专题16 函数几何问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)
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专题16 函数几何问题(精讲)-中考数学高频考点突破(解析版)

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资料简介
【课标解读】 函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透,中考压轴题中函数之二次 函数的几何应用问题,主要是解答题,常见问题有以三角形为背景问题,以四边形为背景问题和以圆为背 景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。 【解题策略】 从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论 【考点深剖】 ★考点一 以三角形为背景的函数综合题 【典例 1】(2018•山东枣庄•10 分)如图 1,已知二次函数 y=ax2+ x+c(a≠0)的图象与 y 轴交于点 A(0, 4),与 x 轴交于点 B、C,点 C 坐标为(8,0),连接 AB、AC. (1)请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c 的表达式; (2)判断△ABC 的形状,并说明理由; (3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标; (4)如图 2,若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B、C 重合),过点 N 作 NM∥AC,交 AB 于点 M,当△AMN 面 积最大时,求此时点 N 的坐标. (4)设点 N 的坐标为(n,0),则 BN=n+2,过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D,根据三角形相似对应边成比例求得 MD= (n+2),然后根据 S△AMN=S△ABN﹣S△BMN 得出关于 n 的二次函数,根据函数解析式求得即可. 【解答】解:(1)∵二次函数 y=ax2+ x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 B、C,点 C 坐标 为(8,0), ∴ , 解得 . ∴抛物线表达式:y=﹣ x2+ x+4; (3)∵A(0,4),C(8,0), ∴AC= =4 , ①以 A 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(﹣8,0), ②以 C 为圆心,以 AC 长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(8﹣4 ,0)或(8+4 ,0) ③作 AC 的垂直平分线,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(3,0), 综上,若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,点 N 的坐标分别为(﹣8, 0)、(8﹣4 ,0)、(3,0)、(8+4 ,0). (4)如图 , 设点 N 的坐标为(n,0),则 BN=n+2,过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D, ∴MD∥OA, ∴△BMD∽△BAO, ∴ = , ∵MN∥AC ∴ = , ∴ = , ∴当△AMN 面积最大时,N 点坐标为(3,0).学科&网 ★考点二 以四边形为背景的函数综合题 【典例 2】(2018·山东威海·12 分)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于点 A(﹣4,0),B(2, 0),与 y 轴交于点 C(0,4),线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D,与 x 轴交于点 F,与 BC 交于点 E, 对称轴 l 与 x 轴交于点 H. (1)求抛物线的函数表达式; (2)求点 D 的坐标; (3)点 P 为 x 轴上一点,⊙P 与直线 BC 相切于点 Q,与直线 DE 相切于点 R.求点 P 的坐标; (4)点 M 为 x 轴上方抛物线上的点,在对称轴 l 上是否存在一点 N,使得以点 D,P,M.N 为顶点的四边形 是平行四边形?若存在,则直接写出 N 点坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)∵抛物线过点 A(﹣4,0),B(2,0) ∴设抛物线表达式为:y=a(x+4)(x﹣2) 把 C(0,4)带入得 4=a(0+4)(0﹣2) ∴a=﹣ ∴抛物线表达式为:y=﹣ (x+4)(x﹣2)=﹣ x2﹣x+4 (2)由(1)抛物线对称轴为直线 x=﹣ =﹣1 ∵线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D ∴点 D 在对称轴上 设点 D 坐标为(﹣1,m) 过点 C 做 CG⊥l 于 G,连 DC,DB ∴DC=DB 在 Rt△DCG 和 Rt△DBH 中 ∵DC2=12+(4﹣m)2,DB2=m2+(2+1)2 ∴12+(4﹣m)2=m2+(2+1)2 解得:m=1 ∴点 D 坐标为(﹣1,1) 设⊙P 的半径为 r,⊙P 与直线 BC 和 EF 都相切 如图: ①当圆心 P1 在直线 BC 左侧时,连 P1Q1,P1R1,则 P1Q1=P1R1=r1 ∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90° ∴四边形 P1Q1ER1 是正方形 ∴ER1=P1Q1=r1 ②同理,当圆心 P2 在直线 BC 右侧时, 可求 r2= ,OP2=7 ∴P2 坐标为(7,0) ∴点 P 坐标为( ,0)或(7,0) (4)存在 当点 P 坐标为( ,0)时, ①若 DN 和 MP 为平行四边形对边,则有 DN=MP 当 x= 时,y=﹣ ∴DN=MP= ∴点 N 坐标为(﹣1, ) ②若 MN、DP 为平行四边形对边时,M、P 点到 ND 距离相等 则点 M 横坐标为﹣ 则 M 纵坐标为﹣ 由平行四边形中心对称性可知,点 M 到 N 的垂直距离等于点 P 到点 D 的垂直距离 当点 N 在 D 点上方时,点 N 纵坐标为 此时点 N 坐标为(﹣1, ) 当点 N 在 x 轴下方时,点 N 坐标为(﹣1,﹣ ) 当点 P 坐标为(7,0)时,所求 N 点不存在. 故答案为:(﹣1, )、(﹣1, )、(﹣1,﹣ )。学科&网 ★考点三 以相似三角形为背景的函数综合题 【典例 3】(2018·湖南省常德·10 分)如图,已知二次函数的图象过点 O(0,0).A(8,4),与 x 轴交于 另一点 B,且对称轴是直线 x=3. (1)求该二次函数的解析式; (2)若 M 是 OB 上的一点,作 MN∥AB 交 OA 于 N,当△ANM 面积最大时,求 M 的坐标; (3)P 是 x 轴上的点,过 P 作 PQ⊥x 轴与抛物线交于 Q.过 A 作 AC⊥x 轴于 C,当以 O,P,Q 为顶点的三角 形与以 O,A,C 为顶点的三角形相似时,求 P 点的坐标. (3)设 Q(m, m2﹣ m),根据相似三角形的判定方法,当 = 时,△PQO∽△COA,则| m2﹣ m|=2|m|; 当 = 时,△PQO∽△CAO,则| m2﹣ m|= |m|,然后分别解关于 m 的绝对值方程可得到对应的 P 点坐 标. 【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线 x=3, ∴B 点坐标为(6,0), 设抛物线解析式为 y=ax(x﹣6), 把 A(8,4)代入得 a•8•2=4,解得 a= , ∴抛物线解析式为 y= x(x﹣6),即 y= x2﹣ x; 把 M(t,0)代入得 2t+n=0,解得 n=﹣2t, ∴直线 MN 的解析式为 y=2x﹣2t, 解方程组 得 ,则 N( t, t), ∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM = •4•t﹣ •t• t =﹣ t2+2t =﹣ (t﹣3)2+3, 当 t=3 时,S△AMN 有最大值 3,此时 M 点坐标为(3,0); (3)设 Q(m, m2﹣ m), ∵∠OPQ=∠ACO, ∴当 = 时,△PQO∽△COA,即 = , ∴PQ=2PO,即| m2﹣ m|=2|m|, 解方程 m2﹣ m=2m 得 m1=0(舍去),m2=14,此时 P 点坐标为(14,28); 解方程 m2﹣ m=﹣2m 得 m1=0(舍去),m2=﹣2,此时 P 点坐标为(﹣2,4); ★考点四 以圆为背景的函数综合题 【典例 4】(2018·浙江宁波·14 分)如图 1,直线 l:y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B, 点 C 是线段 OA 上一动点(0<AC< ).以点 A 为圆心,AC 长为半径作⊙A 交 x 轴于另一点 D,交线段 AB 于点 E,连结 OE 并延长交⊙A 于点 F. (1)求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值; (2)如图 2,连结 CE,当 CE=EF 时, ①求证:△OCE∽△OEA; ②求点 E 的坐标; (3)当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE•EF 的最大值. 【考点】待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理 【分析】(1)利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式,即可求出 OA,OB,即可得出结论; (2)①先判断出∠CDF=2∠CDE,进而得出∠OAE=∠ODF,即可得出结论; ②设出 EM=3m,AM=4m,进而得出点 E 坐标,即可得出 OE 的平方,再根据①的相似得出比例式得出 OE 的平 方,建立方程即可得出结论; (3)利用面积法求出 OG,进而得出 AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论. 【解答】解:∵直线 l:y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A(4,0), ∴﹣ ×4+b=0, ∴b=3, ∴直线 l 的函数表达式 y=﹣ x+3, ∴B(0,3), ∴OA=4,OB=3, 在 Rt△AOB 中,tan∠BAO= = ; ②过点 E⊥OA 于 M, 由①知,tan∠OAB= , 设 EM=3m,则 AM=4m, ∴OM=4﹣4m,AE=5m, ∴E(4﹣4m,3m),AC=5m,∴ OC=4﹣5m, 由①知,△COE∽△EOA, ∴ , ∴OE2=OA•OC=4(4﹣5m)=16﹣20m, ∵E(4﹣4m,3m), ∴(4﹣4m)2+9m2=25m2﹣32m+16, ∴25m2﹣32m+16=16﹣20m, ∴m=0(舍)或 m= , ∴4﹣4m= ,3m= , ∴( , ), 连接 FH, ∵EH 是⊙O 直径, ∴EH=2r,∠EFH=90°=∠EGO, ∵∠OEG=∠HEF, ∴△OEG∽△HEF, ∴ , ∴OE•EF=HE•EG=2r( ﹣r)=﹣2(r﹣ )2+ , ∴r= 时,OE•EF 最大值为 . 【讲透练活】 变式 1:(2018•山东淄博•9 分)如图,抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点,其中点 A(1, ),点 B (3,﹣ ),O 为坐标原点. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式; (2)若 P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且 n<m,求 t 的取值范围; (3)若 C 为线段 AB 上的一个动点,当点 A,点 B 到直线 OC 的距离之和最大时,求∠BOC 的大小及点 C 的 坐标. 【考点】HF:二次函数综合题. 【解答】解:(1)把点 A(1, ),点 B(3,﹣ )分别代入 y=ax2+bx 得 解得 ∴y=﹣ (2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线 x= 当 x> 时,y 随 x 的增大而减小 ∴当 t>4 时,n<m. (3)如图,设抛物线交 x 轴于点 F 分别过点 A、B 作 AD⊥OC 于点 D,BE⊥OC 于点 E 变式 2:(2018·山东泰安·11 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A(﹣4, 0)、B(2,0),交 y 轴于点 C(0,6),在 y 轴上有一点 E(0,﹣2),连接 AE. (1)求二次函数的表达式; (2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点,求△ADE 面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点 P,使△AEP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有 P 点的坐标,若不 存在请说明理由. 【分析】(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可; (2)根据函数解析式设出点 D 坐标,过点 D 作 DG⊥x 轴,交 AE 于点 F,表示△ADE 的面积,运用二次函数 分析最值即可; (3)设出点 P 坐标,分 PA=PE,PA=AE,PE=AE 三种情况讨论分析即可. (2)由 A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求 AE 所在直线解析式为 y= , 过点 D 作 DN⊥x 轴,交 AE 于点 F,交 x 轴于点 G,过点 E 作 EH⊥DF,垂足为 H,如图 设 D(m, ),则点 F(m, ), ∴DF= ﹣( )= , ∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= ×DF×AG+ DF×EH = ×DF×AG+ ×DF×EH = ×4×DF =2×( ) = , ∴当 m= 时,△ADE 的面积取得最大值为 . 变式 3:(2018·新疆生产建设兵团·13 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= x2﹣ x﹣4 与 x 轴交 于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),与 y 轴交于点 C. (1)求点 A,B,C 的坐标; (2)点 P 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动,同时,点 Q 从 B 点出发,在 线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运 动时间为 t 秒,求运动时间 t 为多少秒时,△PBQ 的面积 S 最大,并求出其最大面积; (3)在(2)的条件下,当△PBQ 面积最大时,在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M,使△BMC 的面积是△PBQ 面积的 1.6 倍?若存在,求点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)代入 x=0 可求出点 C 的纵坐标,代入 y=0 可求出点 A、B 的横坐标,此题得解; (2)根据点 B、C 的坐标,利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式,过点 Q 作 QE∥y 轴,交 x 轴于点 E, 当运动时间为 t 秒时,点 P 的坐标为(2t﹣2,0),点 Q 的坐标为(3﹣ t,﹣ t),进而可得出 PB、QE 的长度,利用三角形的面积公式可得出 S△PBQ 关于 t 的函数关系式,利用二次函数的性质即可解决最值问题; (3)根据(2)的结论找出点 P、Q 的坐标,假设存在,设点 M 的坐标为(m, m2﹣ m﹣4),则点 F 的坐 标为(m, m﹣4),进而可得出 MF 的长度,利用三角形的面积结合△BMC 的面积是△PBQ 面积的 1.6 倍,可 得出关于 m 的一元二次方程,解之即可得出结论.学科&网 (2)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k≠0), 将 B(3,0)、C(0,﹣4)代入 y=kx+b, ,解得: , ∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣4. 过点 Q 作 QE∥y 轴,交 x 轴于点 E,如图 1 所示, 当运动时间为 t 秒时,点 P 的坐标为(2t﹣2,0),点 Q 的坐标为(3﹣ t,﹣ t), ∴PB=3﹣(2t﹣2)=5﹣2t,QE= t, ∴S△PBQ= PB•QE=﹣ t2+2t=﹣ (t﹣ )2+ . ∵﹣ <0, ∴当 t= 时,△PBQ 的面积取最大值,最大值为 . (3)当△PBQ 面积最大时,t= , 此时点 P 的坐标为( ,0),点 Q 的坐标为( ,﹣1). 假设存在,设点 M 的坐标为(m, m2﹣ m﹣4),则点 F 的坐标为(m, m﹣4), 变式 4:(2018·四川自贡·14 分)如图,抛物线 y=ax2+bx﹣3 过 A(1,0)、B(﹣3,0),直线 AD 交抛物 线于点 D,点 D 的横坐标为﹣2,点 P(m,n)是线段 AD 上的动点. (1)求直线 AD 及抛物线的解析式; (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长? (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,直接写出点 R 的坐标;若不存在,说明理由. 【解答】解:(1)把(1,0),(﹣3,0)代入函数解析式,得 , 解得 , 抛物线的解析式为 y=x2+2x﹣3; 当 x=﹣2 时,y=(﹣2)2+2×(﹣2)﹣3,解得 y=﹣3, 即 D(﹣2,﹣3). 设 AD 的解析式为 y=kx+b,将 A(1,0),D(﹣2,﹣3)代入,得 , 解得 , 直线 AD 的解析式为 y=x﹣1; (2)设 P 点坐标为(m,m﹣1),Q(m,m2+2m﹣3), l=(m﹣1)﹣(m2+2m﹣3) 化简,得 l=﹣m2﹣m+2 配方,得 l=﹣(m+ )2+ , 当 m=﹣ 时,l 最大= ; 变式 5:(2018 年湖北省宜昌市 12 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OADB 的顶点 A,B 的坐标分别为 A (﹣6,0),B(0,4).过点 C(﹣6,1)的双曲线 y= (k≠0)与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E. (1)填空:OA= ,k= ,点 E 的坐标为 ; (2)当 1≤t≤6 时,经过点 M(t﹣1,﹣ t2+5t﹣ )与点 N(﹣t﹣3,﹣ t2+3t﹣ )的直线交 y 轴于 点 F,点 P 是过 M,N 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 的顶点. ①当点 P 在双曲线 y= 上时,求证:直线 MN 与双曲线 y= 没有公共点; ②当抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点,求 t 的值; ③当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时,求 t 的取值范围,并求在运动过程中直线 MN 在四边形 OAEB 中扫过的面积. 【分析】(1)根据题意将先关数据带入 (2)①用 t 表示直线 MN 解析式,及 b,c,得到 P 点坐标带入双曲线 y= 解析式,证明关于 t 的方程无解 即可; ②根据抛物线开口和对称轴,分别讨论抛物线过点 B 和在 BD 上时的情况; ③由②中部分结果,用 t 表示 F、P 点的纵坐标,求出 t 的取值范围及直线 MN 在四边形 OAEB 中所过的面积. (2)①设直线 MN 解析式为:y1=k1x+b1 由题意得: 解得 ∵抛物线 y=﹣ 过点 M、N ∴ 解得 ∴抛物线解析式为:y=﹣ x2﹣x+5t﹣2 ∴顶点 P 坐标为(﹣1,5t﹣ ) ∵P 在双曲线 y=﹣ 上 ∴(5t﹣ )×(﹣1)=﹣6 ∴t= 此时直线 MN 解析式为: 联立 ∴8x2+35x+49=0 ∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536<0 ∴直线 MN 与双曲线 y=﹣ 没有公共点. ③∵点 P 的坐标为(﹣1,5t﹣ ) ∴yP=5t﹣ 当 1≤t≤6 时,yP 随 t 的增大而增大 此时,点 P 在直线 x=﹣1 上向上运动 ∵点 F 的坐标为(0,﹣ ) ∴yF=﹣ ∴当 1≤t≤4 时,随者 yF 随 t 的增大而增大 此时,随着 t 的增大,点 F 在 y 轴上向上运动 ∴1≤t≤4 当 t=1 时,直线 MN:y=x+3 与 x 轴交于点 G(﹣3,0),与 y 轴交于点 H(0,3) 当 t=4﹣ 时,直线 MN 过点 A. 当 1≤t≤4 时,直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为 S= 。 学科&网

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