最大速度方法一: 当小球到达管道中方位角为θ的位置(如图所示)时,应用动能定理有: mgRsinθ+Eq(R+Rcosθ)= 1 2 mv2- 1 2 mv02 即 v2= 2 2 2 2 q B R m +2gR+2gR(sinθ+cosθ) 对函数 y=sinθ+cosθ求极值,可得θ=45°时 ymax= 2 所以 49 vm= 2 2 2 2 (2 2 2)q B R gRm   求最大速度方法二: 如图所示,根据场的叠加原理,小球所受的等效重力为 mg′= 2 2( ) ( )mg Eq = 2 mg tanφ= mg Eq =1 即 φ=45° 小球在等效重力场的最低点时,即当小球到达管道中方位角为θ=φ=45°时, 速度最大。 由动能定理 mgRsinθ+qE(R+Rsinθ)= 1 2 mvm2- 1 2 mv02 解得 vm= 2 2 2 2 (2 2 2)q B R gRm   15.如图所示,绝缘直棒上的小球,其质量为 m、带电荷量是+q,小球可在棒 上滑动。将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中, 电场强度是 E,磁感应强度是 B,小球与棒间的动摩擦因数为μ,已知 mg>μqE, 则小球由静止沿棒下滑过程中(小球所带电荷量不变); (1)最大加速度是多少? (2)最大速度是多少? 50 【答案】(1) qEg m  ;(2) mg E qB B  【详解】 (1)在带电小球下滑的过程中,小球受重力、电场力、支持力、摩擦力和洛伦兹 力,受力分析如图所示。 在竖直方向 fmg F ma- = , f NF F= 水平方向 NF qvB qE= + 解得  mg qvB qEa m   随着小球速度 v 的增加,小球加速度减小。所以,小球向下做加速度逐渐减小 的加速运动,最后加速度减小到零,小球做匀速直线运动。 开始时,v=0,此时加速度最大 m qEa g m   (2)当小球匀速时,a=0,小球处于平衡状态,此时速度最大,设最大速度为 51 vm 根据平衡条件  m 0mg qv B qE   所以 m mg Ev qB B  16.如图所示,光滑四分之一圆弧轨道位于竖直平面内,半径 0.8mR  ,与长 2.0ml  的绝缘水平面CD 平滑连接。水平面右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强 磁场,电场强度方向竖直向上,磁场的方向垂直纸面向外。将质量为 62.0 10 kgm   ,带电量 61.0 10 Cq   的带正电小球 a 从圆弧轨道顶端由静止释放, 在磁场中恰好做匀速圆周运动,直接打在地面上的 P 点。已知小球 a 在水平面 CD 上运动时所受的摩擦阻力 0.1f mg , 3PN ND , 2 3mND  ,取 210m/sg  , 求: (1)小球 a 运动到 D 点时速度的大小; (2)电场强度大小; (3)磁感应强度大小。 【答案】(1)3.46m/s;(2)20N/C;(3)1T 【详解】 52 (1)设小球 a 到 D 点时的速度为 vD,从小球 a 释放至 D 点,由动能定理 21 2 DmgR fL mv  解得 vD=2 3 =3.46m/s (2)小球 a 进入复合场后 Eq=mg 解得 6 61.0 2.0 10 1 N/C 20N/C0 0 1 mgE q      (3)小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,如图所示, 由 2 D D vBv q m r  由图可知 4 3mr  解得 B=1T 17.如图甲所示,直角坐标系 xOy 位于竖直平面内且 x 轴沿水平方向,其第二象 53 限内有一对平行金属板 A、B,两板相距为 d,两板之间有方向平行于板面并 垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为 1B ,第一象限某一矩形区域 内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 2B ,第四象限存在一未 知电场。第三象限存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 3B ,在 竖直方向存在交变电场,将一个倾角为 的滑绝缘斜面放置在此空间中。已知 大量带电量均为 q 的带电粒子从平行金属板左侧沿 x 轴正方向以相同的速度 0v 飞入平行金属板 A、B 之间,稳定后,某一质量为 m 的带电离子能沿平行 金属板中心线射出,经过第一象限的磁场偏转后进入第四象限未知电场做匀 减速直线运动,恰好沿斜面进入第三象限,此时粒子速度为 0,且此后一直在 第三象限内运动,取带电粒子刚进入斜面时为 0t  时刻,电场变化如图乙所示, 电场方向竖直向上为正,场强大小为 0E ,已知 3B 的大小数值上等于 2 m q  ,且 题中 d、 1B 、 2B 、q、m、 0v 、 0E 为已知量,不计带电粒子的重力及粒子间的 相互作用,则 (1)求稳定后两金属板之间的电势差 ABU ; (2)求带电粒子在第一象限磁场中做圆周运动的半径 2r ; (3)求第一象限内磁场的最小面积与斜面倾角 的函数关系式; (4)若带电粒子在第19s内恰好没有离开斜面,19s后电场变为垂直斜面向上的 匀强电场,电场大小变为 0 3 cosθ4 E ,并在斜面末端安装一垂直斜面的荧光屏CE 。 已知小球在电场变化后的 1 s4 内打在荧光屏上,且与 C 点的距离为 0 2 cos 32 qE m   ,求 19s末带电粒子与斜面底端 C 点的距离 L(计算结果用角度关系表示)。 54 【答案】(1) 1 0ABU B dv ;(2) 0 2 2 mvr qB  ;(3) 2 2 0 2 2 2 (1 cos )m v q B  ;(4) 0 0 2 cos 3 cos 32 32 qE qE m m     【详解】 (1)粒子在第二象限的两板间沿直线运动,则满足 1 0 ABU q B v qd  解得 1 0ABU B dv (2)粒子在第一象限的矩形磁场中做匀速圆周运动,则 55 2 0 2 0 2 vB qv m r  解得 0 2 2 mvr qB  (3)第一象限的矩形磁场的最小面积 2 2 0 2 2 2 2 2 (1 cos ) (1 cos )m vS r r q B       (4)在 19s 之前电场和磁场共存时粒子没有离开斜面,粒子在刚进入第三象 限后在电场的作用下加速,电场加速度后粒子在只有磁场存在的情况下做匀速 圆周运动,则由 2 2,v RqvB m TR v   可得 3 2 1smT B q   代入数据解得 1sT  ;说明粒子在磁场单独存在的情况下做一个完整的匀速圆 周运动,然后继续电场加速,磁场完整圆周运动的情形,当粒子即将脱离斜面 时,则垂直斜面方向一定满足 3 0 cosB qv E q  在 19s 时电场的大小和方向均改变,则将粒子的速度分解为沿斜面运动的 3 4 v 和 1 4 v ,则有 3 0 3 3 cos4 4B qv qE  粒子的 3 4 v 的速度受到的洛伦兹力和电场力平衡,做沿斜面的匀速直线运动, 56 1 4 v 的速度做只受洛伦兹力的匀速圆周运动,而运动了 1 s4 打在屏幕上,因此运 动了 1 4 圆周,根据条件可得圆周运动在斜面和垂直斜面的位移相同,因此总位 移为做圆周运动的半径加匀速直线的位移,即 0 0 0 2 2 cos cos 3 cos3 1 32 4 4 32 32 qE qE qEvx m m m          18.利用磁场可以控制带电微粒的运动。如图甲所示,直角坐标系 xOy 平面内, 一个质量为 m、电荷量为 q 的带正电微粒,以初速度 v0 在 t=0 时沿+x 方向从 坐标原点 O 射入,为平衡带电微粒的重力,空间加上了匀强电场,同时施加 垂直纸面向里的磁场,磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示。经 时间 0 4 3 a v 微粒运动到 3 3( , )2 2 a a 处。重力加速度为 g。求: (1)电场强度; (2)磁感应强度大小; (3)带电微粒能否再次回到 O 点?若能,求出相邻两次通过 O 点过程中微粒通 过的路程;若不能,求带电微粒总体朝哪个方向运动,并求出朝这个方向运动 的平均速度。 【答案】(1) mg q ,方向竖直向上;(2) 0mvB qa  ;(3)能再次回到 O 点, 4 6 3s a a  【详解】 (1)对带电微粒,由平衡条件得 qE mg 57 电场强度大小为 mg q E  方向竖直向上。 (2)对带电微粒,在运动到 3 3( , )2 2 a a 的过程中,轨迹如图所示 由图可求得带电微粒在磁场作用时的运动半径 r a 此过程中,洛仑兹力提供带电微粒做圆周运动的向心力 2 0 0 vBqv m r  求得 0mvB qa  (3)带电微粒在周期性磁场作用下,运动轨迹如图所示 所以带电微粒能再次回到 O 点,它相邻两次通过 O 点的过程中带电微粒的路 58 程为 43 3 2 3 4 6 33s a a a a       19.如图甲所示,竖直面 MN 的左侧空间中存在竖直方向的匀强电场(上、下及 左侧无边界).一个质量为 m、电荷量为 q、可视为质点的带正电小球,以水 平初速度 0v 沿 PQ 向右做直线运动,Q 位于 MN 上,若小球刚经过 D 点时(t=0), 在电场所在空间叠加如图乙所示随时间做周期性变化、垂直纸面向里的匀强 磁场,使得小球再次通过 D 点时与 PQ 连线成 90°角,已知 D、Q 间的距离为 2L, 0t 小于小球在磁场中做圆周运动的周期,忽略磁场变化造成的影响,重 力加速度为 g。求: (1)电场强度 E 的大小和方向; (2) 0t 与 1t 的比值; (3)小球过 D 点后做周期性运动,则当小球运动的周期最大时,求出此时磁 感应强度 0B 的大小及运动的最大周期 mT 。 【答案】(1) mg q ,竖直向上;(2)3π:2;(3) 0mv qL , 0 (6 8) v L  【详解】 (1)不加磁场时,小球沿直线 PQ 做直线运动,有 qE=mg 解得 59 E= mg q 电场强度的方向竖直向上。 (2)小球能再次通过 D 点,其运动轨迹如下图所示 设半径为 r,做圆周运动的周期为 T,则 0 1r v t , 0 2 rT v  , 0 3 4t T 解得 0 1 3 2 t t  (3)当小球运动周期最大时,其运动轨迹应与 MN 相切,如下图所示 由几何关系得 2R=2L 由牛顿第二定律得 2 0 0 vqv B m L  解得 B0= 0mv qL 60   m 0 0 6 8 LsT v v    20.如图甲所示,竖直平面内坐标系 xOy 的 y 轴左侧有一个加速电场,电压 U=100V,y 轴右侧存在变化的磁场,磁场方向与纸面垂直,规定向里为正方 向,其随时间变化如图乙所示。若将静止的电子加速后从 y=2 10-2m 处垂直 y 轴进入磁场。已知电子的比荷 111.8 10 C/kge m   ,不计重力,不考虑磁场变化引 起的电磁影响,计算时π取 3。 (1)求电子进入磁场时的速度; (2)在坐标纸图丙上画出电子的运动轨迹,并求出电子运动轨迹的最高点和最低 点的纵坐标。 61 【答案】(1) 66 10 m/s ; (2) 最高点纵坐标值 0.04my  ,最低点纵坐标值 0.02my   【详解】 (1)根据 21 2eU mv ① 得 66 10v   m/s ② (2)在磁场中洛伦兹力充当向心力轨道半径 r 2mvevB r  ③. 周期 2 rT v  ④ 在 80 0. 5 10 s 的半径 1 0.01mR  , 8 1 1 10 sT   ⑤ 在 8 80.5 10 s 1.0 10 s   做匀速直线运动位移 s vt ⑥ 在 8 81.0 10 s 3.0 10 s   内的半径 2 0.02mR  ,周期 8 2 2 10 sT   ⑦ 在 8 83.0 10 s 3.5 10 s    内 0.03ms vt  ⑧ 在 83.5 10 s 之后与前面相同,电子的运动轨迹如图⑨ 62 电子轨迹的最高点纵坐标值 0.04my  ,最低点纵坐标值 0.02my   ⑩ 21.空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场,y 轴为两磁场的边界,磁感应强 度分别为 02B 、 03B 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点 O 沿 x 轴正向射 入磁场,速度均为 v。甲第 1 次、第 2 次经过 y 轴的位置分别为 P、Q,其轨 迹如图所示。甲经过 Q 时,乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为 m,电 荷量为 q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求: (1)Q 到 O 的距离 d; (2)甲两次经过 P 点的时间间隔 t ; (3)乙的比荷 q m   可能的最小值。 【答案】(1) 03 mvd qB  ;(2) 0 2 mt qB   ;(3) ' 2=' q q m m 【详解】 63 (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,由 2vqvB m R  得, 1 02 mvR qB  , 2 03 mvR qB  Q、O 的距离为: 1 2 0 2 2 3 mvd R R qB    (2)由(1)可知,完成一周期运动上升的距离为 d,粒子再次经过 P,经过 N 个周 期, 12 3ROPN d d    所以,再次经过 P 点的时间为 3t NT T  由匀速圆周运动的规律得 1 1 0 2 R mT v qB    , 2 2 0 2 2 3 R mT v qB    绕一周的时间为 1 2 0 5 2 2 6 T T mT qB     所以,再次经过 P 点的时间为 0 53 2 mt T qB   两次经过 P 点的时间间隔为 1 0 2 2 T mt t qB      64 (3)由洛伦兹力提供向心力,由 2vqvB m R  得, 1 0 '' 2 ' m vR q B  , 2 0 '' 3 ' m vR q B  完成一周期运动上升的距离 1 2' 2 ' 2 'd R R  若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在 Q 点相遇,则 12 ' 'R nd OQ d   , ' ' ' 1 2 1 1 2( )2 2 2 2 2 T T T T Tn     结合以上式子,n 无解。 若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在 Q 点相遇,则 'nd OQ , ' ' 1 2 1 2( )2 2 2 2 T T T Tn    计算可得 ' =' q qnm m (n=1,2,3……) 由于甲乙粒子比荷不同,则 n=2 时,乙的比荷 ' ' q m 最小,为 ' 2=' q q m m 22.某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直放置的两金属板,两板 间电压为 U,Q 板为记录板,分界面 P 将 N、Q 间区域分为宽度均为 d 的 I、 Ⅱ两部分,M、N、P、Q 所在平面相互平行,a、b 为 M、N 上两正对的小孔。 以 a、b 所在直线为 z 轴, 向右为正方向,取 z 轴与 Q 板的交点 O 为坐标原 点,以平行于 Q 板水平向里为 x 轴正方向,竖直向上为 y 轴正方向,建立空 间直角坐标系 Oxyz。区域 I、Ⅱ内分别充满沿 x 轴正方向的匀强磁场和匀强 电场,磁感应强度大小、电场强度大小分别为 B 和 E。一质量为 m,电荷量 65 为+q 的粒子,从 a 孔飘入电场(初速度视为零),经 b 孔进入磁场,过 P 面 上的 c 点(图中未画出)进入电场,最终打到记录板 Q 上。不计粒子重力。 (1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 以及 c 点到 z 轴的距离 L; (2)求粒子打到记录板上位置的 x 坐标; (3)求粒子打到记录板上位置的 y 坐标(用 R、d 表示); (4)如图乙所示,在记录板上得到三个点 s1、s2、s3,若这三个点是质子 1 1H、氚 核 3 1H 、氦核 4 2 He 的位置,请写出这三个点分别对应哪个粒子(不考虑粒子间的 相互作用,不要求写出推导过程)。 【答案】(1) 2mqUR qB  2 2 2 2mqU mUL dqB qB    ;(2) 2 2 24 2 md Ex mU qd B   ; (3) 2 2 2 2 2 dy R R d R d      ;(4)s1、s2、s3 分别对应氚核 3 1H 、氦核 4 2 He 、质子 1 1H 的位置 【详解】 (1)设粒子经加速电场到 b 孔的速度大小为 v,粒子在区域 I 中,做匀速圆周运 动对应圆心角为α,在 M、N 两金属板间,由动能定理得 qU= 1 2 mv2 ① 在区域 I 中,粒子做匀速圆周运动,磁场力提供向心力,由牛顿第二定律得 66 2vqvB m R  ② 联立①②式得 2mqUR qB  ③ 由几何关系得 2 2 2d R L R  ( ) ④ 2 2 cos R d R   ⑤ sin = d R  ⑥ 联立①②④式得 2 2 2 2mqU mUL dqB qB    ⑦ (2)设区域Ⅱ中粒子沿 z 轴方向的分速度为 vz,沿 x 轴正方向加速度大小为 a, 位移大小为 x,运动时间为 t,由牛顿第二定律得 qE=ma ⑧ 粒子在 z 轴方向做匀速直线运动,由运动合成与分解的规律得 coszv v  ⑨ zd v t ⑩ 粒子在 x 方向做初速度为零的匀加速直线运动,由运动学公式得 21 2x at ⑪ 联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得 2 2 24 2 md Ex mU qd B   ⑫ (3)设粒子沿 y 方向偏离 z 轴的距离为 y,其中在区域Ⅱ中沿 y 方向偏离的距离 67 为 y',由运动学公式得 y'=vtsinα ⑬ 由题意得 y=L+y' ⑭ 联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式 2 2 2 2 2 dy R R d R d      ⑮ (4)s1、s2、s3 分别对应氚核 3 1H 、氦核 4 2 He 、质子 1 1H的位置。 23.如图,在 0≤x≤h, y    区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场,磁感应 强度 B 的大小可调,方向不变。一质量为 m,电荷量为 q(q>0)的粒子以速 度 v0 从磁场区域左侧沿 x 轴进入磁场,不计重力。 (1)若粒子经磁场偏转后穿过 y 轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向, 并求在这种情况下磁感应强度的最小值 Bm; (2)如果磁感应强度大小为 m 2 B ,粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。 求粒子在该点的运动方向与 x 轴正方向的夹角及该点到 x 轴的距离。 【答案】(1)磁场方向垂直于纸面向里; 0 m = mvB qh ;(2) π 6   ; (2 3)y h  【详解】 (1)由题意,粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力,因此磁场方向 垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为 R,根据洛伦兹力公 68 式和圆周运动规律,有 2 0 0 vqv B m R  ① 由此可得 0mvR qB  ② 粒子穿过 y 轴正半轴离开磁场,其在磁场中做圆周运动的圆心在 y 轴正半轴上, 半径应满足 R h ③ 由题意,当磁感应强度大小为 Bm 时,粒子的运动半径最大,由此得 0 m = mvB qh ④ (2)若磁感应强度大小为 m 2 B ,粒子做圆周运动的圆心仍在 y 轴正半轴上,由 ②④式可得,此时圆弧半径为 2R h  ⑤ 粒子会穿过图中 P 点离开磁场,运动轨迹如图所示。设粒子在 P 点的运动方 向与 x 轴正方向的夹角为α, 由几何关系 1sin 2 2 h h    ⑥ 即 π 6   ⑦ 69 由几何关系可得,P 点与 x 轴的距离为 2 (1 cos )y h   ⑧ 联立⑦⑧式得 (2 3)y h  ⑨ 24.通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率(即打到探测板 上质子数与衰变产生总质子数 N 的比值),可研究中子( 1 0 n )的  衰变。中子 衰变后转化成质子和电子,同时放出质量可视为零的反中微子 eν 。如图所示, 位于 P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源,该质子源在纸面内各向均匀 地发射 N 个质子。在 P 点下方放置有长度 1.2mL  以 O 为中点的探测板,P 点 离探测板的垂直距离OP 为 a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里,磁感 应强度大小为 B 的匀强磁场。 已知电子质量 31 2 e 9.1 10 kg 0.51MeV / cm    ,中子质量 2 n 939.57MeV / cm  ,质子质 量 2 p 938.27MeV / cm  (c 为光速,不考虑粒子之间的相互作用)。 若质子的动量 21 1 8 14.8 10 kg m s 3 10 MeV s mp            。 (1)写出中子衰变的核反应式,求电子和反中微子的总动能(以 MeV 为能量 单位); (2)当 0.15ma  , 0.1TB  时,求计数率; (3)若 a 取不同的值,可通过调节 B 的大小获得与(2)问中同样的计数率, 求 B 与 a 的关系并给出 B 的范围。 70 【答案】(1) 0.7468MeV (2) 2 3 (3) 15 T40B… 【详解】 (1)核反应方程满足质量数和质子数守恒: 01 1 1 0 e0 1 1n p e ν   核反应过程中:  2 2 2 n p e 0.79MeVdE m c m c m c     根据动量和动能关系: 2 p p 0.0432MeV2k pE m   则总动能为: e ν p 0.7468MeVd kE E E E     (2)质子运动半径: 0.3mpR eB   如图甲所示: 打到探测板对应发射角度: 6    可得质子计数率为: 71 4 23 2 3     (3)在确保计数率为 2 3   的情况下: 2R a  即: 3 200B a  如图乙所示: 恰能打到探测板左端的条件为: 2 2 2 max max4 4 4 R LR   即: 15 T40B…

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