专题 8 平面解析几何
纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方
程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命
题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，
利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同
曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法
先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置
关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与
系数的关系、弦长问题等.
预测 2021 年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.
主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.
1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为
C．若 mn0，则 C 是两条直线
【答案】ACD
【解析】
对于 A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；
2 2: 1C mx ny+ =
n
my xn
= ± −
0m n> > 2 2 1mx ny+ =
2 2
11 1
x y
m n
+ =
0m n> > 1 1
m n
< C y
对于 B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；
对于 C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；
故选：ACD.
2．（2020·山东海南省高考真题）斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则
=________．
【答案】
【解析】
∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ，
又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为：
代入抛物线方程消去 y 并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n
+ =
C n
n
0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n
=
ny n
= ± C x
3
AB
16
3
2 4y x= (1,0)F
3 3( 1)y x= −
23 10 3 0x x− + =
1 2
1 , 33x x= =
2
1 2
1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − =
100 36 64 0∆ = − = >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2
10
3x x+ =
,A B 1x = − ,C D
1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2
16+2= 3x x= +
故答案为：
3．（2020·浙江省高考真题）设直线 与圆 和圆 均相切，则
_______；b=______．
【答案】
【解析】
设 ， ，由题意， 到直线的距离等于半径，即 ，
，
所以 ，所以 （舍）或者 ，
解得 .
故答案为：
4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 A（2，
1）．
（1）求 C 的方程：
16
3
: ( 0)l y kx b k= + > 2 2 1x y+ = 2 2( 4) 1x y− + = k =
3
3
2 3
3
−
2 2
1 : 1C x y+ = 2 2
2 :( 4) 1C x y− + = 1 2,C C 2 2
| | 1
1
b
k
=
+
2 2
| 4 | 1
1
k b
k
+ =
+
| | 4b k b= + 0k = 2b k= −
3 2 3,3 3k b= = −
3 2 3;3 3
−
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
（2）点 M，N 在 C 上，且 AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足．证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
(1)由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： .
(2)设点 .
因为 AM⊥AN，∴ ，即 ,①
当直线 MN 的斜率存在时，设方程为 ,如图 1.
代入椭圆方程消去 并整理得： ,
②,
根据 ,代入①整理可得：
将②代入， ，
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上，∴ ，
∴ ，
于是 MN 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 MN 的斜率不存在时，可得 ,如图 2.
2 2
16 3
x y+ =
2 2
2 2 2
3
2
4 1 1
c
a
a b
a b c
=
+ =
= +
2 2 26, 3a b c= = =
2 2
16 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
· 0AM AN = ( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 1 1 0x x y y− − + − − =
y kx m= +
y ( )2 2 21 2k 4 2 6 0x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
4 2 6,1 2 1 2
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
1 1 2 2,y kx m y kx m= + = +
( ) ( )( ) ( )22
1 2 1 2k 1 x 2 1 4 0x km k x x m+ + − − + + − + =
( ) ( ) ( )2
22
2 2
2 6 4k 1 2 1 4 01 2 1 2
m kmkm k mk k
− + + − − − + − + = + +
( )( )2 3 1 2 1 0k m k m+ + + − =
2,1A（ ） MN 2 1 0k m+ − ≠
2 3 1 0 1k m k+ + = ≠，
2 1
3 3y k x = − −
2 1,3 3E −
( )1 1,N x y−
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线 MN 过点 ,
由于 AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，
所以 AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）.
由于 ，故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ，使得|DQ|为定值.
一、单选题
1．（2020·山东省泰安市 6 月三模）已知抛物线 的准线恰好与圆
相切，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 1 1 0x x y y− − + − − = ( )2 2
1 22 1 0x y− + − =
2 2
1 1 16 3
x y+ = ( )1 1
22 , 3x x= =舍
2 1,3 3E −
QD
2 21 2 1 4 22 12 3 3 3
− + + =
( ) 2 1,32,1 3,A E −
4 1,3 3Q
4 1,3 3Q
2: 4C x y=
( ) ( ) ( )2 2 2: 3 4 0M x y r r− + − = > r =
抛物线 的准线方程为 的圆心为 ，因为准线恰
好与圆 相切，所以圆心到直线的距离为 .
故选：C.
2．（2020·山东省泰安市 6 月三模）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 是 C
上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于 A 点， 的内切圆在边 上的切点为
N，若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
设 的内切圆在边 的切点分别为 E，G，
则 ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
又 ，得 ，所以双曲线 C 的离心率为 .
故选：D
3．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知 是抛物线 的焦点，过 的直线与抛物
2: 4C x y= 1y = − ， ( ) ( ) ( )2 2 2: 3 4 0M x y r r− + − = > ( )3,4
M 4 1 5r = + =
2 2
2 12
x yC a a
− =+： 1 2, ,F F M
2F M y 1AMF∆ 1MF
=2MN
5
2 5 2
1AMF∆ 1,AF AM
1 2 2MF MF a− = 1 22 2NF MF a+ − =
1 1 2| | | | | |NF EF GF= = 2 2| | 2 2GF MF a+ − = 2 | | 2MG a+ =
| | 2MG = 2 4,a = 2a = 22 4 22
+ =
F ( )2 2 0y px p= > F
线交于 ， 两点， 的中点为 ，过 作抛物线准线的垂线交准线于 ，若 的中点为 ，
则 =（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】
因为 的中点为 ，所以 ，
所以 ，
设直线 的方程为 ，代入抛物线的方程得， ，
所以
所以 ，解得 ，
故选：B
4．（2020·山东省济南市二模）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且横坐标为 4，则
（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
A B AB C C 1C 1CC ( )1,4M
p
4 2 8 2
1CC ( )1,4M 8, 2 12A B C
py y x+ = − = ×
4 , 2 2A B C
px x p x+ = + = +
AB 2
px my= + 2 22 0y pmy p− − =
2 , ( ) 8A B A B A By y pm x x m y y p m p+ = + = + + = +
8 2
8 4
pm
m p p
=
+ = +
8
1
2
p
m
= =
2 4x y= F P | |PF =
将 代入抛物线得到 ，根据抛物线定义得到 .
故选：C.
5．（2020·山东省济南市二模）已知点 ， ， 均在半径为 的圆上，若 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
根据圆 半径为 ， 得到 ，以 为 轴建立直角坐标系，
则 ， ，设 ，
则 ，
当 时有最大值为 .
故选：B.
6．（2020·山东省仿真联考 3）已知双曲线 ，直线 与 C 的两条渐近线的交
点分别为 M，N，O 为坐标原点．若 为直角三角形，则 C 的离心率为（）．
A． B． C．2 D．
4x = ( )4,4P | | 4 4 1 52
pPF = + = + =
A B C 2 | | 2AB = AC BC⋅
3+2 2 2 2 2+ 2
O 2 2AB = OA OB⊥ ,OB OA ,x y
( )0, 2A ( )2,0B ( )2 cos , 2 sinC θ θ
( ) ( )2 cos , 2 sin 2 2 cos 2, 2 sin 2 2 2 sin 4AC BC
πθ θ θ θ θ ⋅ = − ⋅ − = − +
sin 14
πθ + = − 2 2 2+
2 2
2 2: 1 0, 0)x yC a ba b
− = > >（ y b=
OMN
2 3 5
【答案】A
【解析】
为直角三角形，结合对称性可知，双曲线 的渐近线为：
即
本题正确选项：
7．（2020·山东省仿真联考 3）已知点 在圆 上， ， ， 为 中点，则
的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，因为为 中点，所以 ，所以 ，
因为点 在圆 上，则 ,不妨令 ，
则 ，
令 ，则
所以当且仅当 时， 取最大值 ，故 .故选 C.
8．（2020·山东省仿真联考 2）设曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 ，最小
值为 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】
将 x 化为：x2+（y﹣1）2＝1，
OMN∆ C y x= ±
1b
a
= 2 2 2c a b a∴ = + = 2ce a
∴ = =
A
P 2 2 4x y+ = ( 2,0)A − (2,0)B M BP
sin BAM∠
1
4
10
10
1
3
1
2
( ),P x y BP 2M ,2 2
x y+
2tan 2 622
y
yBAM x x
∠ = =+ ++
P 2 2 4x y+ = 2 2x− ≤ ≤ 0y >
( )
( )
( ) ( )
22
2 2 2
6 12 404 12 32tan 16 66 6 6
x xy xBAM x xx x x
− + + +−∠ = = = = − + −+ ++ + +
1 1 1t ,6 8 4x
= ∈ +
2
2 3 1tan 1 12 32 32 16 8BAM t t t ∠ = − + − = − − +
3
16t = tan BAM∠ 2
4
1sin 3BAM∠ =
22x y y= − 2 0x y− − = a
b −a b
2
2 2 2 12
+
22y y= −
∴圆心（0，1），半径 r＝1，
∵圆心到直线 x﹣y﹣2＝0 的距离 d ，
∴圆上的点到直线的最小距离 b 1，
最大值为（0，2）到直线的距离，即 a 2
则 a﹣b 1．
故选：C．
9．（2020·山东省仿真联考 2）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 且垂直于
轴的直线与该双曲线的左支交于 两点， 分别交 轴于 两点，若 的周长为 12，则 取得
最大值时该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得 ①，且 分别为 的中点．由双曲线定义，知
②， ③，联立①②③，得 ．因为
的周长为 12，所以 的周长为 24，即 ，亦即 ，所以 ．令
，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，此时 ，所以 ，所以 ，
故选 C．
10．（2020·山东省滨州市三模）已知抛物线 与圆 相交于 A，B 两点，点 M
为劣弧 上不同 A，B 的一个动点，平行于 轴的直线 MN 交抛物线于点 N，则 的周长的取值范围
为（ ）
A．(3，5) B．(5，7) C．(6，8) D．(6，8]
【答案】C
3 2
2
=
3 2
2
= −
4
2
= = 2
2
2
= +
2 4C y x=： ( )2 21 9： − + =E x y
AB x MNE
【解析】
画出图象如下图所示.圆 的圆心为 ，半径为 ，抛物线的焦点为 ，准线为 .
由 解得 ，所以 .
设平行于 轴的直线 交抛物线的准线 于 ，根据抛物线的定义可知 ，
所以 的周长为 .
而 ，所以 .
也即 周长的取值范围是 .
故选：C
11．（2020·山东省济南市 6 月模拟）已知双曲线 C 的方程为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线 C 的实轴长为 8 B．双曲线 C 的渐近线方程为
C．双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D．双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为
【答案】D
【解析】
由双曲线 C 的方程为 得： . 双曲线 C 的实轴长
E ( )1,0 3 ( )1,0 1x = −
( )
2
2 2
4
1 9
y x
x y
= − + =
( ) ( )2,2 2 , 2, 2 2A B − 2 4mx< < x MN 1x = − D NE ND= MNE 3 3ME NE MN ND MN MD+ + = + + = + ( )1 3,5mMD x= + ∈ ( )3 6,8MD+ ∈ MNE ( )6,8 2 2 116 9 x y− = 3 4y x=± 9 4 2 2 116 9 x y− = 2 216, 9,a b= = 2 24, 3, 5a b c a b∴ = = = + = ∴
为 ,故选项 正确.双曲线 C 的渐近线方程为 ，故选项 正确.取焦点 ，则
焦点 到渐近线 的距离 ，故选项 正确.双曲线 C 上的点到焦点距离的最
小值为 ，故选项 错误.
故选： .
12．（2020·山东省济宁市 6 月三模）已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线 C 的两个
交点分别为 A，B，且满足 为 AB 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题得抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，
设 ， ， ， ，
， ， ，
， ， ， .
线段 的中点到该抛物线准线的距离为 .
故选：B.
13．（2020 届山东省青岛市三模）若直线 ， ． ， 与
平行，则下列选项中正确的（ ）
2 8a = A 3
4
= ± = ±by x xa B ( )5,0F
( )5,0F 3
4y x=± 2 2
3 5 3
3 4
d
×= =
+ C
5 4 1c a− = − = D
D
2: 4C y x=
2 ,AF FB E=
11
4
9
4
5
2
5
4
2 4y x= (1,0) 1x = −
1(A x 1)y 2(B x 2 )y
2 ,AF FB=
| | 2 | |AF BF∴ = 1 21 2( 1)x x∴ + = + 1 22 1x x∴ = +
2 2
1 2 1 2| | 2 | |, y 4y y y= ∴ = 1 24x x∴ = 1 2x∴ = 2
1
2x =
∴ AB 1 2
1 9[( 1) ( 1)]2 4x x+ + + =
2
1 : 3 2 0l a x y− + = 2 : 2 5 0l ax y a+ − = : 0p a = 1:q l 2l
A．p 是 q 的必要非充分条件 B．q 是 p 的充分非必要条件
C．p 是 q 的充分非必要条件 D．q 是 p 的非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
因为 与 平行，所以 或 .
经检验，当 或 时，两直线平行.
设 ， 或 ，
因为 ,
所以 p 是 q 的充分非必要条件.
故选：C.
14．（2020·山东省青岛市二模）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，曲线 为椭圆，其焦距为
B．当 时，曲线 为双曲线，其离心率为
C．存在实数 使得曲线 为焦点在 轴上的双曲线
D．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线与圆 相切
【答案】B
【解析】
对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为椭圆，
焦距 ， 错误；
对于 ，当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为双曲线，
则 ， ， 离心率 ， 正确；
对于 ，若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，解集为空集，
1l 2l 2 5 ( 3) 2 0, 0a a a× − − × = ∴ = 6
5a = −
0a = 6
5a = −
{ | 0}A a a= = { | 0B a a= = 6}5a = −
A B
C ( )2 2
2 12 6
x y kk k
− = ∈− − R
8k = C 4 15+
2k = C 3
k C y
3k = C ( )2 24 9x y− + =
A 8k = C
2 2
162 2
x y+ =
2 2 62 2 4 15c = − = A
B 2k = C
2 2
12 4
x y− =
2a = 6c = ∴ 3= =ce a B
C C y 2
6 0
2 0
k
k
− >
1F 2F A A 3
3
M
1 2 0MF MF⋅ =
2 21
3
13
3
5
3
【答案】B
【解析】
双曲线 的渐近线方程为 ，
设点 ，
因为 ，即 为直角三角形，且 为直角，
所以 ，则 上，
解得 ，
故 ，又 ，
所以直线 的斜率 ，所以 ，
故该双曲线的离心率 .
故选：B.
二、多选题
18．（2020·山东省德州市 6 月二模）抛物线 的焦点为 F，P 为其上一动点，设直线 l 与抛物线 C
相交于 A，B 两点，点 下列结论正确的是（ ）
A．|PM| +|PF|的最小值为 3
B．抛物线 C 上的动点到点 的距离最小值为 3
C．存在直线 l，使得 A，B 两点关于 对称
D．若过 A、B 的抛物线的两条切线交准线于点 T，则 A、B 两点的纵坐标之和最小值为 2
【答案】AD
【解析】
A．设 是抛物线的准线，过 作 于 ，则 ，当且仅当 三
点共线时等号成立．所以 最小值是 3，A 正确；
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > by xa
= ±
, bM m ma
1 2 0MF MF⋅ =
1 2MF F∆ 1 2F MF∠
1 2
1
2OM F F=
2
2 2bmm ca
+ =
m a=
( ),M a b ( ),0A a−
AM 3
2 3
bk a
= =
2
2
4
3
b
a
=
2
2
211 3
c be a a
= = + =
2 4C x y=：
( )2 2 ,M ，
( )0,3H
3 0x y+ − =
l P PN l′⊥ N 3PM PF PM PN+ = + ≥ , ,P M N
PM PF+
B．设 是抛物线上任一点，即 ， ，
时， ，B 错误；
C．假设存在直线 ，使得 A，B 两点关于 对称，设 方程为 ，由
得 ，
所以 ， ，设 ，则 ， 中点为 ，则
， ， 必在直线 上，
所以 ， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；
D．设 ，由 即 ，得 ，则切线 方程为 ，
即 ，同理 方程是 ，
由 ，解得 ，由题意 在准线 上，
所以 ， ，
所以 ，
所以 时， 为最小值．D 正确．
故选：AD．
19．（2020·山东省德州市 6 月二模）直线 与圆 C： 相交于 A、B 两点,则
AB 长度可能为（ ）
( , )P x y 2 4x y= 2 2 2 2( 3) 4 ( 3) ( 1) 8PH x y y y y= + − = + − = − +
1y =
min 8 2 2PH = =
l 3 0x y+ − = l 0x y m− + =
2 4
0
x y
x y m
=
− + =
2 4 4 0x x m− − =
16 16 0m∆ = + > 1m > − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 4x x+ = AB 0 0( , )Q x y
1 2
0 22
x xx
+= = 0 0 2y x m m= + = + Q 3 0x y+ − =
2 2 3 0m+ + − = 1m = − l
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 4x y= 21
4y x= 1
2y x′ = AT 1 1 1
1 ( )2y y x x x− = −
2
1 1
1 1
2 4y x x x= − BT 2
2 2
1 1
2 4y x x x= −
2
1 1
2
2 2
1 1
2 4
1 1
2 4
y x x x
y x x x
= −
= −
1 2
1 2
1 ( )2
1
4
x x x
y x x
= +
=
T 1y = −
1 2
1 14 x x = − 1 2 4x x = −
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1( ) [( ) 2 ] ( ) 24 4 4y y x x x x x x x x+ = + = + − = + +
1 2 0x x+ = 1 2 2y y+ =
1y kx= − ( ) ( )2 23 3 36x y+ + − =
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】BC
【解析】
因为直线 过定点 ,故圆 的圆心 到直线 的距离的最大值为
.又圆 的半径为 6,故弦长 的最小值为 .
又当直线 过圆心时弦长 取最大值为直径 12,故 .
故选：BC
20．（2020·山东省滨州市三模）已知曲线 ，则曲线 的图形满足（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．所围成图形的面积为
【答案】ABCD
【解析】
设 是曲线上任意一点，由于曲线方程为 ，所以
都满足曲线方程，所以曲线 的图形满足关于 轴对称、关于 轴对称、关于原点对称，故 ABC 选项正确.
当 时，曲线方程为 ，即 ，
是圆心为 ，半径为 的圆在第一象限的部分，如下图阴影部分所示.
阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成，
其面积为 ，
根据对称性可知，曲线 所围成图形的面积为 .故 D 选项正确.
故选：ABCD
1y kx= − ( )0, 1− C ( )3,3− 1y kx= −
( ) ( )2 23 0 1 3 5− − + − − = C AB 2 22 6 5 2 11− =
1y kx= − AB 2 11,12AB ∈
2 2: 2 2C x y x y+ = + C
x y
8 4π+
( ),x y 2 2 2 2x y x y+ = + ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,x y x y x y x y− − − −
C x y
0, 0x y> > 2 2 2 2x y x y+ = + ( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
( )1,1 2
( )21 12 2 2 22 2
π π× × + × × = +
C ( )2 4 8 4π π+ × = +
21．（2020·山东省威海市三模）已知抛物线 上三点 ， ， ，
为抛物线的焦点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B． ，则 ， ， 成等差数列
C．若 ， ， 三点共线，则
D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 2
【答案】ABD
【解析】
把点 代入抛物线 ，得 ，所以抛物线的准线方程为 ，故 A 正确；
因为 ，所以 ， ， ，又由
，得 ，
所以 ，即 ， ， 成等差数列，故 B 正确；
因为 A，F，C 三点共线，所以直线斜率 ，即 ，所以 ，化简得，
，故 C 不正确；
设 AC 的中点为 ，因为 ， ，所以
( )2 2 0y px p= > ( )1 1,A x y ( )1,2B ( )2 2,C x y F
1x = −
0FA FB FC+ + = FA FB FC
A F C 1 2 1y y = −
6AC = AC y
(1,2)B 2 2y px= 2p = 1x = −
1 1 2 2( , ), (1,2), ( , ), (1,0)A x y B C x y F 1 1( 1, )FA x y= − (0,2)FB =
2 2( 1, )FC x y= −
0FA FB FC+ + =
1 2 2x x+ =
1 21 1 4 2FA FC x x FB+ = + + + = = FA FB FC
AF CFk k= 1 2
1 21 1
y y
x x
=− −
1 2
2 2
1 2
1 11 14 4
y y
y y
=
− −
1 2 4y y = −
0 0( , )M x y AF CF AC+ ≥ 1 2 01 1 2 2AF CF x x x+ = + + + = +
，得 ，
即 的中点到 轴距离的最小值为 2，故 D 正确.
故选：ABD
22．（2020·山东省仿真联考 1）已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，点 的
坐标为（0，1），点 为双曲线 左支上的动点，且 的周长不小于 14，则双曲线 的离心率可能
为( )
A． B． C． D．3
【答案】AC
【解析】
设双曲线 的左焦点为 ,则 ,即 ，故
.由题意可得 ，所以
，所以 .则双曲线 C 的离心率 .因为 .所以
双曲线 C 的离心率的取值范围为 .
故选：AC
23．（2020·山东省仿真联考 3）设 ， 是抛物线 上的两个不同的点， 是坐标原点．若直线
与 的斜率之积为 ，则（ ）．
A． B．以 为直径的圆的面积大于
C．直线 过定点 D．点 到直线 的距离不大于 2
【答案】CD
【解析】
不妨设 为第一象限内的点，
①当直线 轴时， ，由 ，
得 ， ，
02 2 6x + ≥ 0 2x ≥
AC y
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > ( )2 6,0F P
Q C PQF△ C
3 2 3 5
C F′ 2QF QF a′− = 2QF QF a′= +
2 2QF PQ QF PQ a PF a′ ′+ = + + ≥ + 24 1 5PF PF′= = + =
2 2 14PQ QF PF PF a+ ≥ + ≥+ 2a ≥ 2 6 6ce a a
= = ≤ 1e >
(1, 6
M N 2y x= O OM
ON 1
2
−
| | | | 4 2OM ON+ ≥ MN 4π
MN (2,0) O MN
M
MN x⊥ OM ONk k= − 1
2OM ONk k⋅ = −
2
2OMk = 2
2ONk = −
所以直线 ， 的方程分别为： 和 ．
与抛物线方程联立，得 ， ，
所以直线 的方程为 ，此时 ，
以 为直径的圆的面积 ，故 A、B 不正确．
②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
与抛物线方程联立消去 ，得 ，则 ．
设 ， ，则 ．
因为 ，所以 ，
则 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
综上可知，直线 为恒过定点 的动直线，故 C 正确；
易知当 时，原点 到直线 的距离最大，最大距离为 2，
即原点 到直线 的距离不大于 2．故 D 正确．
故选：CD
24．（2020·山东省泰安市模拟）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点
在圆 上，且圆 上的所有点均在椭圆 外，若 的最小值为 ，
且椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的焦距为 B．椭圆 的短轴长为
C． 的最小值为 D．过点 的圆 的切线斜率为
【答案】AD
【解析】
OM ON 2
2y x= 2
2y x= −
(2, 2)M (2, 2)N −
MN 2x = | | | | 2 6OM ON+ =
MN 2S π=
MN x MN y kx m= +
x 2 0ky y m− + = 1 4 0km∆ = − >
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2
my y k
=
1
2OM ONk k⋅ = − 1 2
1 2
1
2
y y
x x
⋅ = −
2 2
2 1 2 1 1 22y y x x y y= − = − 1 2 2y y = −
2m
k
= − 2m k= −
MN 2y kx k= − ( 2)y k x= −
MN (2,0)Q
OQ MN⊥ O MN
O MN
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > F P C Q
( ) ( )2 2: 3 4 4E x y+ + − = E C PQ PF− 2 5 6−
C E
C 2 C 3
PQ PF+ 2 5 F E 4 7
3
− ±
圆 的圆心为 ，半径长为 ，
由于椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则 ，可得 ，
设椭圆的左焦点为点 ，由椭圆的定义可得 ， ，
所以， ，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，
则 ， ，解得 ，
所以，椭圆 的焦距为 ，A 选项正确；
椭圆 的短轴长为 ，B 选项错误；
，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，C
选项错误；
若所求切线的斜率不存在，则直线方程为 ，圆心 到该直线的距离为 ，则直线 与
圆 相离，不合乎题意；
若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，整理得 ，解得 .
E ( )3,4E − 2
C E 2 4a = 2a =
1F 1 2 4PF PF a+ = = 14PF PF∴ = −
( )1 1 1 14 4 2 4 6 2 5 6PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF− = − − = + − ≥ + − − ≥ − = −
P Q E 1F P Q 1EF C E
( ) ( ) ( )2 2 2
1 3 4 0 3 16 2 5EF c c= − + + − = − + = 0 2c a< < = 1c = C 2 2c = C 2 22 2 2 3b a c= − = ( ) ( )2 22 2 3 1 4 0 2 4 2 2PQ PF PE PF EF+ ≥ + − ≥ − = − − + − − = − P Q E F P Q EF C E 1x = E 3 1 4 2− − = > 1x =
E
( )1y k x= − kx y k 0− − =
2 2
3 4 4 1 2
1 1
k k k
k k
− − − += =
+ +
23 8 3 0k k+ + = 4 7
3k
− ±=
D 选项正确.
故选：AD.
25．（2020·山东省潍坊市 6 月模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且
，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为 2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
D．若 ，则椭圆 的长轴长为
【答案】ACD
【解析】
A. 因为 ，所以 ，所以 ，
当 ，三点共线时，取等号，故正确；
B.若椭圆 的短轴长为 2，则 ，所以椭圆方程为 ， ，则点 在椭圆外，故
错误；
C. 因为点 在椭圆内部，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，即
，解得 ，所以 ，所以 ，所
以椭圆 的离心率的取值范围为 ，故正确；
D. 若 ，则 为线段 的中点，所以 ，所以 ，又 ，即 ，
解得 ，所以 ，所以椭圆 的长轴长为 ，
故正确.
故选：ACD
( )2 2
: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1F 2F
1 2 2F F = ( )1,1P Q
1QF QP+ 2 1a −
C
C 5 10, 2
−
1 1PF FQ= C 5 17+
1 2 2F F = ( )2 21,0 , 1=F PF 1 2 22 2 2 1+ = − + ≥ − = −QF QP a QF QP a PF a
2, ,Q F P
C 1, 2b a= = 2 2
12 1
x y+ = 1 1 12 1
+ > P
( )1,1P 1 1 1a b
+ < 1a b− = 1b a= − 1 1 11 + ( )2
1 53 5 6 2 5
2 4 4
++ +> = =a
1 5
2
+>a 1 5 1
2
−= >
( )2 22 3F x y− + =： C F C
2
2 13
yx − =
( )2 22 3F x y− + =： ( )2,0F C 2c∴ =
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > by xa
= ±
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > ( )2 22 3F x y− + =：
∴ ( )2,0F by xa
= 3
2 2
2 2
2 0 3, 3b b a
a b
− = ∴ =
+
2 2 2 4c a b= + =
2 21, 3a b∴ = =
∴ C
2
2 13
yx − =
2
2 13
yx − =
2 2
11
x y
m m
+ =−
y m
1(0, )2
2 2
11
x y
m m
+ =−
y
可得 ，解得： ，
所以实数 的取值范围为： .
故答案为： .
28．（2020·山东省威海市三模）已知双曲线 过左焦点且垂直于 轴的直线与双曲
线交于 ， 两点，以 ， 为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为 ，则
双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
设 ，当 ，代人双曲线方程 ，
解得： ，设 ，
根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是 ，
则 两点到渐近线的距离 ，
，上式去掉绝对值为 ，
即 ，那么 .
双曲线的离心率 .
故答案为：
29．（2020·山东省泰安市模拟）已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，点
A，B 在 C 的右支上，且点 恰好为 的外心，若 ，则 C 的离心率为
__________.
1 0m m− > > 10 2m< < m 1(0, )2 1(0, )2 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > x
P Q P Q 5a
3
2
( ),0F c− x c= − 2 2
2 2 1c y
a b
− =
2by a
= ±
2
, bP c a
−
2
, bQ c a
− −
by xa
=
,P Q
2 2
5
bc b bc b
ac c
− − − +
+ =
c b>
2 2
5bc b bc b ac c
+ −+ =
5
2
b
a
=
2
2
31 2
c b
a a
= + =
∴ 3
2e =
3
2
1 2F F， ( )2 2
2 2 1 0, 0x yC a ba b
− = > >：
2F 1F AB 1 1( ) 0BF BA AF+ ⋅ =
【答案】
【解析】
取 的中点为 C，连接 BC、 、 ，如图所示：
因为 ，所以 ，
又 C 为 的中点，所以 为等腰三角形且 ，
因为点 恰好为 的外心，所以点 在直线 BC 上，且 ，
由双曲线的定义知 ，则 ，
所以 为等边三角形，则 ，
在 中， 即 ，化简得 ，
同时除以 可得 ，解得 或 (舍去).
故答案为：
30．（2020·山东省青岛市二模）抛物线 过圆 的圆心，
为抛物线上一点，则 A 到抛物线焦点 F 的距离为__________.
【答案】5
【解析】
圆 的圆心为 ，即 ，代入抛物线方程得
3 1
2
+
1AF 2AF 2BF
1 1 1
1( ) 02BF BA AF BC AF+ ⋅ = ⋅ =
1BC AF⊥
1AF 1ABF 1BF BA=
2F 1F AB 2F 2 2 1 2 2AF BF F F c= = =
1 2 1 2 2AF AF BF BF a− = − = 1 1 2 2AF BF a c= = +
1ABF 2
3 32BC BF c= =
1CBF 2 2 2
1 1CB CF BF+ = ( ) ( )2 229 2 2c a c a c+ + = + 2 23 6 6 0a ac c+ − =
2a 22 2 1 0e e− − = 1 3
2e
+= 1 3
2
−
3 1
2
+
( )2 2 0y px p= > 2 2 4 8 19 0x y x y+ − + + = ( )3,A m
2 2 4 8 19 0x y x y+ − + + = 4 8,2 2
− − −
( )2, 4−
，所以抛物线方程为 ，其准线方程为 ， 则 A 到抛物线焦点 F
的距离等于 到抛物线准线的距离，即距离为 .
故答案为：
31．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知双曲线 ： 的左焦点为 ， 为
虚轴的一端点，若以 为圆心的圆与 的一条渐近线相切于点 ，且 ， ， 三点共线，则该双曲
线的离心率为________.
【答案】
【解析】
由题意可得 ， ，
双曲线的一条渐近线方程为 ，
可得 ， ，
在直角三角形 中，可得： ，
化为 ，
由 ，
可得 ，
由 ，可得 ，
解得 ，由 ，
( )24 2 2 4p p− = × ⇒ = 2 8y x= 2x = − ( )3,A m
A 3 2 5+ =
5
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F M
M C N M N F
1 5
2
+
( ),0F c− ( )0,A b−
0bx ay− =
2 2
ab abMN ca b
= =
+
2 2MF c b= +
MOF 2 2 2abb c bc
= ⋅ +
( )2 2 2 2 2b c a c b= +
2 2 2b c a= −
4 2 2 43 0c a c a− + =
ce a
= 4 23 1 0e e− + =
2 3 5
2e
±= 1e >
所以 ，解得 .
故答案为：
32．（2020·山东省济宁市 6 月三模）设双曲线 的左、右焦点分别为
，过 作 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为 A，点 Q 坐标为 且满足
，若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得 成立，则双曲线的离心率的取值
范围是___________.
【答案】
【解析】
将 代入双曲线的方程，得 ，所以 ，
又 ，得 ，所以 ，
所以 ；
因为 ，又在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得
成立，所以有 ，
即 ，解得： ，
又 ，所以 .
故答案为：
33．（2020·山东省济南市 6 月模拟）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，A，
2 3 5
2e
+= 1 5
2e
+=
1 5
2
+
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
− = > 0, >：
1 2 1 2, , 2F F F F c= 2F x 3, 2
ac
2 2F Q F A> 1 1 2
7
6PF PQ F F+ < 3 10,2 2 x c= 2 2 2 1c by b a a = ± − = ± 2 , bA c a 2 2F Q F A>
23
2
a b
a
>
2 3
2
b
a
1e > 3 10
2 2e< < 3 10,2 2 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > >
B 是椭圆上关于 轴对称的两点， 的中点 P 恰好落在 轴上，若 ，则椭圆 C 的离心率的
值为__________.
【答案】
【解析】
由于 的中点 P 恰好落在 轴上，又 A，B 是椭圆上关于 轴对称的两点，所以 过左焦点 且
，
则 .因为 是 的中点，则 .又 ，
则 .因为 ，则 ，即 .又
，
则 ，即 ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .
34．（2020·山东省德州市 6 月二模）已知双曲线 C 过点 且与双曲线 有相同的渐近线，
则双曲线 C 的标准方程为______.
【答案】
【解析】
由题意设所求双曲线方程为 ，因为双曲线过点
所以 ， ，所以双曲线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
x 2AF y 2 0BP AF⋅ =
3
3
2AF y x AB 1F
1 2AB F F⊥
2 2
, , ,b bA c B ca a
− − − P 2AF
2
0, 2
bP a
( )2 ,0F c
2 2
2
3, , 2 ,2
b bBP c AF ca a
= = −
2 0BP AF⋅ = 4
2
2
32 02
bc a
− =
232 bc a
=
2 2 2b a c= −
( )2 22 3ac a c= − 23 2 3 0e e+ − = 3
3e = 3e = −
3
3
( )2 3, 1 ,− 2 2
112 6
x y− =
2 2
110 5
x y− =
2 2
12 6
x y k− = ( )2 3, 1 ,−
12 1
12 6 k− = 5
6k = 2 2 5
12 6 6
x y− =
2 2
110 5
x y− =
2 2
110 5
x y− =
35．（2020·山东省仿真联考 2）已知抛物线 与直线 在第一、四象限分
别交于 A，B 两点，F 是抛物线的焦点，若 ，则 ________.
【答案】4
【解析】
直线 当 时， ，
直线 过抛物线的焦点， 三点共线，
联立直线与抛物线方程， ，
得 ，
解得： ， ，
， ，
.
故答案为：4
36．（2020·山东省仿真联考 1）已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 1 的直线 过点 ，
且与抛物线 交于 ， 两点，点 在抛物线 上，且点 在直线 的下方，若 面积的最大值
是 ，则抛物线 的方程是_______；此时，点 的坐标为_______.
【答案】
【解析】
设 ， ，由题意可得直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，所以 ， ，
则 ，故 ，
设 ，由题意可知当直线 与过点 ，且与抛物线 相切的直线平行时， 的面积取最大
2 2 ( 0)y px p= > : 4 3 2 0l x y p− − =
| | | |AF FBλ= λ =
:l 0y =
2
px =
∴ l , ,A F B
2 2
4 3 2 0
y px
x y p
=
− − =
2 28 17 2 0x px p− + =
2Ax p=
8B
px =
5
2 2A
pAF x p∴ = + = 5
2 8B
pBF x p= + =
4
AF
FB
λ = =
( )2: 2 0C x py p= > F l F
C A B M C M l MAB△
4 2 C M
2 4x y= ( )2,1
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l 2
py x= +
2
2
2
py x
x py
= +
=
2 22 0x px p− − = 1 2 2x x p+ = 2
1 2x x p= −
( )2
1 2 1 2 1 24 2 2x x x x x x p− = − − = 2
1 21 4AB k x x p= + − =
( )0 0,M x y l M C MAB△
值.
因为 ，所以 ，所以 .所以 ，则 ，
此时，点 到直线 的距离 ，故 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 ，此时点 的坐标为 .
故答案为： ，
37．（2020·山东省济南市二模）已知 ， 分别是双曲线 的左，右焦点，过点
向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点 ，直线 与 轴交于点 （ ， 在 轴同侧），连接 ，
若 的内切圆圆心恰好落在以 为直径的圆上，则 的大小为________；双曲线的离心率为
________．
【答案】
【解析】
如图所示：不妨取渐近线 ，易知 ，（否则不能与右支相交）.
则直线 为： ，即 ，
设内切圆圆心为 ，根据对称性知 在 轴上，
的内切圆圆心恰好落在以 为直径的圆上，故 ，故 ，
到直线 的距离为： ，
设直线 ： ，即
到直线 的距离为： ，
化简整理得到 ，解得 或 ，
当 时，直线 与 的交点横坐标为 ，不满足题意，舍去.
21
2y xp
= 1y xp
′ = 0
1 1k xp
= = 0x p= , 2
pM p
M l 2
22
p pd = = 1 24 4 22 2
pp× × = 2p =
C 2 4x y= M ( )2,1
2 4x y= ( )2,1
1F 2F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1F
P 2F P y Q P Q x 1QF
1PQF△ 1 2F F 1 2F PF∠
2
π
5
by xa
= b a>
1F P ( )ay x cb
= − + 0ax by ac+ + =
1O 1O y
1PQF△ 1 2F F 1 1 1 2O F O F⊥ ( )1 0,O c−
1O 1PF 1 2 2
ac bcd b a
a b
−= = −
+
2PF ( )y k x c= − 0kx y kc− − =
1O 2PF 2 121
c kcd d b a
k
−= = = −
+
( )2 2 2 0abk a b k ab− + + = bk a
= ak b
=
ak b
= ( )ay x cb
= − + ( )ay x cb
= − 0
故直线 ： ，故 ， ，
联立方程得到 ，解得 ，
代入双曲线方程得到： ，化简整理得到： ，故 .
故答案为： ； .
38．（2020·山东省最后一卷）已知双曲线 ，F1，F2 是双曲线的左右两个焦点，
P 在双曲线上且在第一象限，圆 M 是△F1PF2 的内切圆.则 M 的横坐标为_________，若 F1 到圆 M 上点的最
大距离为 ，则△F1PF2 的面积为___________.
【答案】1
【解析】
双曲线的方程为 ，则 .
2PF ( )by x ca
= − 1 2PF PF⊥ 1 2 2F PF
π∠ =
( )
( )
ay x cb
by x ca
= − +
= −
2 2 2,b a abP c c
− −
( )22 2 2 2
2 2 2 2
4 1
b a a b
a c b c
−
− = 2 25c a= 5e =
2
π
5
2
2 18
yx − =
4 3
24 3
2
2 18
yx − = 1, 2 2, 1 8 3a b c= = = + =
设圆 分别与 相切于 ，
根据双曲线的定义可知 ，根据内切圆的性质可知
①，
而 ②. 由①②得： ，所以 ,
所以直线 的方程为 ，即 的横坐标为 .
设 的坐标为 ，则 到圆 M 上点的最大距离为 ，
即 ，解得 .
设直线 的方程为 ，即 .
到直线 的距离为 ，解得 .
所以线 的方程为 .
由 且 在第一象限，解得 .
所以 ， .
所以△F1PF2 的面积为 .
故答案为： ；
M 1 2 1 2, ,PF PF F F , ,B C A
1 2 2PF PF− =
( )1 2 1 2 1 2 1 2 2PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A− = + − + = − = − =
1 2 1 2 6F A F A F F+ = = 1 24, 2F A F A= = ( )1,0A
MA 1x = M 1
M ( )( )1, 0M r r > 1F 1 4 3MF r+ =
2 24 4 3r r+ + = 4 3
3r =
1PF ( )( )3 0y k x k= + > 3 0kx y k− + =
M 1PF
2
4 3 33 4 3
31
k k
k
− +
=
+
3k =
1PF ( )3 3y x= +
( )
2
2
3 3
18
y x
yx
= +
− =
P ( )5,8 3P
( ) ( )22
1 5 3 8 3 16PF = + + = 2 1 2 14PF PF a= − =
( )1 2 1 2
1
2 PF PF F F r× + + ⋅ ( )1 4 316 14 62 3
= × + + × 24 3=
1 24 3
四、解答题
39．（2020·山东省潍坊市 6 月模拟）设抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点，且线段
的中点坐标为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若 ， 为抛物线 上的两个动点（异于点 ），且 ，求点 的横坐标的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）依题意得 ，设 ，由 的中点坐标为 ，得 ，
即 ， ，所以 ，得 ，即 ，
所以抛物线 的标准方程为 ；
（2）由题意知 ，设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， 所在直线方程为 ，
( )2: 2 0E x py p= > F A E
AF ( )1,1
E
B C E A BA BC⊥ C
2 4x y= ( ) [ ), 6 10,−∞ − +∞
0, 2
pF
( )0 0,A x y AF ( )1,1
0
0
1 2
21 2
x
py
=
+
=
0 2x = 0 2 2
py = − 4 2 2 2
pp = −
2 4 4 0p p− + = 2p =
E 2 4x y=
( )2,1A
2
1
1, 4
xB x
2
2
2 , 4
xC x
( )
2
1
1
1
1 14 22 4BA
x
k xx
−
= = +−
1 2x ≠ −
1
4
2BCk x
= − + BC ( )2
1
1
1
4
4 2
xy x xx
−− = −+
联立 ，
因为 ，得 ，即 ，
因为 ，即 ，故 或 .
经检验，当 时，不满足题意；
所以点 的横坐标的取值范围是 .
40．（2020·山东省威海市三模）已知 是椭圆 ： 上一点，以点 及椭圆
的左、右焦点 ， 为顶点的三角形面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）过 作斜率存在且互相垂直的直线 ， ， 是 与 两交点的中点， 是 与 两交点的中点，
求△ 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】
解：（Ⅰ）由点 在椭圆上可得 ，
整理得 ①．
，解得 ，
所以 ，代入①式整理得 ，
解得 ， ．
所以椭圆的标准方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，所以设直线 ： ，
( )2
1
1
1
2
4
4 2
4
xy x xx
x y
−− = − +
=
1x x≠ ( )( )1 1 2 16 0x x x+ + + = ( )2
1 12 2 16 0x x x x+ + + + =
( ) ( )22 4 2 16 0x x∆ = + − + ≥ 2 4 60 0x x− − ≥ 10x ≥ 6x ≤ −
6x = −
C ( ) [ ), 6 10,−∞ − +∞
( )2, 3P C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > P
1F 2F 2 3
C
2F 1l 2l M 1l C N 2l C
2MNF
2 2
18 4
x y+ = 4
9
( )2, 3P 2 2
2 3 1a b
+ =
2 2 2 22 3b a a b+ =
1 2
1 2 3 2 32PF FS c= × × =V 2c =
2 2 2 2 4a b c b= + = + 4 2 12 0b b− − =
2 4b = 2 8a =
2 2
18 4
x y+ =
( )2 2,0F 1l 2x my= +
联立直线与椭圆的方程 ，整理得 ．
所以直线 与椭圆两交点的中点 的纵坐标 ，
同理直线 与椭圆两交点的中点 的纵坐标 ，
所以 ，
将上式分子分母同除 可得，
，
不妨设 ，令 ， ，则 ，
令 ， ，因为 ，所以 ，
所以 在 单调递增，
所以当 时，三角形△ 面积取得最大值 ．
41．（2020·山东省泰安市模拟）已知点 ，点 P 在直线 上运动，请点 Q 满足
，记点 Q 的为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）设 ，过点 D 的直线交曲线 C 于 A，B 两个不同的点，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）设 ，由 可得 ，
2 2
2
18 4
x my
x y
= + + =
( )2 22 4 8 0m y my+ + − =
1l M 1 2
2
2
2 2M
y y my m
+= = +
2l N 2
2
2
2
1 2 12
N
mmy m
m
− −= = ++
2
2
2 2 2
1 1 11 12 2MNF M NS MF NF m y ym
= = + ⋅ +△
( )2
4 2
2 1
2 5 2
m m
m m
+
= + +
( )
( )
2
22 2
2 1
2 1
m m
m m
+
=
+ +
( )21m m+
2 2
2
2
12 1
MNFS m m
m m
= + + +
△
0m >
2 1m tm
+ = 2t ≥ 2
2
12
MNFS
t t
=
+
△
( ) 12f t t t
= + ( ) 2
2
2 1' tf t t
−= 2t ≥ ( )' 0f t >
( )f t [ )2,+∞
2t = 2MNF max
2 4
1 94 2
S = =
+
( )0, 2M − 21 216y x= +
1
2MQ MP=
( ) ( )0,3 , 0, 3D E − 2AEB AED∠ = ∠
2 8x y=
( ) ( )0 0, , ,Q x y P x y 1
2MQ MP= ( ) ( )0 0
1, 2 , 22x y x y+ = +
所以 即 ，
因为点 P 在曲线 上，
所以 即 ，整理得 .
所以曲线 C 的方程为 ；
（2）证明：当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意；
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ， ，
由 ，消去 得 ， ，
可知 ， ，
直线 AE，BE 的斜率之和为
，
故 AE，BE 的倾斜角互补，
，
.
42．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分 6 月模拟）已知椭圆 的左，右两个焦
点为 、 ，抛物线 与椭圆 有公共焦点 .且两曲线 、 在第一象限的
交点 的横坐标为 .
（1）求椭圆 和抛物线 的方程；
（2）直线 与抛物线 的交点为 、 （ 为坐标原点），与椭圆 的交点为 、 （ 在线
段 上），且 .问满足条件的直线 有几条，说明理由.
0
0
1
2
22 2
x x
yy
= + + =
0
0
2
2 2
x x
y y
=
= +
21 216y x= +
2
0 0
1 216y x= + ( )212 2 2 216y x+ = ⋅ + 2 8x y=
2 8x y=
3y kx= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2
3
8
y kx
x y
= +
=
x 2 8 24 0x kx− − = 264 96 0k∆ = + >
1 2 8x x k+ = 1 2 24x x⋅ = −
1 2 1 2
1 2 1 2
3 3 6 6
AE BE
y y kx kxk k x x x x
+ + + ++ = + = +
( )1 2 1 2
1 2
2 6 48 48 024
kx x x x k k
x x
+ + − += = =−
∴ AED BED∠ = ∠
∴ 2AEB AED∠ = ∠
( )2 2
1 2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > >
1F 2F 2
2 : 4 ( 0)C y mx m= > 1C ( )2 1,0F 1C 2C
P 2
3
1C 2C
:l y kx= 2C Q O O 1C M N N
OQ MO NQ= l
【答案】（1） ； ；（2）满足条件的直线 有 条，理由见解析.
【解析】
（1）由于椭圆 和抛物线 的公共焦点为 ，故椭圆 的焦点坐标为 .
所以 ，所以抛物线 的方程 ，
由点 在抛物线上，所以 ，
又点 又在椭圆 上，所以 ，
所以 ，又 ，故 ，
从而椭圆 的方程为 ；
（2）联立直线与椭圆方程得 ，得 ，
解得 ， .
联立直线与抛物线得 ，得 ，解得 ， ，
由 ，故 为线段 的中点，
即 ，得 ，
2 2
1 : 14 3
x yC + = 2
2 : 4C y x= l 2
1C 2C ( )2 1,0F 1C ( )1,0±
1m = 2C 2 4y x=
P
2 2 6,3 3P
P 1C
2 22 22 2 6 2 2 62 1 1 43 3 3 3a
= − + + + + =
2a = 1c = 3b =
1C
2 2
14 3
x y+ =
2 2
14 3
y kx
x y
= + =
2 2 23 4 12x k x+ =
2
32 3 4Mx k
= − + 2
32 3 4Nx k
= +
2 4
y kx
y x
=
=
2 2 4k x x= 0Ox =
2
4
Qx k
=
MO NQ= N OQ
2
O Q
N
x xx
+= 2 2
3 44 3 4k k
=+
化简得 ，解得 （负值含去），
故满足题意的 值有 个，从而存在过原点 的有两条直线 满足题意.
43．（2020·山东省青岛市二模）已知 为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，双曲
线 的渐近线与椭圆 的交点到原点的距离均为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点 为椭圆 上的动点， 三点共线，直线 的斜率分别为 .
（i）证明： ；
（ii）若 ，设直线 过点 ，直线 过点 ，证明： 为定值.
【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意知： ， …①，
双曲线 的渐近线方程为 ，
可设双曲线的渐近线与椭圆 在第一象限的交点为 ，
，解得： .
在椭圆上， ，即： …②，
由①②解得： ， ，
椭圆 的标准方程为： .
（2）由题意知： 关于原点对称，则可设 ， ， .
4 23 4 3 0k k− − = 2 2 13
3k
+=
k 2 O l
O ( )2 2
: 1 0x yC a ba b
+ = > > 3
2
2
2 14
x y− = C 10
2
C
, ,D M N C , ,M O N ,DM DN 1 2,k k
1 2
1
4k k = −
1 2 0k k+ = DM ( )0,m DN ( )0,n 2 2m n+
2
2 14
x y+ =
c
2 2 2
2 2
31 2
c a b be a a a
−= = = − = 2a b∴ =
2
2 14
x y− = 1
2y x= ±
∴ C ( )2 ,P t t
( )22 102 2t t∴ + = 2 1
2t =
( )2 ,P t t
2 2
2 2
4 1t t
a b
∴ + = 2 2
2 1 12a b
+ =
2a = 1b =
∴ C
2
2 14
x y+ =
,M N ( )1 1,D x y ( )2 2,M x y ( )2 2,N x y− −
（i） 点 在椭圆 上， ， ，
， ，
.
（ii）不妨设 ， ，
， ， ， ，
直线 过点 ，直线 过点 ，
直线 ， ，
由 得： ， ，
由 得： ， ，
，即 ，
为定值 .
44．（2020 届山东省青岛市三模）已知直线 过坐标原点 O 且与圆 相交于点 A，B，圆 M 过点
A，B 且与直线 相切．
（1）求圆心 M 的轨迹 C 的方程；
（2）若圆心在 x 轴正半轴上面积等于 的圆 W 与曲线 C 有且仅有 1 个公共点．
（ⅰ）求出圆 W 标准方程；
（ⅱ）已知斜率等于 的直线 ，交曲线 C 于 E，F 两点，交圆 W 于 P，Q 两点，求 的最小值及此时
,D M C
2
21
1 14
x y∴ + =
2
22
2 14
x y+ =
2
2 1
1 1 4
xy∴ = −
2
2 2
2 1 4
xy = −
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 14 4 1
4
x x
y y y y y yk k x x x x x x x x
− − − − + − ∴ = ⋅ = = = −− + − −
1 0k > 2 0k < 1 2 1 4k k = − 1 2 0k k+ = 1 1 2k∴ = 2 1 2k = − DM ( )0,m DN ( )0,n ∴ 1: 2DM y x m= + 1: 2DN y x n= − + 2 2 1 2 14 y x m x y = + + = 2 22 2 2 0x mx m+ + − = 2 1 2 2 2x x m∴ = − 2 2 1 2 14 y x n x y = − + + = 2 22 2 2 0x nx n− + − = 2 1 2 2 2x x n∴− = − ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 4 0x x x x m n∴ + − = + − = 2 2 2m n+ = 2 2m n∴ + 2 1l 2 2 4x y+ = 2 0y + = 2π 1− 2l EF PQ
直线 的方程．
【答案】（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ） 的最小值为 ，此时直线 的
方程为 ．
【解析】
（1）由题意圆 的圆心为 ，半径为 2，直线 过坐标原点 O，
所以坐标原点 O 为 AB 的中点， ，
所以 ，
设 ，所以 ，
又因为圆 M 与直线 相切，所以圆 M 的半径 ，
所以 ，化简得 M 的轨迹 C 的方程为 ；
（2）（ⅰ）由（1）知曲线 C 为 ，设 ，则 ，
设圆 W 与曲线 C 的公共点为 ，
则曲线 C 在 T 的切线 l 的斜率 ，
由题意，直线 l 与圆 W 相切于 T 点，
设圆 W 的标准方程为 ，则圆 W 的的圆心为 ，
则直线 WT 的斜率 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以
令 ，则 ，所以
2l
2 4x y= ( )2 23 2x y− + = EF
PQ 2 6+ 2l
2 3 1y x= − + −
2 2 4x y+ = ( )0,0 1l
2AO =
MO AO⊥
( ),M x y 2 2 2MO OA MA+ =
2 0y + = 2r y MA= + =
( )22 2 4 2x y y+ + = + 2 4x y=
2
4
xy = ( ) 2
4
xf x = ( )
2
xf x′ =
( )2
, 04
tT t t
>
( )
2
tk f t′= =
( ) ( )2 2 2 0x a y a− + = > ( ),0a
( )
2
24
4WT
t
tk t a t a
= =− −
l WT⊥ ( )
2
12 4
t t
t a
⋅ = −− ( )3 8 0t t a+ − =
( )
22
2 24
tt a
− + =
2 23 2
28 4
t t − + =
6 44 128 0t t+ − =
2t λ= 3 24 128 0λ λ+ − = ( ) ( )3 2 24 8 128 0λ λ λ− + − =
即 ，所以 ，
所以 ， ，
从而圆 W 的标准方程为 ；
（ⅱ）设 ， ，直线 ，
由 得 ，所以 ， ，
所以 ，
又因为圆 W 的圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，
由于 与曲线 C、圆 W 均有两个不同的交点， ，解得 ，
令 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 ，亦 时取等号，
当 时， 的最小值为 ，
此时直线 的方程为 .
( )( )24 8 32 0λ λ λ− + + = 4λ =
2t = 3a =
( )2 23 2x y− + =
( )1 1,E x y ( )2 2,F x y 2 :l y x m= − +
2 4
y x m
x y
= − +
=
2 4 4 0x x m+ − = 1 2 4x x+ = − 1 2 4x x m=−
( ) ( )2
1 2 1 22 4 4 2 1EF x x x x m= ⋅ + − = +
( )3,0 PQ 3
2
m −
2
232 2 2 12 10
2
mPQ m m
− = − = − + −
( )
22
4 2 1 14 6 52 12 10
mEF m
PQ m mm m
+ += = − + −− + −
2l ∴
16 16 0
3 2
2
m
m
∆ = + >
− >
2 5
5 OAB∆
l / /l 1 2,k k 1 2k k⋅
2
2 14
x y+ =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( ,0)A a (0, )B b
1x y
a b
+ = 0bx ay ab+ − =
2 2
2 5
5
ab
a b
=
+
2 2 2 24 54a b a b+ =
1 12 ab = 2ab =
2, 1a b= =
2
2 14
x y+ =
2 2 0x y+ − = 1
2
−
l ( ) ( )1 1 2 2
1 , , , ,2y x t C x y D x y= − +
2
2
1
2
14
y x t
x y
= − +
+ =
2 22 2 1 0y ty t− + − =
2
1 2 1 2
1, 2
ty y t y y
−+ = =
1 2 1 2 1
1 2
1 2 1 2 2
1
2 2
y y y y yk k x x x x x
− −⋅ = ⋅ =− −
所以
，
所以 ，即 为定值.
46．（2020·山东省临沂市、枣庄市临考演练）已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、
右焦点分别为 ， ，点 为坐标平面内的一点，且 ， ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 的左顶点， ， 是椭圆 上两个不同的点，直线 ， 的倾斜角分别为 ，
，且 .证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标，
【答案】（1） ；（2）证明见解析，定点 .
【解析】
（1）设 点坐标为 ， ，
则 ，
由题意得
解得 .∴ .
又 ，∴
∴
∴所求椭圆 的方程为：
（2）由题可知直线 的斜率存在，则设直线 方程为 ， ， 坐标为 ，
( )( ) ( ) ( )2
1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 22 4 4 4x x x t y t y t y t t y y y y t y − = − − − − = − + + − +
( ) ( )( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 14 4y y y y y y y y y y y y y y = + − + + + − + + = −
( )1 2 1
1 2
1 2 1
1
4 4
y y yk k y y y
−⋅ = =− 1 2
1
4k k =
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2
1F 2F P 3
2OP =
1 2
3
4PF PF⋅ = − O
C
M C A B C MA MB α
β π
2
α β+ = AB
2
2 14
x y+ = 10 ,03
−
P ( )0 0,x y 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c
( )1 0 0,PF c ax y= − − − ( )2 0 0,PF c x y= − −
( )( )
2 2
0 0
2
0 0 0
9
4
3
4
x y
x c x c y
+ =
+ − + = −
2 3c = 3c =
3e 2
c
a
= = 2a =
2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 14
x y+ =
AB AB y kx m= + A B ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
解方程组
∴
∴ ，
又由 ，∴ ，
设直线 ， 斜率分别为 ， ，则
∴
即：
∴
∴
化简得：
得： ，或
当 时， ，过点（-2，0），不合题意（舍去）
当 时， ，过点 ，
∴直线 恒过定点 .
47．（2020·山东省济宁市 6 月三模）已知点 F 为椭圆 的右焦点，点 A 为椭圆的右顶点.
（1）求过点 F、A 且和直线 相切的圆 C 的方程；
（2）过点 F 任作一条不与 轴重合的直线 ，直线 与椭圆交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与直线
相交于点 M，N.试证明：以线段 MN 为直径的圆恒过点 F.
2
2 14
x y
y kx m
+ =
= +
( )2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
4 1
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 4
4 1
mx x k
−= +
π
2
α β+ = tan tan 1α β⋅ =
MA MB 1k 2k 1 2 1k k =
1 2
1 2
12 2
y y
x x
⋅ =+ +
( )( )1 2 1 22 2x x y y+ + =
( )( ) ( )( )1 2 1 22 2x x kx m kx m+ + = + +
( ) ( )2 2
1 2 1 21 ( 2) 4 0k x x km x x m− + − + + − =
( ) 2
2 2
2 2
4 4 81 ( 2) 4 04 1 4 1
m kmk km mk k
− − + − + − = + +
2 220 16 3 0k km m− + =
2m k= 10
3m k=
2m k= 2y kx k= +
10
3m k= 10
3y kx k= + 10 ,03
−
AB 10 ,03
−
2 2
19 8
x y+ =
9x =
x l l 9x =
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由已知得：
圆 C 的圆心一定在线段 AF 中垂线 上
由圆 C 与直线 相切，得：圆 C 的半径
设圆 C 的圆心坐标为 ，则有：
，
即圆心
圆 C 的方程为：
（2）证明：当直线 斜率不存在时，其方程为 ,
联立 ,解得 ，又因为 .
所以直线 为 .
可求得 M,N 两点坐标分别为 或 ，又
的斜率之积为：
.
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为：
联立方程组： ，
消去 整理得：
( ) ( )222 4 3 49x y− + ± =
3, 2 2, 1a b c= = =
( ) ( )3,0 , 1,0A F∴
∴ 1 3 22x += =
9x = 9 2 7r = − =
( )2,C m
( ) ( )2 23 2 0 7, 4 3r AC m m= = − + − = = ±
( )2, 4 3C ±
∴ ( ) ( )222 4 3 49x y− + ± =
l 1x =
2 2
1
19 8
x
x y
= + =
1
8
3
x
y
= = ±
(3,0)A
PM QA、 4 ( 3)3y x= ± −
( ) ( )9,8 , 9, 8M N − ( ) ( )9, 8 , 9,8M N− ( )1 0F ，
,FM FN∴ 8 0 8 0 19 1 9 1FM FNk k
− − −⋅ = ⋅ = −− −
FM FN∴ ⊥
l l ( ) ( ) ( )1 1 2 21 , , , ,y k x P x y Q x y= −
( )
2 2
1
19 8
y k x
x y
= − + =
y ( )2 2 2 28 9 18 9 72 0k x k x k+ − + − =
2 2
1 2 1 22 2
18 9 72,8 9 8 9
k kx x x xk k
−∴ + = =+ +
又设
由 P,A,M 共线得： ，
由 Q,A,N 共线得： ，
所以 FM,FN 的斜率之积为：
综上可知：恒有
以线段 MN 为直径的圆恒过点 F.
48．（2020·山东省最后一卷）已知椭圆 E： 经过点 ，且焦
距为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，记直线 、 的斜率分别为 ，
，若 ，求直线 的方程.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
(1)由条件 ，又 ，联立解得
椭圆 的方程： .
( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x= − ⋅ − = − + +
( ) ( )9, , 9,M NM y N y
1 1
1 1
0 0 6,3 9 3 3
M
M
y y yyx x
− −= =− − −
2 2
2 2
0 0 6,3 9 3 3
N
N
y y yyx x
− −= =− − −
( )( )1 2
1 2
0 0 9
9 1 9 1 64 16 3 3
M N M N
FM FN
y y y y y yk k x x
− −⋅ = ⋅ = =− − − −
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
22 2
1 2 1 2
2 2
9 72 189 19 1 8 9 8 9 64 9 116 3 9 16 369 72 3 1816 98 9 8 9
k kkk x x x x k k k
x x x x kk k
k k
− − + − + + + + − × = = = = −− + + × − × − + + +
FM FN∴ ⊥
FM FN⊥
∴
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3( 1, )2
−
2
E
A E 2F l E P Q AP AQ 1k
2k 1 2
1
2k k+ = − l
2 2
14 3
x y+ = 2 2 0x y− − =
2 2 2 1c a b= − = 2 2
1 9 14a b
+ = 2, 3a b= =
E
2 2
14 3
x y+ =
(2)由条件得 ， ，
若 的斜率不存在，由对称性知 ，不符合要求；
若 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 方程为 ，
联立 ，得
设 ，则
所以
，
所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 .
49．（2020·山东省济南市 6 月模拟）已知平面上一动点 A 的坐标为 .
（1）求点 A 的轨迹 E 的方程；
（2）点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为 .
（i）证明直线 AB 过定点，并求出定点坐标；
（ii）分别以 A，B 为圆心作与直线 相切的圆，两圆公共弦的中点为 H，在平面内是否存在定点 P，
使得 为定值？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）（i）证明见解析；定点 （ii）存在；点
【解析】
（1）设动点 A 的坐标为 ，
( 2,0)A − 2 (1,0)F
l 1 2 0k k+ =
l l k l ( 1)y k x= −
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= − + =
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
−+ = =+ +
1 2
1 2
1 22 2
y yk k x x
+ = ++ +
1 2
1 2
( 1) ( 1)
2 2
k x k x
x x
− −= ++ +
1 2
3 3(1 1 )2 2k x x
= − + −+ +
1 2
1 2
3( 4)[2 ]( 2)( 2)
x xk x x
+ += − + +
2
2
2 2
2 2
83( 4)4 3[2 ]4 12 82 44 3 4 3
k
kk k k
k k
++= − − + × ++ +
2
2
2 1 1(2 )kk k k
+= − = −
1 1
2k
− = − 2k =
l 2 2 0x y− − =
( )22 , 2t t−
2
t
2x = −
PH
2 2y x= ( )2,0 1 ,02P
( ),x y
因为 A 的坐标为 ，
所以 ，
消去参数 t 得： ；
（2）（i）因为点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为 ，
所以点 B 的坐标为 ，
当 时，直线 AB 的方程为 ；
当 时，直线 AB 的斜率为 ，
所以直线 AB 的方程为 ，
整理得 ，所以直线 AB 过定点 ；
（ii）因为 A 的坐标为 ，且圆 A 与直线 相切，
所以圆 A 的方程为 ，
同理圆 B 的方程为 ，
两圆方程相减得 ，
将 ， 带入并整理得 ①，
由（i）可知直线 AB 的方程为 ②，
因为 H 是两条直线的交点，
所以两个方程相乘得 ，
整理得 ，即点 H 的轨迹是以 为圆心，
为半径的圆，所以存在点 ，满足 .
( )22 , 2t t−
22
2
x t
y t
=
= −
2 2y x=
2
t
2
2 2,t t
1t = ± 2x =
1t ≠ ± 21
B A
AB
B A
y y tk x x t
−= =− −
( )2
22 21
ty t x tt
+ = −−
( )2 21
ty xt
= −−
( )2,0
( )22 , 2t t− 2x = −
( ) ( ) ( )2 2 22A A Ax x y y x− + − = +
( ) ( ) ( )2 2 22B B Bx x y y x− + − = +
( ) ( ) 2 22 2 4 4B A B A A B A Bx x x y y y y y x x− + − + − = −
( )22 , 2A t t− 2
2 2,B t t
( )1 1y t xt
= − +
( )2 21
ty xt
= −−
( )( )2 2 1y x x= − − +
2
21 9
2 4x y − + =
1 ,02
3
2
1 ,02P
3
2HP =
50．（2020·山东省德州市 6 月二模）已知椭圆 C ： 与圆 相交于 M，N，
P，Q 四点，四边形 MNPQ 为正方形，△PF1F2 的周长为
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 若直线 AD 与直线 BD 的斜率之积为 ，证明：直线
恒过定点.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（1）
如图所示，设点 ，
由题意四边形 MNPQ 为正方形，所以 ，即 ，
因为点 在圆 上，所以 ，
即 ，又点 在椭圆 上，
所以 ，即 ，
所以 ①，
又△PF1F2 的周长为 ，
即 ②，
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2 2 24
3x y b+ =
( )2 2 1 .+
( ), 0, 1 ,D − 1
6
2
2 12
x y+ =
( )0 0,N x y
0 0x y= ( )0 0,N x x
( )0 0,N x x 2 2 24
3x y b+ = 2 2 2
0 0
4
3x x b+ =
2 2
0
2
3x b= ( )0 0,N x x ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 2
0 0
2 2 1x x
a b
+ =
2
2
2 2 13 3
b
a
+ =
2
2
1
2
b
a
=
( )2 2 1+
( )2 2 2 2 1a c+ = +
由①②解得 ， ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）①当直线 斜率不存在时，设 ： ， ， ，
因为点 在椭圆 上，
所以 ，即 ，
所以 不满足题意.
②当直线 斜率存在时，设 ： ，
， ，联立 ，
整理得 ，
所以 ， ，
则
，
将 ， 代入上式化简得：
.
即 ，解得， ，
所以直线 恒过定点 .
51．（2020·山东省滨州市三模）在平面直角坐标系 中，①已知点 ，直线 ，动点 P
2 2a = 2 1b =
C
2
2 12
x y+ =
l l x m= ( ), AA m y ( ), AB m y−
( ), AA m y
2
2 12
x y+ =
2
2 12 Aym + =
2
2 1 2Ay m= −
2
2
1 1 1A A A
AD BD
y y yk k m m m
+ − + −⋅ = ⋅ =
2
2
1 12
2 6
m
m
= = ≠
l l ( )1y kx b b= + ≠ −
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 22 2 0
y kx b
x y
= +
+ − =
( )2 2 21 2 4 2 2 0k x kbx b+ + + − =
1 2 2
4
1 2
kbx x k
−+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
bx x k
−⋅ = +
1 2
1 2
1 1
AD BD
y yk k x x
+ +⋅ = ⋅
( )( ) ( )1 2 2 1
1 2
2 1kx b kx b k x x b
x x
+ + + + + + =
( )2 2
1 2 1 2
1 2
( ) 2 1k x x kb k x x b b
x x
+ + + + + +=
1 2 2
4
1 2
kbx x k
−+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
bx x k
−⋅ = +
1 2
1 2
1 1
AD BD
y yk k x x
+ +⋅ = ⋅ 2( 1) 1
2( 1)( 1) 6
b
b b
+= =+ −
1 1
1 3
b
b
+ =− 2b = −
l ( )0, 2−
xOy ( )3,0Q : 2 3l x =
满足到点 Q 的距离与到直线 的距离之比为 ．②已知点 是圆
上一个动点，线段 HG 的垂直平分线交 GE 于 P．③点 分别在 轴，y 轴上
运动，且 ，动点 P 满足 ．
（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）设圆 上任意一点 A 处的切线交轨迹 C 于 M，N 两点，试判断以 MN 为直径的圆是否过
定点?若过定点，求出该定点坐标．若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）不管选条件几， ；（2）以 为直径的圆过定点 .
【解析】
（1）若选①，
设 ，根据题意得， ， 整理得 .
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 .
若选②，由 得 ，
由题意得 ，所以 ，
所以点 P 的轨迹 C 是以 H，E 为焦点的椭圆，且 ，故
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 .
若选③，设 ，故
因为 ，所以 即 ，
l 2
2
( )3,0 ,H G−
2 2: 2 3 21 0E x y x+ − − = ,S T x
3ST = 6 3
3 3OP OS OT= +
2 2: 2O x y+ =
2 2
16 3
x y+ = MN ( )0,0
( ),P x y
( )2 23 2
22 3
x y
x
− +
=
−
2 2
16 3
x y+ =
2 2
16 3
x y+ =
2 2: 2 3 21 0E x y x+ − − = ( )2 23 24x y− + =
PH PG= 2 6 2 3PH PE PG PE EG HE+ = + = = > =
6, 3a c= = 3b =
2 2
16 3
x y+ =
( ) ( ) ( ), , ,0 , 0,P x y S x T y′ ′ ( )2 2 9,x y′ ′+ = ∗
6 3
3 3OP OS OT= +
6
3
3 ,3
x x
y y
′
′
=
=
6
2
3
x x
y y
=
=
′
′
将其代入 得 ，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 .
（2）当过点 A 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，切线方程为 .
当切线方程为 时，
以 为直径的圆的方程为 .①
当切线方程为 时， ，
以 为直径的圆的方程为 .②
由①②联立，可解得交点为 .
当过点 A 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，设切线方程为 ，
则 ，故 .
联立切线与椭圆 C 的方程 并消去 y，得
.
因为
，
所以切线与椭圆 C 恒有两个交点.
设 ，则 ，
因为 ，
所以
( )∗ 2 2
16 3
x y+ =
2 2
16 3
x y+ =
2, 2x x= = −
2x = ( ) ( )2, 2 , 2, 2M N −
MN ( )2 2 22x y− + =
2x = − ( ) ( )2, 2 , 2, 2M N− − −
MN ( )2 22 2x y+ + =
( )0,0
y kx m= +
2
2
1
m
k
=
+
( )2 22 1m k= +
2 2
,
1,6 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 2 216 4 1 2 2 6 8 6 3k m k m m k∆ = − + − = − − −
( ) ( )2 2 28 2 2 6 3 8 4 1 0k k k= − + − − = + >
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2
1 2 1 22 2
4 2 6,1 2 1 2
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
( ) ( )1 1 2 2, , ,OM x y ON x y= =
( )( )1 2 1 2 1 2 1 2OM ON x x y y x x kx m kx m⋅ = + = + + +
( ) ( )2 2
1 2 1 21 k x x km x x m= + + + +
( ) 2
2 2
2 2
2 6 41 1 2 1 2
m kmk km mk k
− −= + ⋅ + ⋅ ++ +
.
所以 .
所以以 MN 为直径的圆过原点 .
综上所述，以 为直径的圆过定点 .
52．（2020·山东省仿真联考 3）已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点，抛物线 的焦点在 轴上，
顶点在坐标原点，在 、 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
（1）求 、 的标准方程；
（2）已知定点 ， 为抛物线 上的一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于 、 两点，
求 面积的最大值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）设 ，由题意知点 一定在椭圆上，则 ，得 ，
所以，椭圆 上的点的横坐标的取值范围是 ，
则点 也在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆方程得， ，解得 ，
所以，椭圆 的标准方程为 ．
设抛物线 ，依题意知点 在抛物线上，代入抛物线 的方程，得 ，
1C x 2C y
1C 2C
x 3 2− 4 2
y 9
2 0 8 2
2
1C 2C
10,8C
P 2C P 2C 1C A B
ABC
2
2
1 : 14
xC y+ = 2
2 : 2C x y= 17
4
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( )2,0−
2
4 1a
= 2a =
1C [ ]2 2− ,
22, 2
2
1
2 2 14 b
+ = 2 1b =
1C
2
2 14
x y+ =
( )2
2 : 2 0C x py p= ≠ ( )4,8 2C 1p =
( )2 22 2
2 2
3 2 1 6 63 6 01 2 1 2
k km k
k k
× + − −− −= = =+ +
OM ON⊥
( )0,0
MN ( )0,0
所以，抛物线 的标准方程为 ；
（2）设 、 ， ，
由 知 ，故直线 的方程为 ，即 ，
代入椭圆 的方程整理得 ，
，
由韦达定理得 ， ，
，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
，
2C 2 2x y=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 21, 2P t t
21
2y x= y x′ = AB ( )21
2y t t x t− = − 21
2y tx t= −
1C ( )2 2 3 41 4 4 4 0t x t x t+ − + − =
( )( ) ( )6 2 4 4 216 4 1 4 4 4 16 4 0t t t t t∴∆ = − + − = − + + >
3
1 2 2
4
1 4
tx x t
+ = +
4
1 2 2
4
1 4
tx x t
−= +
( ) ( )
( )( )
( )
4 26
22 2 2
1 2 1 2 1 2 2 22 2
4 4 1 4161 1 4 1
1 4 1 4
t ttAB t x x t x x x x t
t t
− +
∴ = + − + + − = + −
+ +
2 4 2
2
2 1 16 4
1 4
t t t
t
+ ⋅ − + += +
10,8C
AB d
2 2
2
2
4
1 1
8 2
1 8 1
1t
d
t
t
t
− − += =
+ +
2 4 2 2
4 2
2 2
1 1 2 1 16 4 1 4 1 16 42 2 1 4 88 1ABC
t t t tS AB d t tt t
+ − + + +∴ = × = × × = − + ++ +△
( )221 1 178 68 688 8 4t= − − + ≤ =
当 时取到等号，此时满足 ．
综上所述， 面积的最大值为 ．
53．（2020·山东省仿真联考 2）椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，
过焦点 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 为椭圆 上一动点，连接 、 ，设 的角平分线 交椭圆 的
长轴于点 ，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）将 代入 中，由 可得 ，
所以弦长为 ，
故有 ，解得 ，所以椭圆 的方程为： .
（Ⅱ）设点 ，又 ，则直线 的方程分别为
； .
由题意可知 .
由于点 为椭圆 上除长轴外的任一点，所以 ，
2 2t = ± > 0∆
ABC
17
4
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 3
2
2F x C 1
C
0 0 0( , )( 0)P y yx ≠ C 1PF 2PF 1 2F PF∠ PM C
( ,0)M m m
2
2 14
x y+ = 3 3
2 2
− < 所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即
因此， .
54．（2020·山东省仿真联考 1）在直角坐标系 中已知 ，动点 到直线 的距离等于
，动点 的轨迹记为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知 ，过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，记 和 的面积分别为
和 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）3.
【解析】
（1）设点 ，则 ，
整理得 ，即 .
故动点 的轨迹 的方程为 .
（2）设 ，
由题意可知直线 的斜率不为 0，则可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
2 2
0 0
3 - 3
3 32 -22 2
m m
x x
+
=
+
3 3m− < < 02 2x− < < 0 0 3 3 3 32 22 2- m m x x + −= + 0 3 4 =m x 3 3 2 2 − < > A B
| | 2 5AB =
C
M C M A B AM y P BM x
Q | | | |AQ BP⋅
2 2
116 4
x y+ =
2 2
2
20
2 2
a b
b
a
+ = =
4
2
a
b
=
= C
2 2
116 4
x y+ =
( 4,0)A − (0, 2)B − ( )0 0,M x y ( )0, PP y ( ),0QQ x
因为 在椭圆 上，所以 ，
由 ， ， 三点共线得： ，即 ，同理可得： ．
所以
．
所以 为定值 16．
( )0 0,M x y C 2 2
0 04 16x y+ =
A P M 0
04 4
P yy
x
= +
0
0
4
4P
yy x
= +
0
0
2
2Q
xx y
= +
| | | | 4 2PQAQ BP x y⋅ = + ⋅ + 0 0 0 0
0 0
2 4 8 2 4 8
4 2
x y x y
x y
+ + + += ⋅+ +
( )
( )( )
2 2
0 0 0 0 0 0
0 0
4 4 16 4 8 16
4 2
x y x y x y
x y
+ + + + +
= + + 16=
| | | |AQ BP⋅
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