专题11 三角形综合问题（精练）-中考数学高频考点突破（解析版）

一、选择题（10×3=30 分） 1. 如图，在方格纸中，以 AB 为一边作 △ ABP，使之与 △ ABC 全等，从 P1，P2，P3，P4 四个点中找出符合条 件的点 P，则点 P 有 (C) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解析】 要使 △ ABP 与 △ ABC 全等，点 P 到 AB 的距离应该等于点 C 到 AB 的距离，即 3 个单位长度，故 点 P 的位置可以是 P1，P3，P4 三个． 2. 如图，▱ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件，使 △ ABE≌△CDF，则添加的条件 不能为( ) A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2 3. （2018·广西梧州·3 分）如图，在 △ ABC 中，AB=AC，∠C=70°， △ AB′C′与 △ ABC 关于直线 EF 对称，∠ CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】利用轴对称图形的性质得出 △ BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案． 4. （2018·辽宁大连·3 分）如图，将 △ ABC 绕点 B 逆时针旋转α，得到 △ EBD，若点 A 恰好在 ED 的延长线 上，则∠CAD 的度数为（ ） A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α 解：由题意可得： ∠CBD=α，∠ACB=∠EDB． ∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°． ∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α． 故选 C． 5. （2018•聊城）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在 △ ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如 果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ） A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论． 6. （2017•营口）如图，在△ABC 中，AB=AC，E，F 分别是 BC，AC 的中点，以 AC 为斜边作 Rt△ADC， 若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ECD=112.5°B．DE 平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB= CD 【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质．. 【分析】由 AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由 Rt△ ADC 中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出 AD=DC， 那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断 A 正确； 根据三角形的中位线定理得到 FE= AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠ B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到 FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换 得到 FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断 B 正确； 由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断 C 错误； 在等腰 Rt△ADC 中利用勾股定理求出 AC= CD，又 AB=AC，等量代换得到 AB= CD，从而判断 D 正 确． ∵F 是 AC 的中点，∠ADC=90°，AD=DC， ∴FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°， ∵AB=AC， ∴FE=FD， ∴∠FDE=∠FED= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣135°）=22.5°， ∴∠FDE= ∠FDC， ∴DE 平分∠FDC，故 B 正确，不符合题意； ∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°， ∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故 C 错误，符合题意； ∵Rt△ADC 中，∠ADC=90°，AD=DC， ∴AC= CD， ∵AB=AC， ∴AB= CD，故 D 正确，不符合题意． 故选 C．学科&网 7. （2017 山东滨州）如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补，若∠ MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成 立；（2）OM+ON 的值不变；（3）四边形 PMON 的面积不变；（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质． 【分析】如图作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．[来 &源:%中国@教*育#出版网] 在△POE 和△POF 中， ， ∴△POE≌△POF， ∴OE=OF， 8. （2018•杭州）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 边上，DE∥BC，与边 AC 交于点 E，连结 BE．记△ADE， △BCE 的面积分别为 S1，S2（ ） A．若 2AD＞AB，则 3S1＞2S2 B．若 2AD＞AB，则 3S1＜2S2 C．若 2AD＜AB，则 3S1＞2S2 D．若 2AD＜AB，则 3S1＜2S2 【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵如图，在△ABC 中，DE∥BC， 9. （2018•孝感）如图，△ABC 是等边三角形，△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD 于点 E， 连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AH⊥CD 交 BD 于点 H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG； ③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（ ﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求 出∠AFP 和∠FAG 度数，从而得出∠AGF 度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH 即可判断；④由∠AFG= ∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x，设 EF=a，由△ADF ≌△BAH 知 BH=AF=2x，根据△ABE 是等腰直角三角形之 BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a，证△PAF∽△ EAH 得 = ，从而得出 a 与 x 的关系即可判断． 由 AH⊥CD 且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF 和△BAH 中， ∵ ， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在 Rt△APF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x， 10. （2018•扬州）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE，CD 与 BE、 AE 分别交于点 P，M．对于下列结论： ①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【分析】（1）由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证； （2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD 即可； （3）2CB2 转化为 AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证． 【解答】解：由已知：AC= AB，AD= AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ∴MP•MD=MA•ME 所以②正确 二、填空题（6×4=24 分）. 11. 如图 22－7，已知 AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__ _(只需 写一个，不添加辅助线)． 【解析】 由已知 AB＝BC，及公共边 BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根 据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD 或 AD＝CD. 12. （2018·广西贺州·3 分）如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°，得到△A′B′C，连接 BB'，若 ∠A′B′B=20°，则∠A 的度数是 ． 13. （2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边 AB 上的中线， 将△BCD 沿直线 CD 翻折至△ECD 的位置，连接 AE．若 DE∥AC，计算 AE 的长度等于 ． 【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得 AE 的长． 【解答】解：由题意可得， DE=DB=CD= AB， ∴∠DEC=∠DCE=∠DCB， ∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°， ∴∠DEC=∠ACE， ∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°， ∴∠ACD=60°，∠CAD=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴AC=CD， ∴AC=DE， ∵AC∥DE，AC=CD， ∴四边形 ACDE 是菱形， ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°， ∴AC= ， ∴AE= ．学科&网 14. （2018•绵阳）如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE，AD 垂直相交于 O 点， 则 AB= ． 【分析】利用三角形中线定义得到 BD=2，AE= ，且可判定点 O 为△ABC 的重心，所以 AO=2OD，OB=2OE， 利用勾股定理得到 BO2+OD2=4，OE2+AO2= ，等量代换得到 BO2+ AO2=4， BO2+AO2= ，把两式相 加得到 BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出 AB 的长． 15. （2017 广西）如图，点 P 在等边△ABC 的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋 转 60°得到 P'C，连接 AP'，则 sin∠PAP'的值为 ． 【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形． 【解答】解：连接 PP′，如图， ∵线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 P'C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6， ∵△ABC 为等边三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB 和△P′CA 中 ， ∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102， ∴PP′2+AP2=P′A2， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴sin∠PAP′= = = ． 故答案为 ． 16. （2016·浙江省湖州市·3 分）如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边 BC 上 取一点 D，连结 AD，使得∠DAC=∠ACD．如图 3，将△ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED．则 BE 的长是 . A．4 B． C．3 D．2 【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得 = ，只要求出 BM、BD 即可解决问题． ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴ = ，即 = ， 三、解答题（共 46 分）. 17. 某产品的商标如图所示，O 是线段 AC，DB 的交点，且 AC＝BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角 形全等，他的思考过程是： ∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC， ∴△ABO≌△DCO. 你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你 的思考过程． 【点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS”． 【解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接 BC，由 SSS 可先得△ABC 和△DCB 全等，由全等三角形的性质，可得到∠A＝∠D，再根据∠AOB＝∠DOC， AB＝DC，由 AAS 判断得到△ABO≌△DCO. 18. 如图 1 所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为 直角边，A 为直角顶点，在 AD 左侧作等腰直角△ADF，连接 CF. (1)当点 D 在线段 BC 上时(不与点 B 重合)，线段 CF 和 BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明； (2)当点 D 在线段 BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图 2 中画出相应的图形，并说明理由． 【点拨】 可证明△ACF≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得 CF＝BD，CF⊥BD. (2)(1)的结论仍然成立． ∵∠CAB＝∠DAF＝90°， ∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠CAF＝∠BAD. 在△ACF 和△ABD 中， AC＝AB， ∠CAF＝∠BAD， AF＝AD， ∴△ACF≌△ABD(SAS)． ∴CF＝BD，∠ACF＝∠B. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∴∠BCF＝∠ACF＋∠ACB＝45°＋45°＝90°，即 CF⊥BD. 综上，CF＝BD，且 CF⊥BD. 19. （2016·山东潍坊）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F． （1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N，求证：MN= AC； （2）如图 2，将△EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE′、DF′分别与直线 AB、BC 相交于点 G、P，连 接 GP，当△DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向． 【分析】（1）连接 BD，证明△ABD 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到 AE=EB，根据相似三 角形的性质解答即可； （2）分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可． （2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°， ∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°， ∴∠EDF=60°， 当∠EDF 顺时针旋转时， 由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°， DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°， 在△DEG 和△DFP 中， ， 同理可得，当逆时针旋转 60°时，△DGP 的面积也等于 3 ，学科&网 综上所述，将△EDF 以点 D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转 60°时，△DGP 的面积等于 3 ． 20. （山东省菏泽市·3 分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE． （1）如图 1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50° ①求证：AD=BE； ②求∠AEB 的度数． （2）如图 2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，BN 为△ABE 中 AE 边上的高，试 证明：AE=2 CM+ BN． 【考点】等腰三角形的性质． 【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°， ∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°． ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD=∠BCE． ∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC=BC，DC=EC． 在△ACD 和△BCE 中，有 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC． ∵点 A，D，E 在同一直线上，且∠CDE=50°， ∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°， ∴∠BEC=130°． ∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°． （2）证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°， ∴∠CDM=∠CEM= ×（180°﹣120°）=30°． ∵CM⊥DE， ∴∠CMD=90°，DM=EM． 在 Rt△CMD 中，∠CMD=90°，∠CDM=30°， ∴DE=2DM=2× =2 CM． ∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°， ∴∠BEN=180°﹣120°=60°．