【课标解读】
函数与几何综合问题最大的特点就是“数”与“形”相互结合、相互渗透，中考压轴题中函数之二次
函数的几何应用问题，主要是解答题，常见问题有以三角形为背景问题，以四边形为背景问题和以圆为背
景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。
【解题策略】
从函数性质入手→探索函数与其它的关系→综合应用→解决相关问题→得出结论
【考点深剖】
★考点一 以三角形为背景的函数综合题
【典例 1】（2018•山东枣庄•10 分）如图 1，已知二次函数 y=ax2+ x+c（a≠0）的图象与 y 轴交于点 A（0，
4），与 x 轴交于点 B、C，点 C 坐标为（8，0），连接 AB、AC．
（1）请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c 的表达式；
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 N 的坐标；
（4）如图 2，若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合），过点 N 作 NM∥AC，交 AB 于点 M，当△AMN 面
积最大时，求此时点 N 的坐标．
（4）设点 N 的坐标为（n，0），则 BN=n+2，过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D，根据三角形相似对应边成比例求得
MD= （n+2），然后根据 S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
得出关于 n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数 y=ax2+ x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B、C，点 C 坐标
为（8，0），
∴ ，
解得 ．
∴抛物线表达式：y=﹣ x2+ x+4；
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC= =4 ，
①以 A 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（﹣8，0），
②以 C 为圆心，以 AC 长为半径作圆，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（8﹣4 ，0）或（8+4 ，0）
③作 AC 的垂直平分线，交 x 轴于 N，此时 N 的坐标为（3，0），
综上，若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标分别为（﹣8，
0）、（8﹣4 ，0）、（3，0）、（8+4 ，0）．
（4）如图 ，
设点 N 的坐标为（n，0），则 BN=n+2，过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴ = ，
∵MN∥AC
∴ = ，
∴ = ，
∴当△AMN 面积最大时，N 点坐标为（3，0）．学科&网
★考点二 以四边形为背景的函数综合题
【典例 2】（2018·山东威海·12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣4，0），B（2，
0），与 y 轴交于点 C（0，4），线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，与 x 轴交于点 F，与 BC 交于点 E，
对称轴 l 与 x 轴交于点 H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点 D 的坐标；
（3）点 P 为 x 轴上一点，⊙P 与直线 BC 相切于点 Q，与直线 DE 相切于点 R．求点 P 的坐标；
（4）点 M 为 x 轴上方抛物线上的点，在对称轴 l 上是否存在一点 N，使得以点 D，P，M．N 为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，则直接写出 N 点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线过点 A（﹣4，0），B（2，0）
∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）
把 C（0，4）带入得
4=a（0+4）（0﹣2）
∴a=﹣
∴抛物线表达式为：y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣x+4
（2）由（1）抛物线对称轴为直线 x=﹣ =﹣1
∵线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D
∴点 D 在对称轴上
设点 D 坐标为（﹣1，m）
过点 C 做 CG⊥l 于 G，连 DC，DB
∴DC=DB
在 Rt△DCG 和 Rt△DBH 中
∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2
∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2
解得：m=1
∴点 D 坐标为（﹣1，1）
设⊙P 的半径为 r，⊙P 与直线 BC 和 EF 都相切
如图：
①当圆心 P1 在直线 BC 左侧时，连 P1Q1，P1R1，则 P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°
∴四边形 P1Q1ER1 是正方形
∴ER1=P1Q1=r1
②同理，当圆心 P2 在直线 BC 右侧时，
可求 r2= ，OP2=7
∴P2 坐标为（7，0）
∴点 P 坐标为（ ，0）或（7，0）
（4）存在
当点 P 坐标为（ ，0）时，
①若 DN 和 MP 为平行四边形对边，则有 DN=MP
当 x= 时，y=﹣
∴DN=MP=
∴点 N 坐标为（﹣1， ）
②若 MN、DP 为平行四边形对边时，M、P 点到 ND 距离相等
则点 M 横坐标为﹣
则 M 纵坐标为﹣
由平行四边形中心对称性可知，点 M 到 N 的垂直距离等于点 P 到点 D 的垂直距离
当点 N 在 D 点上方时，点 N 纵坐标为
此时点 N 坐标为（﹣1， ）
当点 N 在 x 轴下方时，点 N 坐标为（﹣1，﹣ ）
当点 P 坐标为（7，0）时，所求 N 点不存在．
故答案为：（﹣1， ）、（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）。学科&网
★考点三 以相似三角形为背景的函数综合题
【典例 3】（2018·湖南省常德·10 分）如图，已知二次函数的图象过点 O（0，0）．A（8，4），与 x 轴交于
另一点 B，且对称轴是直线 x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若 M 是 OB 上的一点，作 MN∥AB 交 OA 于 N，当△ANM 面积最大时，求 M 的坐标；
（3）P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQ⊥x 轴与抛物线交于 Q．过 A 作 AC⊥x 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点的三角
形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标．
（3）设 Q（m， m2﹣ m），根据相似三角形的判定方法，当 = 时，△PQO∽△COA，则| m2﹣ m|=2|m|；
当 = 时，△PQO∽△CAO，则| m2﹣ m|= |m|，然后分别解关于 m 的绝对值方程可得到对应的 P 点坐
标．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线 x=3，
∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为 y=ax（x﹣6），
把 A（8，4）代入得 a•8•2=4，解得 a= ，
∴抛物线解析式为 y= x（x﹣6），即 y= x2﹣ x；
把 M（t，0）代入得 2t+n=0，解得 n=﹣2t，
∴直线 MN 的解析式为 y=2x﹣2t，
解方程组 得 ，则 N（ t， t），
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
= •4•t﹣ •t• t
=﹣ t2+2t
=﹣ （t﹣3）2+3，
当 t=3 时，S△AMN 有最大值 3，此时 M 点坐标为（3，0）；
（3）设 Q（m， m2﹣ m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当 = 时，△PQO∽△COA，即 = ，
∴PQ=2PO，即| m2﹣ m|=2|m|，
解方程 m2﹣ m=2m 得 m1=0（舍去），m2=14，此时 P 点坐标为（14，28）；
解方程 m2﹣ m=﹣2m 得 m1=0（舍去），m2=﹣2，此时 P 点坐标为（﹣2，4）；
★考点四 以圆为背景的函数综合题
【典例 4】（2018·浙江宁波·14 分）如图 1，直线 l：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，
点 C 是线段 OA 上一动点（0＜AC＜ ）．以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB
于点 E，连结 OE 并延长交⊙A 于点 F．
（1）求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值；
（2）如图 2，连结 CE，当 CE=EF 时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点 E 的坐标；
（3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE•EF 的最大值．
【考点】待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理
【分析】（1）利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论；
（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；
②设出 EM=3m，AM=4m，进而得出点 E 坐标，即可得出 OE 的平方，再根据①的相似得出比例式得出 OE 的平
方，建立方程即可得出结论；
（3）利用面积法求出 OG，进而得出 AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．
【解答】解：∵直线 l：y=﹣ x+b 与 x 轴交于点 A（4，0），
∴﹣ ×4+b=0，
∴b=3，
∴直线 l 的函数表达式 y=﹣ x+3，
∴B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在 Rt△AOB 中，tan∠BAO= = ；
②过点 E⊥OA 于 M，
由①知，tan∠OAB= ，
设 EM=3m，则 AM=4m，
∴OM=4﹣4m，AE=5m，
∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴
OC=4﹣5m，
由①知，△COE∽△EOA，
∴ ，
∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，
∵E（4﹣4m，3m），
∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，
∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，
∴m=0（舍）或 m= ，
∴4﹣4m= ，3m= ，
∴（ ， ），
连接 FH，
∵EH 是⊙O 直径，
∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，
∵∠OEG=∠HEF，
∴△OEG∽△HEF，
∴ ，
∴OE•EF=HE•EG=2r（ ﹣r）=﹣2（r﹣ ）2+ ，
∴r= 时，OE•EF 最大值为 ．
【讲透练活】
变式 1：（2018•山东淄博•9 分）如图，抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点 A（1， ），点 B
（3，﹣ ），O 为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 n＜m，求 t 的取值范围；
（3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点 C 的
坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【解答】解：（1）把点 A（1， ），点 B（3，﹣ ）分别代入 y=ax2+bx 得
解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x=
当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小
∴当 t＞4 时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F
分别过点 A、B 作 AD⊥OC 于点 D，BE⊥OC 于点 E
变式 2：（2018·山东泰安·11 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣4，
0）、B（2，0），交 y 轴于点 C（0，6），在 y 轴上有一点 E（0，﹣2），连接 AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不
存在请说明理由．
【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点 D 坐标，过点 D 作 DG⊥x 轴，交 AE 于点 F，表示△ADE 的面积，运用二次函数
分析最值即可；
（3）设出点 P 坐标，分 PA=PE，PA=AE，PE=AE 三种情况讨论分析即可．
（2）由 A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求 AE 所在直线解析式为 y= ，
过点 D 作 DN⊥x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，如图
设 D（m， ），则点 F（m， ），
∴DF= ﹣（ ）= ，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= ×DF×AG+ DF×EH
= ×DF×AG+ ×DF×EH
= ×4×DF
=2×（ ）
= ，
∴当 m= 时，△ADE 的面积取得最大值为 ．
变式 3：（2018·新疆生产建设兵团·13 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2﹣ x﹣4 与 x 轴交
于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C．
（1）求点 A，B，C 的坐标；
（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点 Q 从 B 点出发，在
线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运
动时间为 t 秒，求运动时间 t 为多少秒时，△PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M，使△BMC 的面积是△PBQ
面积的 1.6 倍？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）代入 x=0 可求出点 C 的纵坐标，代入 y=0 可求出点 A、B 的横坐标，此题得解；
（2）根据点 B、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，过点 Q 作 QE∥y 轴，交 x 轴于点 E，
当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为（2t﹣2，0），点 Q 的坐标为（3﹣ t，﹣ t），进而可得出 PB、QE
的长度，利用三角形的面积公式可得出 S△PBQ 关于 t 的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据（2）的结论找出点 P、Q 的坐标，假设存在，设点 M 的坐标为（m， m2﹣ m﹣4），则点 F 的坐
标为（m， m﹣4），进而可得出 MF 的长度，利用三角形的面积结合△BMC 的面积是△PBQ 面积的 1.6 倍，可
得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论．学科&网
（2）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
将 B（3，0）、C（0，﹣4）代入 y=kx+b，
，解得： ，
∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣4．
过点 Q 作 QE∥y 轴，交 x 轴于点 E，如图 1 所示，
当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为（2t﹣2，0），点 Q 的坐标为（3﹣ t，﹣ t），
∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE= t，
∴S△PBQ= PB•QE=﹣ t2+2t=﹣ （t﹣ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当 t= 时，△PBQ 的面积取最大值，最大值为 ．
（3）当△PBQ 面积最大时，t= ，
此时点 P 的坐标为（ ，0），点 Q 的坐标为（ ，﹣1）．
假设存在，设点 M 的坐标为（m， m2﹣ m﹣4），则点 F 的坐标为（m， m﹣4），
变式 4：（2018·四川自贡·14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx﹣3 过 A（1，0）、B（﹣3，0），直线 AD 交抛物
线于点 D，点 D 的横坐标为﹣2，点 P（m，n）是线段 AD 上的动点．
（1）求直线 AD 及抛物线的解析式；
（2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得
，
解得 ，
抛物线的解析式为 y=x2+2x﹣3；
当 x=﹣2 时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得 y=﹣3，
即 D（﹣2，﹣3）．
设 AD 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得
，
解得 ，
直线 AD 的解析式为 y=x﹣1；
（2）设 P 点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），
l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）
化简，得
l=﹣m2﹣m+2
配方，得
l=﹣（m+ ）2+ ，
当 m=﹣ 时，l 最大= ；
变式 5：（2018 年湖北省宜昌市 12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OADB 的顶点 A，B 的坐标分别为 A
（﹣6，0），B（0，4）．过点 C（﹣6，1）的双曲线 y= （k≠0）与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E．
（1）填空：OA= ，k= ，点 E 的坐标为 ；
（2）当 1≤t≤6 时，经过点 M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣ ）与点 N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣ ）的直线交 y 轴于
点 F，点 P 是过 M，N 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 的顶点．
①当点 P 在双曲线 y= 上时，求证：直线 MN 与双曲线 y= 没有公共点；
②当抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与矩形 OADB 有且只有三个公共点，求 t 的值；
③当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时，求 t 的取值范围，并求在运动过程中直线 MN 在四边形 OAEB
中扫过的面积．
【分析】（1）根据题意将先关数据带入
（2）①用 t 表示直线 MN 解析式，及 b，c，得到 P 点坐标带入双曲线 y= 解析式，证明关于 t 的方程无解
即可；
②根据抛物线开口和对称轴，分别讨论抛物线过点 B 和在 BD 上时的情况；
③由②中部分结果，用 t 表示 F、P 点的纵坐标，求出 t 的取值范围及直线 MN 在四边形 OAEB 中所过的面积．
（2）①设直线 MN 解析式为：y1=k1x+b1
由题意得：
解得
∵抛物线 y=﹣ 过点 M、N
∴
解得
∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2
∴顶点 P 坐标为（﹣1，5t﹣ ）
∵P 在双曲线 y=﹣ 上
∴（5t﹣ ）×（﹣1）=﹣6
∴t=
此时直线 MN 解析式为：
联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0
∴直线 MN 与双曲线 y=﹣ 没有公共点．
③∵点 P 的坐标为（﹣1，5t﹣ ）
∴yP=5t﹣
当 1≤t≤6 时，yP 随 t 的增大而增大
此时，点 P 在直线 x=﹣1 上向上运动
∵点 F 的坐标为（0，﹣ ）
∴yF=﹣
∴当 1≤t≤4 时，随者 yF 随 t 的增大而增大
此时，随着 t 的增大，点 F 在 y 轴上向上运动
∴1≤t≤4
当 t=1 时，直线 MN：y=x+3 与 x 轴交于点 G（﹣3，0），与 y 轴交于点 H（0，3）
当 t=4﹣ 时，直线 MN 过点 A．
当 1≤t≤4 时，直线 MN 在四边形 AEBO 中扫过的面积为
S=
。
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