中考数学专题复习讲与练：圆周角

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 圆周角 知识梳理　 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的 另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长 例2. 如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°． （1）求∠BOC的度数； （2）求证：四边形AOBC是菱形天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例3.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC= 45°． （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD． 例4. 如图点A，B，C在半径为2cm的⊙O上，若BC= cm，求∠A的度数． 演练方阵 A档（巩固专练） 　 1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已 知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（　　） 　A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 8 2 3天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 2．如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（　　） 　A ． 28° B ． 42° C ． 56° D ． 84° 　 3．如图，AB是半圆的直径，点D是 的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　） 　A ． 55° B ． 60° C ． 65° D ． 70° 　 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（　　） 　A ． 40° B ． 50° C ． 60° D ． 100° 　 5．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第 三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　） 　A ． 6 B ． 5 C ． 3 D ． 3 　 6．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠AD B=100°，则∠ACB的度数为（　　） 　A 35° B 40° C 50° D 80°天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． ． ． ． 　 7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°， 则∠DCE的度数为（　　） 　A ． 40° B ． 60° C ． 50° D ． 80° 　 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠C=80°，则∠A的度数是（　　） 　A ． 50° B ． 80° C ． 90° D ． 100° 　 9．已知下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④三角形；⑤等腰梯形．其中一定 有外接圆的是（　　） 　A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个 　 10．如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC=30°，则∠ADC的度 数是（　　） 　A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150° 　 B档（提升精练） 11．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=　 _________　度． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 12．如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图 中找出一对相等的角，它们是　_________　． 　 13．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，B O=5cm，则CD等于　_________　cm． 　 14．如图在⊙O中，弦AB、CD交于点P，如果CP=6，DP=3，AB=11，则AP=　_________　 ． 　 15．如图，⊙O的直径AB=10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP=2，MP=2 ，那么弦心距OQ为　_________　． 　 16．如图，⊙O的半径为5，P是弦MN上的一点，且MP：PN=1：2．若PA=2，则MN的长 为　_________　． 　 17．如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥PO，PC交⊙O于点C，若AP=4，PB=2， 则PC的长为　_________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 18．已知大圆⊙O2经过小圆⊙O1的圆心，两圆相交于A、B两点，D点在小圆上，C点在大 圆上，如图所示．如果∠ACB=48°，则∠ADB等于　_________　． 　 19．如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA、CB的延长线交于点P，∠P=30°，∠ABC =100°，则∠C=　_________　． 　 20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E ，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC； （2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD． 　C档（跨越导练） 　21．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把 三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）． （1）求证：△POD≌△ABO； （3）若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 22．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是 上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M． （1）填空：∠APC=　_________　度，∠BPC=　_________　度； （2）求证：△ACM≌△BCP； （3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积． 　 23．如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D 为BC的中点． （1）求证：△ABC为等边三角形； （2）求DE的长； （3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长； 若不存在，请说明理由． 　 24．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中 = ，其中CE⊥AB于E． （1）求证：AB=AD+2BE； （2）若∠B=60°，AD=6，△ADC的面积为 ，求AB的长． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的 延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC． 　 26．已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC． 求证：AD平分∠EAC． 　 27．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=16cm，AB=20cm，求AE的长． 　 28．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一 点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC． （1）求证：AE=BE； （2）如果BE•EF=32，AD=6，求DE、BD的长． 　 29．如图所示，已知AB为⊙O的直径，点P为OA上一点，弦MN过点P，且AP=2，OP=3， MP=2 ，若OQ⊥MN于点Q，求OQ的长． 　 30．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧ACB的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E，若A E=10，∠ACB=60°，求BC的长．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 成长足迹 课后检测 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 圆周角答案 典题探究 例1. （1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， 又∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：设BC=x，则AC=x-2， 在Rt△ABC中，AC 2+BC2=AB2， ∴（x-2） 2+x2=42， 解得：x 1=1+ ，x 2=1- （舍去） ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E， ∴CD=CE， ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+ 例2. （1）解：∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB， ∴ ∵∠ADC=30°， ∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°， ∴∠BOC的度数为60°； （2）证明：∵ ∴AC=BC， AO=BO， ∵∠BOC的度数为60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴BC=BO=CO， ∴AO=BO=AC=BC， ∴四边形AOBC是菱形 例3. （1）解：∵AB是⊙O的直径， 7 7 7  AC BC=  AC BC=天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠AEB=90°． 又∵∠BAC=45°， ∴∠ABE=45°． 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=67.5°． ∴∠EBC=22.5°．（4分） （2）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴BD=CD．（8分） 例4. 解：作直径BD，连接CD，如图，则BD=4cm， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， 在Rt△BCD中，CD= ∴∠CBD=30°， ∴∠D=60°， ∴∠A=60°． 演练方阵 A档（巩固专练） 1．解：连接BC， ∵∠BOC=90°， ∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A， 在Rt△BOC中，OB=8，OC=6， 根据勾股定理得：BC=10， 则圆A的半径为5． 2 2 2 24 (2 3) 2BD BC cm− = − =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故选C 　 2．解：∵OB=OC，∠ABC=28°， ∴∠OCB=∠ABC=28°， ∵弧BD对的圆周角是∠BAD和∠OCB， ∴∠BAD=∠OCB=28°， 故选A． 　 3．解：连结BD，如图， ∵点D是 的中点，即弧CD=弧AD， ∴∠ABD=∠CBD， 而∠ABC=50°， ∴∠ABD=×50°=25°， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB=90°﹣25°=65°． 故选C． 　 4．解：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=40°， ∴∠BOC=100°， ∴∠A=∠BOC=50°． 故选B． 　 5．解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°， ∴∠BAO=60°， ∵AB是⊙C的直径， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°， ∵点A的坐标为（0，3）， ∴OA=3， ∴AB=2OA=6， ∴⊙C的半径长= =3． 故选C． 　 6．解：连OA，OB，如图， ∵A，B，O，D都在⊙O上， ∴∠D+∠AOB=180°，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 而∠ADB=100°， ∴∠AOB=80°， ∴∠ACB=∠AOB=40°． 故选B． 　 7．解：∵∠BOD=100°， ∴∠A=50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCE=∠A=50°．故选C． 　 8．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=180°﹣∠C=100°． 故选D． 　 9．解：根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补， ∴只有矩形、等腰梯形有外接圆， ∵三角形都有外接圆， 故②④⑤一定有外接圆． 故选：B． 　10. 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠ADC=150°． 故选D． B档（提升精练） 　11. 解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB， ∴ = ， ∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°． 故答案为：52． 11．（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26° ，则∠BOC=　52　 度． 　 12．解：∵∠A与∠C是同弧所对的圆周角， ∴∠A=∠C（答案不唯一）． 故答案为：∠A=∠C（答案不唯一）． 13.　 解：∵在直角△AOB中∠CAD=30°， ∴AB=2OB=2×5=10cm， AO= =5 cm． ∴AD=2AO=10 cm． ∵AD是圆的直径， ∴∠C=90°， 又∵∠CAD=30°，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴CD=AD=×10 =5 （cm）． 故答案是：5 ． 　 14. 解：根据相交弦定理，得： AP•PB=CP•DP ∵AB=11 ∴AP（11﹣AP）=CP•DP ∴AP2﹣11AP+18=0 ∴AP=2或9． 15. 解：∵直径AB=10，AP=2， ∴OA=OM=5，OP=3， 在Rt△OMQ中，OM2=OQ2+（MP+PQ）2，即52=OQ2+（2 +PQ）2①， 在Rt△OPQ中，OP2=OQ2+PQ2，即32=OQ2+PQ2②， ①②联立可得OQ= ，PQ= ． 故答案为： ． 　 16．解：延长AO交⊙O于B， ∵⊙O的半径为5，AP=2， ∴AB=10， ∴PB=AB﹣AP=8， 由相交弦定理得PA•PB=PM•PN， ∵MP：PN=1：2， ∴PN=2PM， ∴PA•PB=PM•PN=2PM2=16， ∴PM2=8， ∴PN=2 ， ∴PM=4 ， ∴MN=PM+PN=6 ． 故答案为：6 ． 17. 解：延长CP交⊙O于点D， ∵PC⊥OP， ∴PC=PD， ∵PC•PD=PB•PA，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴PC2=PB•PA， ∵AP=4，PB=2， ∴PC2=8， ∴PC的长为2 ； 故答案是：2 ． 　 18. 解：连接AO1，BO1， ∵四边形AO1BC内接与⊙O2， ∴∠ACB+∠AO1B=180°， ∵∠ACB=48°， ∴∠AO1B=180°﹣48°=132°， ∴∠ADB=∠AO1B=×132°=66°． 故答案为：66° 　 19．解：∵∠ABC=100°， ∴∠PBA=80°， 又∵∠P=30°， ∴∠PAB=180°﹣80°﹣30°=70°， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAD+∠PAB=180°， ∴∠C=∠PAB=0°． 　 20．证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径， ∴ = ， ∴∠CBD=∠ABD， ∴BD平分∠ABC； （2）∵OB=OD， ∴∠OBD=∠0DB=30°， ∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E， ∴∠OEA=90°， ∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°， 又∵AB为⊙O的直径，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，BC=AB， ∵OD=AB， ∴BC=OD C档（跨越导练） 21．（1）证明：连接PB， ∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把 三等分， ∴∠APB=∠DPO=×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°， ∵PA=PB， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB=PA，∠BAO=60°， ∴AB=OP，∠BAO=∠OPD， 在△POD和△ABO中， ∴△POD≌△ABO（ASA）； （2）解：由（1）得△POD≌△ABO， ∴∠PDO=∠AOB， ∵∠AOB=∠APB=×60°=30°， ∴∠PDO=30°， ∴OP=OD•tan30°=3× = ， ∴点P的坐标为：（﹣ ，0） ∴ ， 解得： ， ∴直线l的解析式为：y= x+3． 　 22. （1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°； （2）证明：∵CM∥BP， ∴∠BPM+∠M=180°， ∠PCM=∠BPC，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵∠BPC=∠BAC=60°， ∴∠PCM=∠BPC=60°， ∴∠M=180°﹣∠BPM=180°﹣（∠APC+∠BPC）=180°﹣120°=60°， ∴∠M=∠BPC=60°， 又∵A、P、B、C四点共圆， ∴∠PAC+∠PBC=180°， ∵∠MAC+∠PAC=180° ∴∠MAC=∠PBC ∵AC=BC， ∴△ACM≌△BCP； （3）解：作PH⊥CM于H， ∵△ACM≌△BCP， ∴CM=CP AM=BP， 又∠M=60°， ∴△PCM为等边三角形， ∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3， 在Rt△PMH中，∠MPH=30°， ∴PH= ， ∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH= = ． 　 23. （1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵点D是BC的中点， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC， ∵AB=BC， ∴AB=BC=AC， ∴△ABC为等边三角形． （2）解：连接BE． ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∴BE⊥AC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AE=EC，即E为AC的中点， ∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴DE=AB=×2=1． （3）解：存在点P使△PBD≌△AED， 由（1）（2）知，BD=ED， ∵∠BAC=60°，DE∥AB， ∴∠AED=120°， ∵∠ABC=60°， ∴∠PBD=120°， ∴∠PBD=∠AED， 要使△PBD≌△AED； 只需PB=AE=1． 　 24. （1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点． ∵ = ， ∴CD=CB，∠1=∠2． 又∵CF⊥AD，CE⊥AB， ∴CF=CE． ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴AF=AE，DF=BE， ∴AD+DF=AB﹣BE， ∴AB=AD+DF+BE=AD+2BE， ∴AB=AD+2BE． （2）解：∵S△ADC=AD×CF= ， ∴CF= ， 由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE， ∴∠B=∠CDF=60°， 在△CDF中，求得DF=． ∴AB=AD+2BE=6+×2=11． 　 25. 证明：连接AC． ∵AD是⊙O的直径，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠ACD=90°=∠ACE． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠EBC=∠D． ∵C是弧BD的中点， ∴∠1=∠2， ∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°， ∴∠E=∠D， ∴∠EBC=∠E， ∴BC=EC． 　 26. 证明：如图，∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角， ∴∠EAD=∠DCB． ∵BD=DC， ∴∠DBC=∠DCB． 又∵∠DBC=∠DAC， ∴∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC． 　 27. 解：根据垂径定理可知CE=8cm， 根据相交弦定理可得： 64=BE×AE=（AB﹣AE）×AE 解方程得：AE=16（cm） 　 28. 解：（1）连接AB； ∵BC是直径，且BC⊥AH， ∴ ； ∵A是 的中点， ∴ = = ； ∴∠BAE=∠ABE； ∴AE=BE； （2）易知DH=AD=6； ∴AE=6﹣DE，EH=6+DE； 由相交弦定理，得：AE•EH=BE•EF，即： （6﹣DE）（6+DE）=32，解得DE=2；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ Rt△BDE中，BE=AE=AD﹣DE=4，DE=2； 由勾股定理，得：BD= =2 ． 　 29. 解：连接ON．则ON=OA=OB=AP+OP=5， ∴BP=OB+OP=5+3=8， ∵AP•BP=MP•PN， ∴PN= = =4 ， ∴MN=MP+PN=2 +4 =6 ， ∵OQ⊥MN， ∴QN=MN=3 ， 在直角△ONQ中，OQ= = = ． 30.解：∵D是 的中点， ∴DA=DB． ∵∠ACB=60°， ∴∠ADB=60°， ∴△ADB是等边三角形． ∴∠DAB=∠DBA=60°． ∴∠DCB=∠DAB=60°． ∵DE∥BC， ∴∠E=∠ACB=60°． ∴∠DCB=∠E． ∵∠ECD=∠DBA=60°， ∴△ECD是等边三角形． ∴ED=CD． ∵ = ， ∴∠EAD=∠DBC． 在△EAD和△CBD中， ， ∴△EAD≌△CBD（AAS）． 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴BC=EA=10．