八年级数学上册第13章全等三角形检测题（华东师大版）

1 第 13 章检测题 时间：120 分钟  满分：120 分                               一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列命题的逆命题中是假命题的是( B ) A．有一个内角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 B．对顶角相等 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 2．(2016·黔西南州)如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加 下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF 的是( C ) A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 第 2 题图      第 3 题图      第 5 题图 3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下面结论中错误的是( C ) A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC C．△ABO≌△COD D．△AOD≌△BOC 4．用尺规作图：“已知底边和底边上的高，求作等腰三角形”，有下列作法：①作线段 BC＝a；②作线段 BC 的垂直平分线 m，交 BC 于点 D；③在直线 m 上截取 DA＝h，连结 AB， AC.这样作法的根据是( A ) A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．等角对等边 D．等腰三角形的对称性 5．(2016·恩施州)如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，△ABC 的周长为 19 cm，△ ABD 的周长为 13 cm，则 AE 的长为( A ) A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm 6．(2016·滨州)如图，△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 AC＝CD＝BD＝ BE，∠A＝50°，则∠CDE 的度数为( D ) A．50° B．51° C．51.5° D．52.5° 2 第 6 题图       第 7 题图       第 8 题图 7．如图，已知 AC⊥BC，DE⊥AB，AD 平分∠BAC，下面结论错误的是( B ) A．BD＋ED＝BC B．∠B＝2∠DAC C．AD 平分∠EDC D．ED＋AC>AD 8．如图，在等边三角形 ABC 中，中线 AD，BE 交于 F，则图中共有等腰三角形( D ) A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 9．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝60°，把△ADC 沿直线 AD 折过来，点 C 落在 C′ 位置，当 BC＝4 时，BC′的长( A ) A．等于 2 B．大于 2 C．小于 2 D．大于 2 且小于 4 第 9 题图        第 10 题图 10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别 交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于 1 2MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P， 连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法：①AD 是△ABC 的角平分线；②∠ADC＝60°；③ 点 D 在 AB 的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3，其中正确的有( D ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与 书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__A．S.A.__． 第 11 题图 3     第 13 题图     第 14 题图     第 15 题图 12．已知∠α和线段 m、n，求作△ABC，使 BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α.作法的合理顺 序为__②③①④__．(填序号) ①在射线 BD 上截取线段 BA＝n；②作一条线段 BC＝m；③以 B 为顶点，以 BC 为一边， 作角∠DBC＝∠α；④连结 AC，△ABC 就是所求作的三角形． 13．如图，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，若 CE 平分∠ACB，∠ B＝40°，则∠A＝__60__度． 14．(2016·济宁)如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于 点 H，请你添加一个适当的条件：__AH＝CB 或 EH＝EB 或 AE＝CE(只要符合要求即可)__，使△ AEH≌△CEB. 15．如图，BE⊥AC 于点 D，且 AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝__27°__． 16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，则它的一个底角的度数是__22.5 °或 67.5°__． 17．如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAO 的角平分线 AP 相交于点 P，作 PE⊥AB 于点 E.若 PE＝2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为__4__． 第 17 题图      第 18 题图 18．如图，已知等边△ABC 和等边△BPE，点 P 在 BC 的延长线上，EC 的延长线交 AP 于 M，连 BM，下列结论：①AP＝CE；②∠PME＝60°；③BM 平分∠AME；④AM＋MC＝BM.其中正 确的有__①②③④__．(填序号) 三、解答题(共 66 分) 4 19．(8 分)(2016·重庆)如图，在△ABC 和△CED 中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.求证：∠ B＝∠E. 证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.在△ABC 和△CED 中，{AB＝CE ∠BAC＝∠ECD AC＝CD ，∴△ABC≌△ CED(S.A.S.)∴∠B＝∠E. 20．(9 分)如图，在△ABC 中，点 D 是∠BAC 的角平分线上一点，BD⊥AD 于点 D，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于点 E.试判断△BED 的形状，并说明理由． 解：△BED 是等腰三角形．理由：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA.∵∠CAD＝∠DAE，∴∠EDA ＝∠EAD.∵∠EAD＋∠EBD＝90°，∠EDA＋∠EDB＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴△ BED 是等腰三角形． 21．(8 分)有公路 l1 同侧、l2 异侧的两个城镇 A，B，如图．电信部门要修建一座信号 发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1、l2 的距 离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点．(保留 作图痕迹，不要求写出作法) 解：如图. 点 C1，C2 就是符合条件的点． 22．(9 分)如图①，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． (1)求证：BE＝CE； (2)如图②，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BF⊥AC，垂足为 F，∠BAC＝45°，原题设 其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF. 5 证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是 BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAC. 在△ABE 和△ACE 中， {AB＝AC， ∠BAE＝∠EAC， AE＝AE， ∴△ABE≌△ACE(S.A.S.)，∴BE＝CE. (2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF＝BF.∵AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF＋∠C＝90°.∵BF⊥AC，∴∠CBF＋∠C＝90°.∴∠EAF＝ ∠CBF. 在△AEF 和△BCF 中，{∠EAF＝∠CBF， AF＝BF， ∠AFE＝∠BFC＝90°， ∴△AEF≌△BCF(A.S.A.) 23．(10 分)如图，已知△ABC 中 BC 边的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交于点 E，EF⊥ AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 交 AC 于点 G.求证： (1)BF＝CG； (2)AF＝ 1 2(AB＋AC)． 证明：(1)连结 BE，CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG，∵DE 垂直平分 BC，∴EB＝EC.在 Rt△EFB 和 Rt△EGC 中，{EF＝EG， EB＝EC，∴Rt△EFB≌Rt△EGC(H.L.)，∴BF＝CG. (2)∵BF＝CG，∴AB＋AC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG.又易证 Rt△AEF≌Rt△AEG(H.L.)，∴AF ＝AG，∴AF＝ 1 2(AB＋AC)． 24．(10 分)如图，已知点 D 为等腰 Rt△ABC 内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为 AD 延 长线上的一点，且 CE＝CA. (1)求证：DE 平分∠BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC＝DM，求证：ME＝BD. 6 解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.又∠CAD＝∠CBD ＝15°，∴∠DAB＝∠DBA＝30°，∴DA＝DB.又 CD＝CD，∴△ACD≌△BCD(S.S.S.)，∴∠ACD ＝∠BCD＝ 1 2∠ACB＝45°.∵∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°，∠BDE＝∠DAB＋∠ DBA＝30°＋30°＝60°，∴∠CDE＝∠BDE，即 DE 平分∠BDC. (2)连结 CM，由(1)知，∠CDE＝60°，又 DC＝DM，∴△CDM 是等边三角形，∴CM＝CD，∠ CMD＝60°.∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAD＝15°，∴∠ECM＝∠CMD－∠E＝60°－15°＝45°，∴ ∠ECM＝∠BCD＝45°.又 CE＝CA＝CB，∴△BCD≌△ECM(S.A.S.)，∴EM＝BD. 25．(12 分)已知△ABC 是边长为 4 cm 的等边三角形，现有两动点 P、Q，其中点 P 从顶 点 A 出发，沿射线 AB 运动，点 Q 从顶点 B 同时出发，沿射线 BC 运动，且它们的速度都为 1 cm/s，经过 A、Q 的直线与经过 C、P 的直线交于点 M， (1)当点 P 在线段 AB 上移动时，如图， ①试判定线段 AP 与 BQ 的数量关系；(直接写出结果) ②试说明△ABQ≌△CAP； (2)试探索：在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不 变，求出它的度数． 解：(1)①AP＝BQ.②∵等边三角形 ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝∠CAP＝60°，又由条件 得 AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP(S.A.S.)． (2)①当点 P 在线段 AB 上移动时，这时，点 Q 在线段 BC 上移动．如图①，∠CMQ 的大 小不变． ∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°. ②当点 P 在线段 AB 的延长线上移动时，点 Q 在线段 BC 的延长线上移动．如图②，∠CMQ 的大小也不变．求法同①，此时∠CMQ＝120°.