专题14 实践操作问题(精练)-中考数学高频考点突破(解析版)
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专题14 实践操作问题(精练)-中考数学高频考点突破(解析版)

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资料简介
一、选择题(10×3=30 分) 1. 如图所示,将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折,然 后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是( ) A. B. C. D. 【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下,即可很直观地呈现出来,也可仔细观察图形特点,利用 对称性与排除法求解. 2. (扬州)如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=6.将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三角形,所有剪法 中剩余部分面积的最小值是( ) A、6 B、3 C、2.5 D、2 【解答】解:如图以 BC 为边作等腰直角三角形 △ EBC,延长 BE 交 AD 于 F,得 △ ABF 是等腰直角三角形, 作 EG⊥CD 于 G,得 △ EGC 是等腰直角三角形, 在矩形 ABCD 中剪去 △ ABF, △ BCE, △ ECG 得到四边形 EFDG,此时剩余部分面积的最小=4×6﹣ ×4×4 ﹣ ×3×6﹣ ×3×3=2.5. 故选 C. 3. (2018•嘉兴•3 分)将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平 行于底边的虚线 剪去一个角,展开铺平后的图形是( ) A. (A) B.(B) C. (C) D. (D) 4. (2016•曲靖)如图,C,E 是直线 l 两侧的点,以 C 为圆心,CE 长为半径画弧交 l 于 A,B 两点,又分 别以 A,B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接 CA,CB,CD,下列结论不一定正 确的是( ) A、CD⊥l B、点 A,B 关于直线 CD 对称 C、点 C,D 关于直线 l 对称 D、CD 平分∠ACB 5. (2018•海南•3 分)如图 1,分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC,EG 剪开,拼成 如图 2 所示的▱KLMN,若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形,且▱KLMN 的面 积为 50,则正方形 EFGH 的面积为( ) A.24 B.25 C.26 D.27 【分析】如图,设 PM=PL=NR=AR=a,正方形 ORQP 的边长为 b,构建方程即可解决问题; 【解答】解:如图,设 PM=PL=NR=AR=a,正方形 ORQP 的边长为 b. 由题意:a2+b2+(a+b)(a﹣b)=50, ∴a2=25, ∴正方形 EFGH 的面积=a2=25, 故选:B. 6. 有若干张面积分别为 a2、b2、ab 的正方形和长方形纸片,阳阳从中抽取了 1 张面积为 a2 的正方形纸片, 4 张面积为 ab 的长方形纸片,若他想拼成一个大正方形,则还需要抽取面积为 b2 的正方形纸片( ) A.2 张 B.4 张 C.6 张 D.8 张 7. 如图,在一张 △ ABC 纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线 DE 剪开,计划拼 出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有两个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形 一定能被拼成的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】将该三角形剪成两部分,拼图使得 △ ADE 和直角梯形 BCDE 不同的边重合,即可解题. 【解答】解:①使得 BE 与 AE 重合,即可构成邻边不等的矩形,如图: ∵∠B=60°, ∴AC= BC, ∴CD≠BC.学科&网 ②使得 CD 与 AD 重合,即可构成等腰梯形,如图: ③使得 AD 与 DC 重合,能构成有两个角为锐角的是菱形,如图: 故计划可拼出①②③. 故选 C 8. 如图,在一张三角形纸片 ABC 中,∠C=90°,∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线 DE 剪开, 计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有两个角为锐角的菱形;④正方形.那么以 上图形一定能被拼出的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ②把 △ ADE 以 AD 为对称轴作轴对称变换,再向下平移 DC 的长度,即可构成等腰梯形,如解图②. ③把 △ ADE 绕点 D 旋转 180°,即可构成有两个角为锐角的菱形,如解图③. ④正方形无法拼成. 9. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,且 AE=1 3AB,将矩形沿直线 EF 折叠,点 B 恰 好落在 AD 边上的点 P 处,连结 BP 交 EF 于点 Q,有下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ; ④△PBF 是等边三角形.其中正确的是(D) A.①② B.②③ C.①③ D.①④ ∴BE=2EQ. ∵EF=2BE,EQ+FQ=4EQ,∴FQ=3EQ,故③错误; 由翻折的性质,得∠EFP=∠EFB=30°, ∴∠BFP=30°+30°=60°. 又∵∠PBF=90°-∠EBQ=90°-30°=60°, ∴△PBF 是等边三角形,故④正确.综上所述,正确的结论是①④. 10. 如图,直角三角形纸片 ABC 中,AB=3,AC=4,D 为斜边 BC 中点,第 1 次将纸片折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕与 AD 交于点 P1;设 P1D 的中点为 D1,第 2 次将纸片折叠,使点 A 与点 D1 重合,折痕与 AD 交于点 P2;设 P2D1 的中点为 D2,第 3 次将纸片折叠,使点 A 与点 D2 重合,折痕与 AD 交于点 P3;…;设 Pn﹣1Dn﹣2 的中点为 Dn﹣1,第 n 次将纸片折叠,使点 A 与点 Dn﹣1 重合,折痕与 AD 交于点 Pn(n>2),则 AP6 的长为( ) A. B. C. D. 【分析】先写出 AD、AD1、AD2、AD3 的长度,然后可发现规律推出 ADn 的表达式,继而根据 APn= ADn 即可得出 APn 的表达式,也可得出 AP6 的长. 二、填空题(6×4=24 分). 11. 如图,在 △ ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,∠B=50°.现将 △ ADE 沿 DE 折叠,使点 A 落在三 角形所在平面内的点 A1 处,则∠BDA1 的度数为 °. 【解析】∵DE 为 △ ABC 的中位线,∴DE∥BC,∴∠ADE=50°.由折叠的性质,得∠A1DE=∠ADE=50°.∴ ∠BDA1=180°-∠ADE-∠A1DE=180°-50°-50°=80°. 12. 如图,边长为 m+4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形,若拼 成的矩形一边长为 4,则另一边长为 2m+4 . 【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积,列式整理即可得解. 【解答】解:设拼成的矩形的另一边长为 x, 则 4x=(m+4)2﹣m2=(m+4+m)(m+4﹣m), 解得 x=2m+4. 故答案为:2m+4.学科&网 13. (山东省东营市·4 分)如图,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知折痕 AE =5 5cm, 且 tan∠EFC=3 4 ,那么矩形 ABCD 的周长_____________cm. 14. 在 Rt △ ABC 中,∠A=90°,AB=3 cm,AC=4 cm,以斜边 BC 上距离 B 点 3 cm 的点 P 为中心,把这个 三角形按逆时针方向旋转 90°得到 Rt △ DEF,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 cm2. 【解析】设 DF 与 AC,BC 分别交于点 R,Q,过点 P 作 PM⊥QR 于点 M,作 PN⊥AC 于点 N,易得四边形 PMRN 为正方形,重叠部分的面积和正方形 PMRN 的面积相等,易得 △ CPN∽△CBA,∴PN BA =CP CB ,即PN 3 = 2 5 ,∴PN=6 5(cm), ∴正方形 PMRN 的面积为36 25 cm2,故重叠部分的面积为36 25 cm2. 15. 如图①所示,用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板,恰好能拼成如图②所示的四边形 ABCD, 如果 AE=4,CE=3BE,那么这个四边形的面积是 . 16. (2018·辽宁大连·3 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,点 E 为 AD 上一点,且∠ABE=30°,将 △ ABE 沿 BE 翻折,得到 △ A′BE,连接 CA′并延长,与 AD 相交于点 F,则 DF 的长为 . 解:如图作 A′H⊥BC 于 H. ∵∠ABC=90°,∠ABE=∠EBA′=30°,∴∠A′BH=30°,∴A′H= BA′=1,BH= A′H= ,∴CH=3﹣ . ∵△CDF∽△A′HC,∴ = ,∴ = ,∴DF=6﹣2 . 故答案为:6﹣2 . 三、解答题(共 46 分). 17. 某市要在一块平行四边形 ABCD 的空地上建造一个四边形花园,要求花园所占面积是▱ABCD 面积的一 半,并且四边形花园的四个顶点作为出入口,要求分别在▱ABCD 的四条边上,请你设计两种方案: 方案(1): 如图(1)所示,两个出入口 E、F 已确定,请在图(1)上画出符合要求的四边形花园,并简要说明画法; 方案 (2):如图(2)所示,一个出入口 M 已确定,请在图(2)上画出符合要求的梯形花园,并简要说明画法. 【分析】 本题属于开放性试题,不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD 面积的一半,作 平行线是解题的关键,因为平行线间的距离处处相等. 画法 3:如图 3(1)在 AD 上取一点 H,使 DH=CF;(2)在 CD 上任取一点 G 连接 EF、FG、GH、HE,则四 边形 EFGH 就是所要画的四边形. 方案(2)画法:如图 4:(1)过 M 点作 MP∥AB 交 AD 于点 P,(2)在 AB 上取一点 Q,连接 PQ, (3)过 M 作 MN∥PQ 交 DC 于点 N,连接 QM、PN、MN 则四边形 QMNP 就是所要画的四边形.(本题答案 不唯一,符合要求即可) 18. (2018•江苏无锡•10 分)如图,平面直角坐标系中,已知点 B 的坐标为(6,4). (1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线 AC,它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C,且 使∠ABC=90°, △ ABC 与 △ AOC 的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕 迹.) (2)问:(1)中这样的直线 AC 是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出 所有这样的直 线 AC,并写出与之对应的函数表达式. 【解答】(1)解:如图 △ ABC 即为所求; (2)解:这样的直线不唯一. ①作线段 OB 的垂直平分线 AC,满足条件,此时直线的解析式为 y=﹣ 3 2 x+ 13 2 ②作矩形 OA′BC′,直线 A′C′,满足条件,此时直线 A′C′的解析式为 y=﹣ 2 3 x+4.学科&网 19. (2018 济宁)在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛(如图所示) 面积的方法,现有以 下工具;①卷尺;②直棒 EF;③T 型尺(CD 所在的直线垂 直平分线段 AB). (1)在图 1 中,请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹,不写 画法); (2)如图 2,小华说:“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积, 具体做法如下: 将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M,N 之间的距离, 就可求出环形花坛的 面积”如果测得 MN=10m,请你求出这个环形花坛的面积. 【解答】解:(1)如图点 O 即为所求; 20. (2018 黑龙江龙东)(8.00 分)如图,在 Rt △ BCD 中,∠CBD=90°,BC=BD,点 A 在 CB 的延长线上, 且 BA=BC,点 E 在直线 BD 上移动,过点 E 作射线 EF⊥EA,交 CD 所在直线于点 F. (1)当点 E 在线段 BD 上移动时,如图(1)所示,求证:BC﹣DE= DF. (2)当点 E 在直线 BD 上移动时,如图(2)、图(3)所示,线段 BC、DE 与 DF 又有怎样的数量关系? 请直接写出你的猜想,不需证明. 【解答】(1)证明:如图 1 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE. ∵BC=AB=BD,BE=BH, ∴AH=ED, ∵∠AEF=∠ABE=90°, ∴∠AEB+∠FED=90°,∠AEB+∠BAE=90°, ∴∠FED=∠HAE, ∵∠BHE=∠CDB=45°, ∴∠AHE=∠EDF=135°, ∴△AHE≌△EDF, ∴HE=DF, ∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE= EH= DF. ∴BC﹣DE= DF. (2)解:如图 2 中,在 BC 上截取 BH=BE,同法可证:DF=EH. 可得:DE﹣BC= DF. 如图 3 中,在 BA 上截取 BH,使得 BH=BE.同法可证:DF=HE, 可得 BC+DE= DF. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用 辅助线,构造全等三角形解决问题. 21. (2018 山东日照)(13 分)问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三 角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图 1,在 Rt △ ABC 中,∠ ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC= AB. 探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究. (1)如图 1,连接 AB 边上中线 CE,由于 CE= AB,易得结论:①△ACE 为等边三角形;②BE 与 CE 之 间的数量关系为 . (2)如图 2,点 D 是边 CB 上任意一点,连接 AD,作等边 △ ADE,且点 E 在∠ACB 的内部,连接 BE.试 探究线段 BE 与 DE 之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明. (3)当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段 BE 与 DE 之间存在怎样的数量关 系?请直接写出你的结论 . 拓展应用:如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(﹣ ,1),点 B 是 x 轴正半轴上的一动 点,以 AB 为边作等边 △ ABC,当 C 点在第一象限内,且 B(2,0)时,求 C 点的坐标. 【解答】解:探究结论(1)如图 1 中, ∵∠ACB=90°,∠B=30°, ∴∠A=60°, ∵AC= AB=AE=EB, ∴△ACE 是等边三角形, ∴EC=AE=EB, 故答案为 EC=EB. (2)如图 2 中,结论:ED=EB. 理由:连接 PE. (3)当点 D 为边 CB 延长线上任意一点时,同法可证:ED=EB, 故答案为 ED=EB. 拓展应用:如图 3 中,作 AH⊥x 轴于 H,CF⊥OB 于 F,连接 OA. ∵A(﹣ ,1), ∴∠AOH=30°, 由(2) 可知,CO=CB, ∵CF⊥OB, ∴OF=FB=1, ∴可以假设 C(1,n), ∵OC=BC=AB, ∴1+n2=1+( +2)2, ∴n=2+ , ∴C(1,2+ ).学科&网

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