一、选择题（10×3=30 分）
1. （2017•宁德）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在边 BC 和 AC 上，若 AD=AE，则下列结论
错误的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE= ∠BAD D．∠AED=2∠ECD
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项 A、B、C 正确，选项 D 错误，即可得出答案．
2. （2018•安徽）▱ABCD 中，E，F 的对角线 BD 上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定
为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF
【分析】连接 AC 与 BD 相交于 O，根据平行四边形的对角线互相平分可得 OA=OC，OB=OD，再根据对角
线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到 OE=OF 即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
3. （2018•扬州）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，CE 平分∠ACD 交 AB 于 E，则下列结论
一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠
BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出 BC=BE，此
题得解．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE 平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选：C．学科&网
4. （2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
5. （2018•东营）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F，
AB=BF．添加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF
【分析】正确选项是 D．想办法证明 CD=AB，CD∥AB 即可解决问题；
6. （2018•台湾）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P，使得∠BPC 与∠A
互补，其作法分别如下：
（甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；
（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠
APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图 1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图 2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
7. （2018•眉山）如图，在▱ABCD 中，CD=2AD，BE⊥AD 于点 E，F 为 DC 的中点，连结 EF、BF，下列
结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S 四边形 DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有
（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH．想办法证明 EF=FG，BE⊥BG，四
边形 BCFH 是菱形即可解决问题；
【解答】解：如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH．
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S 四边形 DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
8. （2017 呼和浩特）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，E，F 为 BD 所在直线上的两点，若 AE= ，
∠EAF=135°，则下列结论正确的是（ ）
A．DE=1 B．tan∠AFO= C．AF= D．四边形 AFCE 的面积为
【分析】根据正方形的性质求出 AO 的长，用勾股定理求出 EO 的长，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°
可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出 BF 的长，再一一计算即可判断．
在 Rt△AOF 中，AF= = = ，故 C 正确，
tan∠AFO= = = ，故 B 错误，
∴S 四边形 AECF= •AC•EF= × × = ，故 D 错误，
故选 C．学科&网
9. （2017•玉林）如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 分别与⊙O 相交于点 D，E，连接 DE，现给出两个命
题：
①若 AC=AB，则 DE=CE；
②若∠C=45°，记△CDE 的面积为 S1，四边形 DABE 的面积为 S2，则 S1=S2，
那么（ ）
A．①是真命题 ②是假命题 B．①是假命题 ②是真命题
C．①是假命题 ②是假命题 D．①是真命题 ②是真命题
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B=∠CDE，根据等腰三角
形的判定判断①；
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②．
∴AC= CE，
∵四边形 ABED 内接于⊙O，
∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，
∴△CDE∽△CBA，
∴ =（ ）2= ，
∴S1=S2，②正确，
故选：D．
10. （2017 山东滨州）如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补，若∠
MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成
立；（2）OM+ON 的值不变；（3）四边形 PMON 的面积不变；（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
在△POE 和△POF 中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
二、填空题（6×4=24 分）.
11. （2018•金华）如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不
添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ．
【分析】添加 AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加
AC=BC 可利用 AAS 判定△ADC≌△BEC．
【解答】解：添加 AC=BC，
∵△ABC 的两条高 AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC 和△BEC 中 ，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
故答案为：AC=BC．
12. （2017 贵州）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条
件 使得△ABC≌△DEF．
【分析】根据全等三角形的判定定理填空．
13. （2017 齐齐哈尔）矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件 ，使其成
为正方形（只填一个即可）
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加 AC⊥BD 等．
【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：
∵四边形 ABCD 是矩形，AB=BC，
∴四边形 ABCD 是正方形，
故答案为：AB=BC（答案不唯一）．
14. （2018•湖州）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是
格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，
且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形
ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFGH 的而积为 5．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，
正方形 EFGH 的面积的所有可能值是 （不包括 5）．
【分析】当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的面积为 13．当
DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49．当 DG=7，CG=4 时，
满足 DG2+CG2=CD2，此时 HG=3，可得正方形 EFGH 的面积为 9．
15.（2018•香坊区）已知边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 6，点 E 在对角线 BD 上且 tan∠EAC= ，
则 BE 的长为 ．
【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可．
【解答】解：当点 E 在对角线交点左侧时，如图 1 所示：
16. （2017 四川南充）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，
给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是 （填序号）
【分析】由四边形 ABCD 与四边形 EFGC 都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用 SAS 得到三
角形 BCE 与三角形 DCG 全等，利用全等三角形对应边相等即可得到 BE=DG，利用全等三角形对应角相等
得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD 为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接 BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，
则 BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正确．
故答案为：①②③．学科&网
三、解答题（共 46 分）.
17. （2018•徐州）已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，给出下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
【分析】如果①②结合，那么这些线段所在的两个三角形是 SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对
边平行；如果②③结合，和①②结合的情况相同；如果①④结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那
么 AD，BC 所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是②④，
它有可能是等腰梯形．
18. （2018•滨州）已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D 为 BC 的中点．
（1）如图①，若点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点 E、F 分别为 AB、CA 延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE=AF 吗？请利用图②说明理由．
【分析】（1）连接 AD，根据等腰三角形的性质可得出 AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可
得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出 BE=AF；
（2）连接 AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余
角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出
BE=AF．
（2）BE=AF，证明如下：
连接 AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB 和△FDA 中， ，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF．
19. （2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）．
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C，且使
∠ABC=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）问：（1）中这样的直线 AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直
线 AC，并写出与之对应的函数表达式．
【分析】（1）①作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，②作矩形 OA′BC′，直线 A′C′，满足条件；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】（1）解：如图△ABC 即为所求；
20. （2017 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，把矩形 OABC 沿对角线 AC 所在直线折叠，点 B 落在
点 D 处，DC 与 y 轴相交于点 E，矩形 OABC 的边 OC，OA 的长是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+32=0 的
两个根，且 OA＞OC．
（1）求线段 OA，OC 的长；
（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段 OE 的长；
（3）直接写出点 D 的坐标；
（4）若 F 是直线 AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 P，使以点 E，C，P，F 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由四边形 ABCO 是矩形，得到 AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到 AD=AB，∠ADE=
∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到 OE=3；
（3）过 D 作 DM⊥x 轴于 M，则 OE∥DM，根据相似三角形的性质得到 CM= ，DM= ，于是得到结
论．
（4）过 P1 作 P1H⊥AO 于 H，根据菱形的性质得到 P1E=CE=5，P1E∥AC，设 P1H=k，HE=2k，根据勾股定
理得到 P1E= k=5，于是得到 P1（﹣ ，2 +3），同理 P3（ ，3﹣2 ），当 A 与 F 重合时，得到 P2
（4，5）；当 CE 是菱形 EP4CF4 的对角线时，四边形 EP4CF4 是菱形，得到 EP4=5，EP4∥AC，如图 2，过 P4
作 P4G⊥x 轴于 G，过 P4 作 P4N⊥OE 于 N，根据勾股定理即可得到结论．
∴OE=3；
（4）存在；∵OE=3，OC=4，
∴CE=5，
过 P1 作 P1H⊥AO 于 H，
∵四边形 P1ECF1 是菱形，
∴P1E=CE=5，P1E∥AC，
∴∠P1EH=∠OAC，
∴ = = ，
∴设 P1H=k，HE=2k，
∴P1E= k=5，
∴P1H= ，HE=2 ，
∴OH=2 +3，
∴P1（﹣ ，2 +3），
同理 P3（ ，3﹣2 ），
当 A 与 F 重合时，四边形 F2ECP2 是菱形，
∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，
∴P2（4，5）；
当 CE 是菱形 EP4CF4 的对角线时，四边形 EP4CF4 是菱形，
∴EP4=5，EP4∥AC，
如图 2，过 P4 作 P4G⊥x 轴于 G，过 P4 作 P4N⊥OE 于 N，
则 P4N=OG，P4G=ON，
EP4∥AC，
∴ = ，
综上所述：存在以点 E，C，P，F 为顶点的四边形是菱形，P（﹣ ，2 +3），（ ，3﹣2 ），（4，5），
（ ， ）．学科&网
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