专题15 实际应用问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)
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专题15 实际应用问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)

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资料简介
【课标解读】 实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景,运用方程与不等式、函数与不等式等来解决的一类 实际生活中的问题,这类问题往往文字信息量大,背景复杂,要求学生具有较强的阅读、收集信息及建立 模型的能力,从而解决问题. 【解题策略】 实际应用问题解决的关键是理解题意,从中找出等量关系、不等关系或函数关系,建立数学模型来解 决,当信息量较大,可以借助图表等方式帮助理解. 【考点深剖】 ★考点一 方程与不等式的综合应用 【典例 1】(2018•湘潭)湘潭市继 2017 年成功创建全国文明城市之后,又准备争创全国卫生城市.某小区 积极响应,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍. (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元? (2)该小区至少需要安放 48 个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个,且费用不超过 10000 元, 请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元? 【分析】(1)根据“购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元”,建立方程求解即可得出结论; (2)根据“费用不超过 10000 元和至少需要安放 48 个垃圾箱”,建立不等式即可得出结论. (2)设购买温情提示牌 y 个(y 为正整数),则垃圾箱为(100﹣y)个, 根据题意得,意, , ∴50≤y≤52, ∵y 为正整数, ∴y 为 50,51,52,共 3 种方案; 即:温馨提示牌 50 个,垃圾箱 50 个;温馨提示牌 51 个,垃圾箱 49 个;温馨提示牌 52 个,垃圾箱 48 个, 根据题意,费用为 50y+150(100﹣y)=﹣100y+15000, 当 y=52 时,所需资金最少,最少是 9800 元.学科&网 ★考点二 函数与方程的综合应用 【典例 2】(2018•陕西•8 分)经过一年多的精准帮扶,小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质 土特产迅速销往全国,小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表: 商品 红枣 小米 规格 1kg/袋 2kg/袋 成本(元/袋) 40 38 售价(元/袋) 60 54 根据上表提供的信息,解答下列问题: (1)已知今年前五个月,小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共 3000kg,获得利润 4.2 万元,求这前 五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋; (2)根据之前的销售情况,估计今年 6 月到 10 月这后五个月,小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小 米共 2000kg,其中,这种规格的红枣的销售量不低于 600kg.假设这后五个月,销售这种规格的红枣味 x (kg),销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为 y(元),求出 y 与 x 之间的函数关系式,并求出这后 五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元. 【答案】(1)前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋,销售小米 750 袋;(2)小明家网店销售 这种规格的红枣和小米至少获得总利润 23200 元. 【详解】 (1)设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 a 袋,销售小米 b 袋, 根据题意得: ,解得: , 答:前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋,销售小米 750 袋; (2)根据题意得:y=(60-40)x+(54-38)× =12x+16000, ∵k=12>0,∴y 随 x 的增大而增大, ∵x≥600,∴当 x=600 时,y 取得最小值, 最小值为 y=12×600+16000=23200, ∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 23200 元. ★考点三 函数与不等式的应用 【典例 3】(2018•青岛)某公司投入研发费用 80 万元(80 万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公 司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为 6 元/件.此产品年销售量 y(万件) 与售价 x(元/件)之间满足函数关系式 y=﹣x+26. (1)求这种产品第一年的利润 W1(万元)与售价 x(元/件)满足的函数关系式; (2)该产品第一年的利润为 20 万元,那么该产品第一年的售价是多少? (3)第二年,该公司将第一年的利润 20 万元(20 万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产 成本降为 5 元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制, 销售量无法超过 12 万件.请计算该公司第二年的利润 W2 至少为多少万元. 【分析】(1)根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本,列出式子即可; (2)构建方程即可解决问题; (3)根据题意求出自变量的取值范围,再根据二次函数,利用而学会设的性质即可解决问题; ★考点四 函数的综合应用 【典例 4】(2018•眉山)传统的端午节即将来临,某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价 为每只 4 元,按要求在 20 天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第 x 天生产 的粽子数量为 y 只,y 与 x 满足如下关系: y= (1)李明第几天生产的粽子数量为 280 只? (2)如图,设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元,p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李 明第 x 天创造的利润为 w 元,求 w 与 x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元? (利润=出厂价﹣成本) 【分析】(1)把 y=280 代入 y=20x+80,解方程即可求得; (2)根据图象求得成本 p 与 x 之间的关系,然后根据利润等于订购价减去成本价,然后整理即可得到 W 与 x 的关系式,再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答; ①0≤x≤6 时,w=(4﹣2)×34x=68x,当 x=6 时,w 最大=408(元); ②6<x≤10 时,w=(4﹣2)×(20x+80)=40x+160, ∵x 是整数, ∴当 x=10 时,w 最大=560(元); ③10<x≤20 时,w=(4﹣0.1x﹣1)×(20x+80)=﹣2x2+52x+240, ∵a=﹣3<0, ∴当 x=﹣ =13 时,w 最大=578(元); 综上,当 x=13 时,w 有最大值,最大值为 578. ★考点五 方程、不等式、函数综合应用 【典例 5】(2018•温州)温州某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产 2 件甲或 1 件乙, 甲产品每件可获利 15 元.根据市场需求和生产经验,乙产品每天产量不少于 5 件,当每天生产 5 件时,每 件可获利 120 元,每增加 1 件,当天平均每件利润减少 2 元.设每天安排 x 人生产乙产品. (1)根据信息填表 产品种类 每天工人数(人) 每天产量(件) 每件产品可获利润 (元) 甲 15 乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元,求每件乙产品可获得的利润. (3)该企业在不增加工人的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每 天可生产 1 件丙(每人每天只能生产一件产品),丙产品每件可获利 30 元,求每天生产三种产品可获得的 总利润 W(元)的最大值及相应的 x 值. 【分析】(1)根据题意列代数式即可; (2)根据(1)中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可; (3)根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到 m 与 x 之间的关系式,用 x 表示总利润利用二次函数性质讨 论最值. (2)由题意 15×2(65﹣x)=x(130﹣2x)+550 ∴x2﹣80x+700=0 解得 x1=10,x2=70(不合题意,舍去) ∴130﹣2x=110(元) 答:每件乙产品可获得的利润是 110 元. 【讲透练活】 变式 1:(2018•重庆)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造. (1)原计划今年 1 至 5 月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 50 千米,其中道路硬化的里程数至少是 道路拓宽的里程数的 4 倍,那么,原计划今年 1 至 5 月,道路硬化的里程数至少是多少千米? (2)到今年 5 月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划 的最小值.2017 年通过政府投人 780 万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共 45 千米,每千米的道路 硬化和道路拓宽的经费之比为 1:2,且里程数之比为 2:1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经 测算:从今年 6 月起至年底,如果政府投入经费在 2017 年的基础上增加 10a%(a>0),并全部用于道路 硬化和道路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在 2017 年的基础上分别增加 a%,5a%,那么道路 硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增加 5a%,8a%,求 a 的值. 【分析】(1)根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的 4 倍,列不等式可得结论; (2)先根据道路硬化和道路拓宽的里程数之比为 2:1,设未知数为 2x 千米、x 千米,列方程可得各自的 里程数,同理可求得每千米的道路硬化和道路拓宽的经费,最后根据题意列方程,并利用换元法解方程可 得结论. 【解答】解:(1)设道路硬化的里程数是 x 千米,则道路拓宽的里程数是(50﹣x)千米, 根据题意得:x≥4(50﹣x), 解得:x≥40. 答:原计划今年 1 至 5 月,道路硬化的里程数至少是 40 千米. 由题意得:13(1+a%)•40(1+5a%)+26(1+5a%)•10(1+8a%)=780(1+10a%), 设 a%=m,则 520(1+m)(1+5m)+260(1+5m)(1+8m)=780(1+10m), 10m2﹣m=0, m1=0.1,m2=0(舍), ∴a=10. 变式 2:(2018•郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买 A、B 两种 奖品以鼓励抢答者.如果购买 A 种 20 件,B 种 15 件,共需 380 元;如果购买 A 种 15 件,B 种 10 件,共 需 280 元. (1)A、B 两种奖品每件各多少元? (2)现要购买 A、B 两种奖品共 100 件,总费用不超过 900 元,那么 A 种奖品最多购买多少件? 【分析】(1)设 A 种奖品每件 x 元,B 种奖品每件 y 元,根据“如果购买 A 种 20 件,B 种 15 件,共需 380 元;如果购买 A 种 15 件,B 种 10 件,共需 280 元”,即可得出关于 x、y 的二元一次方程组,解之即可得 出结论; (2)设 A 种奖品购买 a 件,则 B 种奖品购买(100﹣a)件,根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过 900 元,即可得出关于 a 的一元一次不等式,解之取其中最大的整数即可得出结论. 【解答】解:(1)设 A 种奖品每件 x 元,B 种奖品每件 y 元, 根据题意得: , 解得: . 答:A 种奖品每件 16 元,B 种奖品每件 4 元. (2)设 A 种奖品购买 a 件,则 B 种奖品购买(100﹣a)件, 根据题意得:16a+4(100﹣a)≤900, 解得:a≤ . ∵a 为整数, ∴a≤41. 答:A 种奖品最多购买 41 件.学科&网 变式 3:(2018·吉林长春·8 分)某种水泥储存罐的容量为 25 立方米,它有一个输入口和一个输出口.从某 时刻开始,只打开输入口,匀速向储存罐内注入水泥,3 分钟后,再打开输出口,匀速向运输车输出水泥, 又经过 2.5 分钟储存罐注满,关闭输入口,保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥,当输出的水泥总量 达到 8 立方米时,关闭输出口.储存罐内的水泥量 y(立方米)与时间 x(分)之间的部分函数图象如图所 示. (1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量. (2)当 3≤x≤5.5 时,求 y 与 x 之间的函数关系式. (3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 立方米,从打开输入口到关闭输出口共用的时间为 分 钟. 【解答】解:(1)每分钟向储存罐内注入的水泥量为 15÷3=5 分钟; (2)设 y=kx+b(k≠0) 把(3,15)(5.5,25)代入 解得 ∴当 3≤x≤5.5 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=4x+3 变式 4:(2018•十堰)为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标,我市结合本地丰富的山水资源,大力发展旅游 业,王家庄在当地政府的支持下,办起了民宿合作社,专门接待游客,合作社共有 80 间客房.根据合作社 提供的房间单价 x(元)和游客居住房间数 y(间)的信息,乐乐绘制出 y 与 x 的函数图象如图所示: (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)合作社规定每个房间价格不低于 60 元且不超过 150 元,对于游客所居住的每个房间,合作社每天需 支出 20 元的各种费用,房价定为多少时,合作社每天获利最大?最大利润是多少? 【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式; (2)根据题意可以得到利润与 x 之间的函数解析式,从而可以求得最大利润. 【解答】解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b, ,得 , 即 y 与 x 之间的函数关系式是 y=﹣0.5x+110; (2)设合作社每天获得的利润为 w 元, w=x(0.5x+110)﹣20(0.5x+110)=0.5x2+100x﹣2200=0.5(x+100)2﹣7200, ∵60≤x≤150, ∴当 x=150 时,w 取得最大值,此时 w=24050, 答:房价定为 150 元时,合作社每天获利最大,最大利润是 24050 元. 变式 5:(2018•威海)为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提供 10 万元的无息创业贷款.小 王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收 5 名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营 的利润,逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件 4 元,员工每人每月的工资为 4 千元,该网店 还需每月支付其它费用 1 万元.该产品每月销售量 y(万件)与销售单价 x(元)万件之间的函数关系如图 所示. (1)求该网店每月利润 w(万元)与销售单价 x(元)之间的函数表达式; (2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清 10 万元的无息贷款? 【解答】解:(1)设直线 AB 的解析式为:y=kx+b, 代入 A(4,4),B(6,2)得: , 解得: , ∴直线 AB 的解析式为:y=﹣x+8, 同理代入 B(6,2),C(8,1)可得直线 BC 的解析式为:y=﹣ x+5, ∵工资及其它费用为:0.4×5+1=3 万元, ∴当 4≤x≤6 时,w1=(x﹣4)(﹣x+8)﹣3=﹣x2+12x﹣35,( 当 6≤x≤8 时,w2=(x﹣4)(﹣ x+5)﹣3=﹣ x2+7x﹣23; (2)当 4≤x≤6 时, w1=﹣x2+12x﹣35=﹣(x﹣6)2+1, ∴当 x=6 时,w1 取最大值是 1,(8 分) 当 6≤x≤8 时, w2=﹣ x2+7x﹣23=﹣ (x﹣7)2+ , 当 x=7 时,w2 取最大值是 1.5, ∴ = =6 , 即最快在第 7 个月可还清 10 万元的无息贷款.

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