专题14第二单元自测卷（解析版）2021年高考数学（理）突破性讲练之三角函数与平面向量

专题 14 第二单元自测卷 时间：120 分钟 满分：150 分 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．向量 AB―→ 与 CD―→ 共线是 A，B，C，D 四点共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B　 【解析】由 A，B，C，D 四点共线，得向量 AB―→ 与 CD―→ 共线，反之不成立，可能 AB∥CD，所以向量 AB―→ 与 CD―→ 共线是 A，B，C，D 四点共线的必要不充分条件，故选 B. 2．有下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②若| AB―→ |＝| DC―→ |，则四边形 ABCD 是平行四边形； ③若 m＝n，n＝k，则 m＝k； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中，假命题的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】C　 【解析】对于①，|a|＝|b|，a，b 的方向不确定，则 a，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若| AB―→ |＝ | DC―→ |，则 AB―→ ， DC―→ 的方向不一定相同，所以四边形 ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若 m＝n，n＝k，则 m＝k，③正确；对于④，若 a∥b，b∥c，则 b＝0 时，a∥c 不一定成立，所以④错误．综 上，假命题的是①②④，共 3 个，故选 C. 3. 如图，在△ABC 中，点 M 为 AC 的中点，点 N 在 AB 上， AN―→ ＝3 NB―→ ，点 P 在 MN 上， MP―→ ＝2 PN―→ ， 那么 AP―→ ＝(　　) A. 2 3 AB―→ － 1 6 AC―→ 　　　　 B. 1 3 AB―→ － 1 2 AC―→ C. 1 3 AB―→ － 1 6 AC―→ D. 1 2 AB―→ ＋ 1 6 AC―→ 【答案】D【解析】 AP―→ ＝ AM―→ ＋ MP―→ ＝ AM―→ ＋ 2 3 MN―→ ＝ AM―→ ＋ 2 3( AN―→ － AM―→ ) ＝ 1 3 AM―→ ＋ 2 3 AN―→ ＝ 1 6 AC―→ ＋ 1 2 AB―→ .故选 D. 4. 已知平面向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 120°，若(a＋mb)⊥a，则实数 m 的值为(　　) A．1 B. 3 2 C．2 D．3 【答案】　D 【解析】　∵|a|＝3，|b|＝2，a 与 b 的夹角为 120°， ∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×(－ 1 2 )＝－3. ∵(a＋mb)⊥a， ∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得 m＝3. 5．在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 AO―→ ＝λ AB―→ ＋μ BC―→ ，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ 等于(　　) A．1 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 【答案】D　 【解析】由题意易得 AD―→ ＝ AB―→ ＋ BD―→ ＝ AB―→ ＋ 1 3 BC―→ ， 则 2 AO―→ ＝ AB―→ ＋ 1 3 BC―→ ，即 AO―→ ＝ 1 2 AB―→ ＋ 1 6 BC―→ . 故 λ＋μ＝ 1 2＋ 1 6＝ 2 3. 6. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点， BC―→ ＝3 EC―→ ，F 为 AE 的中点，则 BF―→ ＝(　　) A. 2 3 AB―→ － 1 3 AD―→ 　　　　　 B. 1 3 AB―→ － 2 3 AD―→ C．－ 2 3 AB―→ ＋ 1 3 AD―→ D．－ 1 3 AB―→ ＋ 2 3 AD―→ 【答案】C　 【解析】如图，取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，易知四边形 DCBG 为平行 四边形，所以BC―→ ＝ GD―→ ＝ AD―→ － AG―→ ＝ AD―→ － 1 2 AB―→ ，∴ AE―→ ＝ AB―→ ＋ BE―→ ＝ AB―→ ＋ 2 3 BC―→ ＝ AB―→ ＋ 2 3(－ 1 2 ) ＝ 2 3 AB―→ ＋ 2 3 AD―→ ，于是 BF―→ ＝ AF―→ － AB―→ ＝ 1 2 AE―→ － AB―→ ＝ 1 2(2 3＋ 2 3 )－ AB―→ ＝－ 2 3 AB―→ ＋ 1 3 AD―→ ，故 选 C. 7. 已知在平行四边形 ABCD 中， AD―→ ＝(3,7)， AB―→ ＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 CO―→ 的坐标 为(　　) A.(－ 1 2，5) B.(1 2，5 ) C.(－ 1 2，－5) D.(1 2，－5) 【答案】C 【解析】因为在平行四边形 ABCD 中， AD―→ ＝(3,7)， AB―→ ＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 CO―→ ＝－ AO―→ ＝－ 1 2( AD―→ ＋ AB―→ )＝(－ 1 2，－5).故选 C. 8.已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作一条直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且AM→ ＝xAB→ ，AN→ ＝yAC→ ，则 xy x＋y的值为(　　) A． 1 2 B． 1 3 C．2 D．3 【答案】　B 【解析】　由已知得 M，G，N 三点共线，∴AG→ ＝λAM→ ＋(1－λ)AN→ ＝λxAB→ ＋(1－λ)yAC→ ．∵点 G 是△ABC 的 重心，∴AG→ ＝ 2 3× 1 2(AB→ ＋AC→ )＝ 1 3(AB→ ＋AC→ )， ∴Error!即Error!得 1 3x＋ 1 3y＝1，即 1 x＋ 1 y＝3，通分变形得， x＋y xy ＝3，∴ xy x＋y＝ 1 3．故选 B． 9．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，则( AB―→ －2 BC―→ )·(3 BC―→ ＋4 CA―→ )＝(　　) A．－ 13 2 B.－ 11 2 C．－6－ 3 2 D．－6＋ 3 2 【答案】B　 【解析】( AB―→ －2 BC―→ )·(3 BC―→ ＋4 CA―→ )＝3 AB―→ · BC―→ －6 BC―→ 2＋4 AB―→ · CA―→ －8 BC―→ · CA―→ ＝ 3| AB―→ |·| BC―→ |·cos 120°－6| BC―→ |2＋4| AB―→ |·| CA―→ |cos 120°－8| BC―→ |·| CA―→ |·cos 120°＝3×1×1×(－ 1 2 )－6×12＋4×1×1×(－ 1 2 )－8×1×1×(－ 1 2 )＝－ 3 2－6－2＋4＝－ 11 2 ，故选 B. 10．已知非零向量 a，b 满足 a·b＝0，|a|＝3，且 a 与 a＋b 的夹角为 π 4 ，则|b|＝(　　) A．6 B.3 2 C．2 2 D．3 【答案】D　 【解析】因为 a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·cos π 4 ，所以|a＋b|＝3 2，将|a＋b|＝3 2两边平方 可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选 D. 11.在△ABC 中，已知 AD⊥AB，CD→ ＝3DB→ ，|AD→ |＝1，则AC→ ·AD→ ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】　如图，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，则 AB∥CE．由CD→ ＝3DB→ ，得DE→ ＝3AD→ ，从而AE→ ＝4 AD→ ．由数量积的几何意义，知AC→ ·AD→ ＝4AD→ ·AD→ ＝4，故选 D． 12. 已知 AB―→ ＝(cos 23°，cos 67°)， BC―→ ＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC 的面积为(　　) A．2 B. 2 C．1 D． 2 2 【答案】D 【解析】　根据题意， AB―→ ＝(cos 23°，cos 67°)，∴ BA―→ ＝－(cos 23°，sin 23°)， 则| BA―→ |＝1.又∵ BC―→ ＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴| BC―→ |＝2. ∴ BA―→ · BC―→ ＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－ 2，∴cos B＝ · ||||＝ － 2 2 ，则 B＝135°，则 S△ABC＝ 1 2| BA―→ || BC―→ |sin B＝ 1 2×1×2× 2 2 ＝ 2 2 ，故选 D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 设 e1 与 e2 是两个不共线向量， AB―→ ＝3e1＋2e2， CB―→ ＝ke1＋e2， CD―→ ＝3e1－2ke2，若 A，B，D 三点 共线，则 k 的值为________．【答案】－ 9 4. 【解析】由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数 λ，使得 AB―→ ＝λ BD―→ . 又 AB―→ ＝3e1＋2e2， CB―→ ＝ke1＋e2， CD―→ ＝3e1－2ke2， 所以 BD―→ ＝ CD―→ － CB―→ ＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以 3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 又 e1 与 e2 不共线， 所以Error!解得 k＝－ 9 4 . 14. 已知向量 a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数 m＝________. 【答案】±2 【解析】因为 a＋b＝(5,2m)≠0，所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0 得 2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以 42＋m2＝2 12＋m2，解得 m＝±2. 15. 已知AB→ 与AC→ 的夹角为 90°，|AB→ |＝2，|AC→ |＝1，AM→ ＝λAB→ ＋μAC→ (λ，μ∈R)，且AM→ ·BC→ ＝0，则 λ μ的 值为________． 【答案】　 1 4 【解析】　 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB→ ＝(0，2)，AC→ ＝ (1，0)，BC→ ＝(1，－2)．设 M(x，y)，则AM→ ＝(x，y)，所以AM→ ·BC→ ＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，即 x＝ 2y，又AM→ ＝λAB→ ＋μAC→ ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以 x＝μ，y＝2λ，所以 λ μ＝ 1 2y x ＝ 1 4． 16. 已知向量 AB―→ ＝(m,1)， BC―→ ＝(2－m，－4)，若 AB―→ · AC―→ >11，则 m 的取值范围为________． 【答案】(7，＋∞) 【解析】由向量 AB―→ ＝(m,1)， BC―→ ＝(2－m，－4)，得 AC―→ ＝ AB―→ ＋ BC―→ ＝(2，－3)．又因为 AB―→ · AC―→ >11，所以 2m－3>11，解得 m>7. 三、解答题（6 大题，共 70 分） 17.（10 分）如图，已知△OCB 中，B，C 关于点 A 对称，OD∶DB＝2∶1，DC 和 OA 交于点 E，设OA→ ＝a，OB→ ＝ b． (1)用 a 和 b 表示向量OC→ ，DC→ ； (2)若OE→ ＝λOA→ ，求实数 λ 的值． 【解析】　(1)由题意知，A 是 BC 的中点，且OD→ ＝ 2 3OB→ ， 由平行四边形法则，得OB→ ＋OC→ ＝2OA→ ． ∴OC→ ＝2OA→ －OB→ ＝2a－b， ∴DC→ ＝OC→ －OD→ ＝(2a－b)－ 2 3b＝2a－ 5 3b． (2)∵EC→ ∥DC→ ，EC→ ＝OC→ －OE→ ＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， DC→ ＝2a－ 5 3b，∴ 2－λ 2 ＝ －1 － 5 3 ，∴λ＝ 4 5． 18．（12 分）平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d 的坐标． 【解析】　(1)a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得 k＝－ 16 13. (2)设 d＝(x，y)，则 d－c＝(x－4，y－1)， 又 a＋b＝(2,4)，| d－c|＝ 5， ∴{4(푥 ― 4) - 2(푦 ― 1) = 0， (푥 ― 4)2 + (푦 ― 1)2 = 5， 解得Error!或Error! ∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)． 19.（12 分）如图，∠AOB＝ π 3 ，动点 A1，A2 与 B1，B2 分别在射线 OA，OB 上，且线段 A1A2 的长为 1，线段 B1B2的长为 2，点 M，N 分别是线段 A1B1，A2B2 的中点． (1)用向量A1A2→ 与B1B2→ 表示向量MN→ ； (2)求向量MN→ 的模． 【解析】　(1)MN→ ＝MA1→ ＋A1A2→ ＋A2N→ ，MN→ ＝MB1→ ＋B1B2→ ＋B2N→ ，两式相加，并注意到点 M，N 分别是线段 A1B1，A2B2 的中点，得MN→ ＝ 1 2(A1A2→ ＋B1B2→ )． (2)由已知可得向量A1A2→ 与B1B2→ 的模分别为 1 与 2，夹角为 π 3 ，所以A1A2→ ·B1B2→ ＝1， 由MN→ ＝ 1 2(A1A2→ ＋B1B2→ ) 得|MN→ |＝ 1 4A1A2→ ＋B1B2→ 2 ＝ 1 2 A1A2→ 2＋B1B2→ 2＋2A1A2→ ·B1B2→ ＝ 7 2 ． 20.（12 分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1，0)和点 B(－1，0)，|OC→ |＝1，且∠AOC＝x，其 中 O 为坐标原点． (1)若 x＝ 3π 4 ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求|OC→ ＋OD→ |的最小值； (2)若 x∈[0， π 2 ]，向量 m＝BC→ ，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求 m·n 的最小值及对应的 x 值． 【解析】　(1)设 D(t，0)(0≤t≤1)，由题易知 C(－ 2 2 ， 2 2 )， 所以OC→ ＋OD→ ＝(－ 2 2 ＋t， 2 2 )，所以|OC→ ＋OD→ |2 ＝ 1 2－ 2t＋t2 ＋ 1 2＝t2 － 2t＋1＝ (t－ 2 2 )2 ＋ 1 2 (0≤t≤1)，所以当 t＝ 2 2 时，|OC→ ＋OD→ |2 的最小值为 1 2，则|OC→ ＋OD→ |的最小值为 2 2 ． (2)由题意得 C(cosx，sinx)，m＝BC→ ＝(cosx＋1，sinx)， 则 m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx ＝1－cos2x－sin2x＝1－ 2sin(2x＋ π 4 )． 因为 x∈[0， π 2 ]，所以 π 4 ≤2x＋ π 4 ≤ 5π 4 ， 所以当 2x＋ π 4 ＝ π 2 ，即 x＝ π 8 时， sin (2x＋ π 4 )取得最大值 1， 所以 m·n 的最小值为 1－ 2，此时 x＝ π 8 ． 21.（12 分）在△ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，n＝( 2－sin A，cos A)，且|m＋n|＝2. (1)求角 A 的大小； (2)若 b＝4 2，c＝ 2a，求△ABC 的面积． 【解析】(1)∵m＋n＝( 2＋cos A－sin A，cos A＋sin A)， ∴|m＋n|＝ (＋cos 퐴－sin 퐴)2 + （cos 퐴＋sin 퐴）2 ＝ 4－4sin(A－ π 4 ). ∵|m＋n|＝2，∴sin(A－ π 4 )＝0， 又 0