专题06 方案设计问题（精练）-中考数学高频考点突破（解析版）

一、选择题（9×3=27 分） 1. 小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需 2 分钟；②洗菜需 3 分钟；③准备面 条及佐料需 2 分钟；④用锅把水烧开需 7 分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需 3 分钟．以上各工序除(4)外， 一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( ) A．14 分钟 B．13 分钟 C．12 分钟 D．11 分钟 解：洗锅盛水 2 分钟，用锅把水烧开 7 分钟，用烧开的水煮面和菜要 3 分钟，这样一共是 12 分钟.而洗菜 的 3 分钟和准备面及佐料的 2 分钟可以在烧开水的过程中来做. 2. （2018 贵阳）（3.00 分）在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命 安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（ ） A．抽取乙校初二年级学生进行调查 B．在丙校随机抽取 600 名学生进行调查 C．随机抽取 150 名老师进行调查 D．在四个学校各随机抽取 150 名学生进行调査 3. 一宾馆有两人间、三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，且每个房间都住满，租房方案有( ) A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 解：设租两人间 x 间，三人间 y 间，则四人间(7－x－y)间， 由题意，得 2 3 47 20 7 0 0 0 x y x y x y x y           ＞ ＞ ＞ 解得 2x＋y＝8，x>0，y>0,7－x－y>0. ∴x＝2，y＝4,7－x－y＝1；x＝3，y＝2,7－x－y＝2. 故有 2 种租房方案．故选 C. 4. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程 的图案有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 5. 如图，在一张△ABC 纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线 DE 剪开，计划 拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图 形一定能被拼成的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解：本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质． ①将剪开的△ADE 绕点 E 顺时针旋转 180°，使 EA 和 EB 重合得到邻边不等的矩形；如图： ②将剪开的△ADE 中的边 AD 和梯形 DEBC 中的边 DC 重合，△ADE 中的边 DE 和梯形 DEBC 中的边 BC 共线，即 可构成等腰梯形，如图： ③将剪开的△ADE 绕点 D 逆时针旋转 180°，使得 DA 与 DC 重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如图： 故计划可拼出①②③.故选 C。学科*网 6. （2018•江西）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图 形可以是轴对称图形、如图所示，现在他将正方形 ABCD 从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方 形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．无数个 故选：C． 7. “五·一”假期，梅河公司组织部分员工到 A、B、C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘 制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： 若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有 车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 解：考查了条形图的知识，解题的关键是识图；让去 B 地车票数除以车票总数即为所求的概率； 50÷100= 1 2 ．故选 A。 8. 某学校组织 340 名师生进行长途考察活动，带有行李 170 件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共 10 辆．经 了解，甲车每辆最多能载 40 人和 16 件行李，乙车每辆最多能载 30 人和 20 件行李．请问可行的租车方案 有( ) A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5 种 9. 某移动通讯公司提供了 A 、B 两种方案的通讯费用 y（元）与通话时间 x（分）之间的关系，如图所示， 则以下说法错误．．的是（ ） A．若通话时间少于 120 分，则 A 方案比 B 方案便宜 20 元 B．若通话时间超过 200 分，则 B 方案比 A 方案便宜 12 元 C．若通讯费用为 60 元，则 B 方案比 A 方案的通话时间多 D．若两种方案通讯费用相差 10 元，则通话时间是 145 分或 185 分 二、填空题（7 个小题,共 29 分）. 10. 某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案： 课题 测量教学楼高度 方案 一 二 图示 测得 数据 CD＝6.9m，∠ACG＝22°，∠BCG＝13° EF＝10m，∠AEB＝32°，∠AFB＝43° 参考 数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40 sin13°≈0.22，cos13°≈0.97， tan13°≈0.23 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85， tan32°≈0.62， sin43°≈0.68，cos43°≈0.73， tan43°≈0.93 选择其中的一种方法，则教学楼的高度是 .(结果保留整数) 解：若选择方法一，解法如下：在 Rt△BGC 中，∠BGC＝90°，∠BCG＝13°，BG＝CD＝6.9， ∵CG＝ 6.9 tan13° ≈ 6.9 0.23 ＝30，在 Rt△ACG 中，∠AGC＝90°，∠ACG＝22°， ∵tan∠ACG＝AG CG ，∴AG＝30×tan22°≈30×0.40＝12， ∴AB＝AG＋BG＝12＋6.9≈19(米)． 11. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 104 吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精 加工 4 吨或粗加工 8 吨.现计划用 16 天正好完成加工任务，则该公司应安排________天精加工，________ 天粗加工. 12. 我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两 个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等. 方案（2）： . 方案（3）： . 解：方案（2）：该角恰为两边的夹角时；方案（3）：该角为钝角时. 13. （2018•湖南省永州市•4 分）现有 A、B 两个大型储油罐，它们相距 2km，计划修建一条笔直的输油管 道，使得 A、B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5km，输油管道所在直线符合上述要求的设计 方案有 种． 【分析】根据点 A、B 的可以在直线的两侧或异侧两种情形讨论即可； 【解答】解：输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 4 种，如图所示； 故答案为 4． 14. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本． (1)每支钢笔的价格为 ；每本笔记本的价格为 ； (2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有 种购买方案？请你一一写 出 ． 15. （2018•福建 A 卷•10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围 成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏． 若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，则所利用旧墙 AD 的长为 ；矩形菜园 ABCD 面积的最 大值是 ． 【分析】（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到 x（100﹣2x）=450，解方程得 x1=5， x2=45，然后计算 100﹣2x 后与 20 进行大小比较即可得到 AD 的长； （2）设 AD=xm，利用矩形面积得到 S= x（100﹣x），配方得到 S=﹣ （x﹣50）2+1250，讨论：当 a≥50 时，根据二次函数的性质得 S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，根据二次函数的性质得 S 的最大值为 50a﹣ a2． 综上所述，当 a≥50 时，S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，S 的最大值为 50a﹣ a2．学科*网 16. 几何模型： 条件：如下左图，A、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小． 方法：作点 A 关于直线l 的对称点 A，连结 A B 交l 于点 P ，则 PA PB A B  的值最小（不必证明）． 模型应用： （1） 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点．连结 BD ，由正方形对 称性可知， B 与 D 关于直线 AC 对称．连结 ED 交 AC 于 P ，则 PB PE 的最小值是___________； （2） 如图 2， O⊙ 的半径为 2，点 A B C、 、 在 O⊙ 上， OA OB ， 60AOC  °， P 是OB 上一动 点，则 PA PC 的最小值是___________； （3）如图 3， 45AOB  °，P 是 AOB 内一点， 10PO  ，Q R、 分别是OA OB、 上的动点，则 PQR△ 周长的最小值是___________． 解：（1） PB PE 的最小值是 DE， 2 2DE= 2 1 = 5 . 2）延长 AO 交⊙o 于点 D，连接 CD 交 OB 于 P 则 PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD 连接 AC，∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，AD＝４ ∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30° 在 Rt△ACD 中，CD＝cos30°・ AD= 2 3 ，即 PA+PC 的最小值为 2 3 三、解答题（共 46 分）. 17. （2018•郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买 A、B 两 种奖品以鼓励抢答者．如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，共需 380 元；如果购买 A 种 15 件，B 种 10 件，共 需 280 元． （1）A、B 两种奖品每件各多少元？ （2）现要购买 A、B 两种奖品共 100 件，总费用不超过 900 元，那么 A 种奖品最多购买多少件？ 【分析】（1）设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，根据“如果购买 A 种 20 件，B 种 15 件，共需 380 元；如果购买 A 种 15 件，B 种 10 件，共需 280 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得 出结论； （2）设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过 900 元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论． 【解答】解：（1）设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元， 根据题意得： ， 解得： ． 答：A 种奖品每件 16 元，B 种奖品每件 4 元． 18. （2018•湘潭）湘潭市继 2017 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极 响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000 元， 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【分析】（1）根据“购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元”，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过 10000 元和至少需要安放 48 个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论． 【解答】解：（1）设温情提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150 元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元； （2）设购买温情提示牌 y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意， ， ∴50≤y≤52， ∵y 为正整数， ∴y 为 50，51，52，共 3 种方案； 即：温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个， 根据题意，费用为 50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， 当 y=52 时，所需资金最少，最少是 9800 元．学科*网 19. 要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的 设计方案． (1)求小亮设计方案中甬路的宽度 x； (2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(小颖设计方案中的 x 与小亮设计方案中的 x 取值相同)． 20.如图 1,矩形铁片 ABCD 的长为 a2 ,宽为 a ;为了要让铁片能穿过直径为 a10 89 的圆孔,需对铁片进行处理 (规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)； (1)如图 2,M、N、P、Q 分别是 AD、AB、BC、CD 的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,只余下四边形 MNPQ, 则此时铁片的形状是_______________,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔； (2)如图 3,过矩形铁片 ABCD 的中心作一条直线分别交边 BC、AD 于点 E、F(不与端点重合), 沿着这条直线 将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片； ①当 BE=DF= a5 1 时,判断直角梯形铁片 EBAF 能否穿过圆孔,并说明理由； ②为了能使直角梯形铁片 EBAF 顺利穿过圆孔,请直接写出线段 BE 的长度的取值范围 . （2）①如图，过点 A 作 AH⊥EF 于点 H, 过点 E 作 EK⊥AD 于点 K 显然 AB= aa 10 89 ， 故沿着与 AB 垂直的方向无法穿过圆孔 过点 A 作 EF 的平行线 RS，故只需计算直线 RS 与 EF 之间的距离即可 ∴ EF AF EK AH  可得 AH= aa 10 89 89 899  ∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔. ② aBE 64 893390  或 aBEa 264 89339  .