1
三角函数专练
一、单选题
1.一斜坡的坡度是1: 3 ,则此斜坡的坡角是( )
A.15 B. 30° C. 45 D. 60
2.如图,在△ABC 中,∠A=90°,若 AB=8,AC=6,则 sinC 的值为( )
A. 4
3 B. 3
4 C. 3
5 D. 4
5
3.如图,把一根 4.5 米长的竹竿斜靠在石坝旁,量出竿长 1 米时它离地面的高度是 0.6 米,又
量得竿顶与坝脚的距离 2.8BC 米, CBF 记作 ,下列式子正确的是( )
A. 27sin 28
B. 27cos 28
C. 21sin 28
D. 21cos 28
4.如图,已知 AB 是 O 的直径,BC 与 O 相切于点 B,连接 AC ,OC ,若 1sin 3BAC ,
则 tan BOC 等于( )
A. 2 B. 2
2
C. 2
3 D. 4
3
5.如图,⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,D 是优弧 AB 上一点,则 sinD=( )
2
A. 4
5 B. 5
8 C. 8
5 D. 3
5
6.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,⊙O 的半径为1, 2AB , 3CB ,则 ADC 的
度数( )
A.100 B.105 C.110 D.120
7.春节期间,某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起
在江边垂钓,如图,河堤 AB 的坡度为 1∶2.4,AB 长为 5.2 米,钓竿 AC 与水平线的夹角是 60°,
其长为 6 米,若钓竿 AC 与钓鱼线 CD 的夹角也是 60°,则浮漂 D 与河堤下端 B 之间的距离约
为(参考数据: 3 1.732 )( )
A.2.33 米 B.2.35 米 C.2.36 米 D.2.42 米
8.如图,将矩形 ABCD 沿直线 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,连接 DE,若 DE:AC=3:5,
则 tan∠ACD 的值为( )
A. 1
2 B. 2
2
C. 3
3
D. 2
3
3
9.如图,在矩形 ABCD 中,点 F 是 CD 上一点,连结 BF,然后沿着 BF 将矩形对折,使点 C
恰好落在 AD 边上的 E 处.若 AE:ED=4:1,则 tan∠EFB 的值为( )
A.4 B.3 C. 1
3 D. 3
10.如图,菱形 ABCD 的面积是 32 3 ,对角线交于点O , 120ABC ,若点 E 是 AB 的
中点,点 M 在线段 AC 上,则 BME 周长的最小值为( )
A. 4 3 B. 4 3 4 C.8 D.16
11.如图,在△ABC 中,AB=AC,BC=8,已如 AD 是△ABC 的角平分线,BE 是△ABC 的高
线,且点 F 是 AB 的中点.连接 DF、DE、FE,若△DEF 周长为 10,则 cosC 为( )
A. 2 5
5
B. 3
5 C. 2
3 D. 13
5
12.已知,点 A、B 是 CD 为直径的⊙O 上两点,分别在直径的两侧.其中点 A 是弧 CDB 的
中点,若 tan∠ACB=2,则 sin∠BCD 的值为( )
4
A. 5
5
B. 2 55 C. 3
5 D. 4
5
13.如图,⊙O 的半径为 3, ABC 是⊙O 的内接三角形,过点 A 作 AD 垂直 BC 于点 D.若
3AD , 5AC ,则 AB 长是( )
A.15
4 B.4 C. 13 D. 18
5
14.如图,在矩形 ABCD 中, E 为边 CD 上一点,将 ADE 沿直线 AE 翻折,使得点 D 的
对应点 F 落在 BC 边上.若 4, 15AD DAE ,则CE 的长度是( )
A.8 4 3 B. 4 3 6 C. 2 3 D.1
15.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 E 是 AB 边上一点,且 AE=2,点 F 是边 BC
上的任意一点,把 BEF 沿 EF 翻折,点 B 的对应点为 G,连接 AG,CG,则四边形 AGCD
的面积的最小值为( )
A.15
2 B. 22
3 C. 29
4 D.8
16.如图,在矩形 ABCD 中, 10AD ,在 BC 边上取一点 E ,连接 AE 、DE ,使得 DE AD ,
H 为 AE 中点,连接 DH ,在 DE 上取一点 F ,连接 AF ,将 AEF 沿着 AF 翻折得到 AGF ,
且GF AD 于 M ,连接 GD ,若 4 5AE ,则点 F 到直线 DG 的距离为( )
5
A. 2 5 B. 4 5
3
C. 4 5
5
D. 3 5
4
17.如图,已知 A,B 两点的坐标分别为(8,0),(0,8),点 C,F 分别是直线 x=﹣5 和 x
轴上的动点,CF=10,点 D 是线段 CF 的中点,连接 AD 交 y 轴于点 E,当△ABE 面积取得最
小值时,sin∠BAD 的值是( )
A. 8
17 B. 7
17 C. 4 2
13
D. 7 2
26
18.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90*,AC=9,AB=12,中线 AD 与角平分线 BE 相交于
点 F,则线段 AF 的长为( )
A. 80
13 B. 60
13 C.5 D.2 7
19.如图,已知⊙O 的半径为 3,弦 CD=4,A 为⊙O 上一动点(点 A 与点 C、D 不重合),
连接 AO 并延长交 CD 于点 E,交⊙O 于点 B,P 为 CD 上一点,当∠APB=120°时,则 AP•BP
的最大值为( )
6
A.4 B.6 C.8 D.12
20.如图,在 ABC 中, 45BAC , D 为 AC 上一点,连接 BD ,将 BDC 沿 BD 翻
折,点C 恰好落在 AB 上的点 E 处,连CE .若 7 2
2AD , 1tan 3ABD ,则 CD 的长
度为( )
A. 5 2
2
B. 6 2
5
C. 3 2
2
D. 7 2
3
二、填空题
21.如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 和点 D 是⊙O 上位于直径 AB 两侧的点,连接 AC,AD,
BD,CD,若⊙O 的半径是 5,BD=8,则 cos∠ACD 的值是_____.
22.如图是一张矩形纸片,点 E 是 BC 边上一点,将 ECD 沿 DE 折叠,使点 C 落在矩形内
的点C 处,当点C 恰好为矩形对角线中点时,则 CBD ______ ;当点C 落在对角线 BD
上,若 , ,A C E 共线,且 2AD 时,则CE 的长为______.
7
23.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是菱形, 60B ,反比例函数 0ky kx
的
图象经过点C ,若将菱形向下平移 2 个单位,点 B 恰好落在反比例函数的图象上,则反比例
函数的表达式为______.
24.如图,在 ABC ,已知 4 3AC , 12BC , 90ACB , M 、 N 为 BC 边上两
点,且 3CM BN .若点 P 为 AB 上一动点,当 PMN 为直角三角形时,AP 的长为______.
25.如图,山顶上有一个信号塔 AC ,已知信号塔高 15mAC ,在山脚下点 B 处测得塔底C
的仰角 36.9CBD ,塔顶 A 的仰角 42.0ABD ,则山高CD __m(点 A ,C ,D 在
同一条竖直线上,参考数据: tan36.9 0.75 ,sin36.9 0.60 , tan 42.0 0.90 ).
26.如图,在 Rt ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=8,D、F 分别是边 AB、BC 上的动
点,连接 CD,过点 A 作 AE⊥CD 交 BC 于点 E,垂足为 G,连接 GF,则 GF+ 1
2 FB 的最小值
为_____.
27.如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,点 E 是 AD 边上的一点,将 ABE 沿着 BE 折叠,点 A
8
刚好落在 CD 边上点 G 处,点 F 为 CG 上的一点,将 BCF 沿着 BF 折叠,点 C 恰好落在 BG
上点 H 处,若 BCF BGFS S△ △: =3:5,连接 AG,则点 H 到 AG 的距离为_____.
28.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 E 为 AB 的中点,沿 AE 将△AEB 翻折得到△AFE,sin∠FCE
=_____.
三、解答题
29.计算:
1118 1 2 2cos45 3
.
30.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,联结 AC , 35, 7,cos 5
AB BC B .
(1)求 ACB 的度数.
(2)求sin ACD 的值.
31.如图,在 ABC 中,D 是 AB 边上任意一点,E 是 BC 边中点,过点 C 作 AB 的平行线,
交 DE 的延长线于点 F,连接 BF,CD.
(1)求证:四边形 CDBF 是平行四边形;
(2)若∠FDB=30°,∠ABC=45°,BC= 4 2 ,求 DF 的长.
32.如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,与 BA 的延长线交于点 D,DE⊥PO 交 PO
9
延长线于点 E,连接 PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:PB 是⊙O 的切线.
(2)若 PB=3,tan∠PDB= 3
4
,求⊙O 的半径.
33.如图,在 ABC 中, 90ACB , AC BC , M 是 AB 的中点,以 CM 为直径的
⊙O 与 ABC 的三边分别交于点 D 、 E 、 F ,连接 DE 、 DF , DE 与 CM 交于点 P ﹒
(1)求证: //DF AB ;
(2)若 1
4
MP
CP = , 6 2DP = ,求⊙ O 的直径CM 的长;
(3)设 tan (0 1)A x xÐ = < < , MP yCP = ,求 y 与 x 之间的函数关系式﹒
1
参考答案
1.B
解:设坡角为 ,由题意知:tan = 1 3
33
,
∴∠ =30°.
即斜坡的坡角为 30°.
2.D
解:在 Rt△ABC 中, 2 2 2 26 8 10BC AC AB ,
∴sinC= 4
5
AB
BC
.
3.A
解:过点 C 作 CG⊥AF 于点 G,如图所示:
∵DE⊥AB,
∴DE∥CG,
∴△ADE∽△ACG,
∵ 1m, 0.6m, 4.5mAD DE AC ,
∴ DE AD
CG AC
,即 0.6 1
4.5CG
,
∴ 2.7mCG ,
∵ 2.8BC 米, CBF ,
∴ 27sin 28
CG
BC
;
4.B
解: ABQ 是 O 的直径, BC 与 O 相切于点 B,
AB BC
90ABC
2
1sin 3BAC BC
AC
设 , 3BC x AC x
2 2 2 2(3 ) 2 2AB AC BC x x x
1 22OB AB x
2tan 22
BC xBOC OB x
5.A
解:作直径 BC,连接 AC,
∴∠CAB=90°,
∵半径为 5,
∴BC=10,
∵∠D=∠C,AB=8,
∴sin sin 10 5
8 4 A
BC
BC D ,
6.B
解:连接 OA,OB,OC,过点 O 作 OE⊥BC,垂足为点 E,如图,
∵ 1, 2OA OB AB
3
∴ 2 2 2OA OB AB
∴△AOB 是等腰直角三角形,且 OA=OB
∴ 45ABO BAO
∵ 3BC
∴ 1 3
2 2BE BC
又 3cos 2
BEOBE OB
∴ 30OBE
∴ 45 30 75ABC ABO OBC
∵四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ 180ADC ABC
∴ 180 180 75 105ADC ABC
7.B
解:如图,延长 CA 交 DB 延长线于点 E,过点 A 作 AF⊥BE 于点 F,
则∠CED=60°,
∵AB 的坡比为 1:2.4,
∴ 1 5
2.4 12
AF
BF
,则设 AF=5x,BF=12x,
∵AB=5.2 米,
∴在直角△ABF 中,由勾股定理知,
2 2 25.2 25 144x x .
解得 x=0.4.
4
∴AF=5x=2,BF=12x=4.8
∴EF= 2 2 3
tan 60 33
AF
,
2 4 3
sin 60 33
2
AFAE
∵∠C=∠CED=60°,
∴△CDE 是等边三角形,
∵AC=6 米,
∴DE=CE=AC+AE= 4 36 3
(米),
则 BD=DE - EF - BF= 4 3 2 36 4.8 2.353 3
(米),
答:浮漂 D 与河堤下端 B 之间的距离为 2.35 米.
8.A
解:∵矩形沿直线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处,
∴∠BAC=∠EAC,AE=AB=CD,
∵矩形 ABCD 的对边 AB∥CD,
∴∠DCA=∠BAC,
∴∠EAC=∠DCA,
设 AE 与 CD 相交于 F,则 AF=CF,
∴AE-AF=CD-CF,
即 DF=EF,
∴ DF EF
FC AF
,
又∵∠AFC=∠EFD,
∴△ACF∽△EDF,
5
∴ 3
5
DF DE
FC AC
,
设 DF=3x,FC=5x,则 AF=5x,
在 Rt△ADF 中, 2 2 2 2(5 ) (3 ) 4AD AF DF x x x ,
又∵CD=DF+FC=3x+5x=8x,
∴tan∠ACD 4 1
8 2
AD x
CD x
.
9.B
解:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC,AB=DC,
∵AE:ED=4:1,
∴AD:AE:ED=5:4:1,
设 ED=x,AD=CB=5x,AE=4x,
∵沿着 BF 将矩形对折,
∴BE=BC=5x,EF=CF,
在 Rt△ABE 中,由勾股定理 2 22 2 5 4 3AB BE AE x x x ,
∴CD=AB=3x,
设 FE=m,DF=3x-m,
在 Rt△DEF 中,由勾股定理 2 2 2DE DF EF ,即 22 23x x m m ,
解得 5
3m x ,
∴tan∠EFB=
5 35
3
BE x
EF x
,
10.B
解:连接 DE 交 AC 于 M,连接 DB,
6
由菱形的对角线互相垂直平分,可得 B、D 关于 AC 对称,则 MD=MB,
∴ME+MB=ME+MD≥DE,
即 DE 就是 ME+MB 的最小值,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°,
∵AD=AB,
∴△ABD 是等边三角形,
∵AE=BE,
∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一的性质).
设菱形的边长为 m ,即 AD=AB= m ,
∴ 3sin 60 2DE AD m ,
∵菱形 ABCD 的面积是 32 3 ,
∴S△ABD=16 3 ,
∴ 1 16 32 AB DE ,即 1 3 16 32 2m m ,
解得 m=8,
∴ 3 14 3 42 2DE m BE m , ,
∴△BME 周长的最小值为:DE+BE=4+4 3 .
11.C
解:∵AD 是△ABC 的角平分线,AB=AC,
∴AD⊥BC,且 BD=CD,
∵BE 是△ABC 的高线,BC=8,
∴DE=BD=DC= 1
2 BC=4,
∵△DEF 周长为 10,
∴FC+FD=10-4=6,
7
∵点 F 是 AB 的中点.
∴FE=FA=FB=FD,
∴FC=FD=3,
∴AB=2FD=6,
∴AC=AB=6,
∴cosC= 4 2
6 3
CD
AC
.
12.C
解:连接 AB,连接 AO,延长 AO 交 BC 于 T.
∵点 A 是弧 CDB 的中点,
∴AT⊥BC,
∵tan∠ACT= AT
CT
=2,
∴可以假设 CT=k,AT=2k,设 OA=OC=r,
在 Rt△OCT 中,
2 2 2OC CT OT ,
∴ 2 2 2(2 )r k k r ,
∴r= 5
4 k,
∴OT=AT﹣r= 3
4 k,
∴sin∠BCD= OT
OC =
3
4
5
4
k
k
= 3
5
,
13.D
连接 AO,OB,过点 O 作 OM⊥AB,
8
∴∠AOM= 1
2
∠AOB,AM=BM= 1
2 AB,
又∵∠C= 1
2
∠AOB,
∴∠AOM=∠C,
∵ 3AD , 5AC ,AD⊥BC,
∴sin∠AOM=sin∠C= 3
5
AD AM
AC AO
,
又∵AO=3,
∴AM= AO×sin∠AOM=3× 3
5 = 9
5
,
∴AB=2× 9
5 =18
5
.
14.B
解:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=4,
由折叠可知,AF=AD=4,∠DAE=∠FAE=15°,∠D=∠AFE=90°,
∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°,
∵∠B=90°,
∴∠AFB=30°,
∴ cos 4 cos30 2 3BF AF AFB ,
∴CF=BC-BF= 4 2 3 ,
∵∠AFB=30°,∠AFE=90°,
∴∠EFC=60°,
∴在 Rt△CEF 中, tan 4 2 3 tan 60 4 2 3 3 4 3 6CE CF EFC .
15.A
9
如图,连接 AC ,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴ 3, 4, 90CD AB AD BC ABC D ,
根据勾股定理得, 5AC ,
∵ 3, 2AB AE ,
∴点 F 在 BC 上的任何位置时,点 G 始终在 AC 的下方,
设点 G 到 AC 的距离为 h,
∵ 1 1 5· 4 3 5 62 2 2
1 1
2 2ACD ACGAGCDS S S AD CD AC h h h 四边形 ,
∴要使四边形 AGCD 的面积最小,即 h 最小,
由题意可知点 G 是以点 E 为圆心,BE=1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一点,
∴ EG AC 时,h 最小,即点 , ,E G H 三点共线.
由折叠的性质知 90EGF ABC ,
如解图,延长 EG 交 AC 于点 H,则 EH AC ,
在 Rt ABC 中, 4sin 5
BCBAC AC
,
在 Rt AEH 中, 2AE ,sin EH
AEBAC ,
∴ 4 8
5 5EH AE ,
∴ 8 315 5h EH EG ,
∴ 5 5 3 156 62 2 5 2AGCDS h 四边形 ,
16.B
∵AD=DE,H 是 AE 的中点,
∴DH⊥AE,
∵∠BAE+∠EAD=90 ,∠ADH+∠EAD=90 ,
10
∴∠BAE=∠ADH,
又∵∠B=∠AHD=90 ,
∴△ABE ~ △DHA,
∴
D
E
AH
B AE
A
,
∵AD=10, 4 5AE ,AH= 1 2 52 AE ,
∴ 2 5 4 5 410BE ,
∴ 22 2 24 5 4 8AB AE BE , 10 6 4EC BC BE ,
过 E 作 EP⊥AD 于 P,则四边形 PECD 是矩形,
∴PE=AB=8,PD=EC=6,
又∵GF⊥AD 于 M,
∴ 8 4tan 6 3
PE FMPDE PD DM
,
设 4FM x ,则 3DM x ,由勾股定理得 5DF x ,
∵将ΔAEF 沿着 AF 翻折得到ΔAGF,
∴GF=EF=10 5x ,AG=AE= 4 5 ,
又∵AM=AD-DM=10 3x ,GM=GF-MF=10 9x ,
在 Rt△AGM 中, 2 22AM GM AG ,
即 22 210 3 10 9 4 5x x ,
整理得: 23 8 4 0x x ,
解得: 1 2
2 23x x , (舍去).
11
∴ 3 2DM x ,GF= 2010 5 3x ,GM =10 9 4x ,
∴ 2 2 2 24 2 2 5GD GM DM ,
设点 F 到直线 DG 的距离为 h ,
∵ 1 1
2 2FGDS GF MD GD h ,即 20 2 2 53 h ,
∴ 4 53h ,
17.D
解:如图,设直线 x=﹣5 交 x 轴于 K ,
由题意得,
1 52KD CF
D∴ 点的运动轨迹是以 K 为圆心,5为半径的圆,
当直线 AD 与 K 相切时, ABE△ 的面积最小,
AD 是切线,点 D 是切点,
AD KD
13, 5AK DK
12AD
tan OE DKEAO OA AD
5
8 12
OE
10
3OE
12
2 2 26
3AE OE OA
作 EH AB 于 H
1
2ABE AOB AOES AB EH S S
7 2
3EH
7 2
7 23sin 26 26
3
EHBAD AE
18.B
解:过点 E 作 EN⊥BC 于点 N,过点 F 作 FH⊥AB 于点 H,如图:
在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=9,AB=12,
由勾股定理得:BC= 2 2 2 212 9 15AB AC ,
∵BE 平分∠ABC,EN⊥BC,EA⊥AB,
∴EA=EN,
在 Rt△ABE 和 Rt△NBE 中,
BE BE
EA EN
,
∴Rt△ABE≌Rt△NBE(HL),
∴NB=AB=12,
∴CN=15-12=3,
设 AE=NE=x,则 CE=9-x,
在 Rt△CEN 中,(9-x)2=x2+32,
13
解得 x=4.
∴tan∠ABE= 4 1
12 3
AE FH
AB BH
,
设 FH=m,则 BH=3m,AH=12-3m,
∵AD 是 Rt△ABC 的斜边中线,
∴AD= 1
2 BC=BD=7.5,
∴∠FAH=∠CBA,
又∵∠FHA=∠CAB,
∴△FHA∽△CAB,
∴ FH AH
CA AB
,
即 12 3
9 12
m m ,
解得 36
13m ,
∴FH= 36
13
,AH=12- 36
13 ×3= 48
13
,
在 Rt△AFH 中,AF=
2 2
2 2 36 48 60
13 13 13FH AH
.
19.C
解:延长 AP 交⊙O 于 T,连接 BT,连接 CT、AD.设 PC=x.
∵∠PAD=∠C,∠PDA=∠CTP,
∴△APD∽△CPT,
∴ AP PD
CP PT
,
即 PA•PT=PC•PD,
∵AB 是直径,
14
∴∠ATB=90°,
∵∠APB=120°,
∴∠BPT=60°,
∴PT=PB•cos60°= 1
2 PB,
∵PA•PB=2PA•PT=2PC•PD=2x•(4﹣x)=﹣2(x﹣2)2+8,
∵﹣2<0,
∴x=2 时,PA•PB 的最大值为 8,
20.A
解:如图,记 ,BD CE 交于 ,N 过 D 作 DM AB 于 ,M 过 D 作 DH BC 于 ,H
,ABD CBD
,DM DH
1 1· ·2 2 ,1 1· ·2 2
BC DH CD h
AB DM AD h
,ABD CBD 中 ,AD CD 上的高相等,
,BC CD
AB AD
45BAC , 7 2
2AD ,
7 2 2 7cos45 ,2 2 2AM DM AD
1tan 3ABD ,
1,3
DM
BM
7 213 ,2 2BM
7 21 14,2 2AB
15
由对折可得: , ,DC DE BC BE
BD 是CE 的中垂线,
,BD CE
1tan 3ABD ,
1,3
EN
BN
设 ,EN x 则 3 ,BN x
2 29 10 ,BE x x x BC
21 10 ,2ME x
,BC CD
AB AD
10 ,14 7 2
2
x CD
5 ,2CD x DE
2 2 25 7 21 10 ,2 2 2x x
整理得: 25 12 10 70 0,x x
1 2
7 10, 10,5x x
16
检验:当 1
7 105x 时, 710 10 10 14 ,5BE x AB 不合题意舍去,取
2 10,x
5 5 5 210 .2 2 2CD x
21. 4
5
∵AB 是直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ACD=∠B,
∴ 8 4
10 5
BDcos ACD cos B AB
,
22.30 3 5
解:(1)将 ECD 沿 DE 折叠,当点C 恰好为矩形对角线中点时,如图,
由题意得, C DE CDE
CD C D
C 为 BD 中点,
1 1,2 2C D BD CD BD
Rt BCD 中, 90BCD
1sin 2
CDCBD BD
30CBD ;
若 , ,A C E 共线,如图,
17
设 ( 2),CE x x CD y
由折叠得, C DE CDE
, 2C D CD AB y BE x
Rt BEC 中,
2 2 2 2(2 ) 4 4BC BE C E x x x
Rt BEAV 中,
2 2 2 2 2 2(2 ) 4 4AE AB BE y x y x x
2 24 4AC AE C E y x x x
Rt BC A 中,
2 2 2 4 4AC AB BC y x
Rt C DA 中,
2 2 2AC C D AD
2 24 4 4y x y
22 8 4y x
2 4 2y x
AC 2 2 24 4 4 4y x x x y x
2 6 8 2x x x x
2 26 8 2 2 2x x x x x x
3 28 16 8 0x x x
18
3 32 8 ( 2) 0x x x
2( 2)( 2 4) 8 ( 2) 0x x x x x
2( 2)( 6 4) 0x x x
2x (舍去)或 2 6 4 0x x
2 21, 6, 4 4 ( 6) 4 1 4 20a b c b ac
1
6 20 3 52 2
bx a
13 5 2 3 5x (舍去)
2
6 20 3 52 2
bx a
即 3 5CE ,
23. 3 3y x
解:过点 C 作 CD⊥x 轴于 D,
设菱形的边长为 a,
在 Rt△CDO 中, 1 3cos60 , sin 602 2OD a a CD a a ,
则 C 1 3( , )2 2a a ,B 3 3( , )2 2a a ,
点 B 向下平移 2 个单位的点为 3 3( , 2)2 2a a ,即 3 3( , 2)2 2a a ,
19
则有
23
4
3 3.( 2)2 2
a k
a a k
,解得 2 3
3 3
a
k
,
∴反比例函数的解析式为 3 3y x
,
24. 2 3 或 6 3 或5 3
解:①如图 1,
当 PM BC 于 M 时, PMN 为直角三角形,
∵ 12BC , 3CM BN ,
∴ 12 3 9BM BC CM ,
∵ 4 3 3tan 12 3
ACB BC
,
∴∠B=30°,
∴ 9 6 3cos cos30
BMPB B
,
∴ 2 3AP ;
②如图 2,
当 PN BC 于 N 时, PMN 为直角三角形, 3BN ,
由①知∠B=30°,
∴ 8 2 3cos cos30
BMPB B
,
∴ 6 3AP ;
③如图 3,过点 P 作 PD BC 于 D ,
20
当 PN PM 于 P 时, PMN 为直角三角形,
设 DN x ,则 3BD x ,
∵BC=12,CM=BN=3,
∴MD=6-x,
∴ 3tan 33PD BD B x ,
∵∠MPD+∠NPD=90°,PD⊥BC,
∴∠MPD+∠PMD=90°,∠PDN=∠PDM,
∴∠NPD=∠PMD,
∴△PDN∽△MDP,
∴ PD DN
MD DP
,
∴ 2PD MD ND ,即
2
3 3 63 x x x
,
解得 3
2x ,
∴ 2 3 3PB PD , 5 3AP .
25.75
解:设山高 CD=x 米,则在 Rt△BCD 中, tan CDCBD BD
,即 tan36.9 x
BD
,
∴ 4
tan36.9 0.75 3
x xBD x
,
在 Rt△ABD 中, tan ADABD BD
,即 tan 42 4
3
AD
x
,
∴ 4 4tan 42 0.9 1.23 3AD x x x ,
∵AD-CD=15,
∴1.2x-x=15,解得:x=75,
∴山高 CD=75 米.
21
26. 3 3 12
解:如图,延长 AC 到点 P,使 CP=AC,连接 BP,
过点 F 作 FH⊥BP 于点 H,取 AC 的中点 O,连接 OG,过点 O 作 OQ⊥BP 于点 Q,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=4,
∴AC=CP=2,AP=4,BP=AB=4,
∴△ABP 是等边三角形,
∴∠FBH=30°,
在 Rt△FHB 中,FH= 1
2 FB,
∴当 G、F、H 在同一直线上时,GF+ 1
2 FB=GF+FH 取得最小值,
∵AE⊥CD,
∴∠AGC=90°,
∵O 为 AC 的中点,
∴OA=OC=OG= 1
2 AC,
∴A、C、G 三点共圆,圆心为 O,即点 G 在⊙O 上运动,
∴当点 G 运动到 OQ 上时,GF+FH 取得最小值,
∵在 Rt△OPQ 中,∠P=60°,OP=3,sinP= 3
2
OQ
OP
,
∴ 3 3 3=2 2OQ OP ,
∴GF+FH 的最小值为 3 3 12
,
即 GF+ 1
2 FB 的最小值为 3 3 12
,
22
27. 6 10
5
.
解:过点 H 作 HM⊥AG 于 M,
∵ BCF BGFS S△ △: =3:5,
∴FC:FG=3:5,即 FH:FG=3:5,
∵∠GHF=90°,
∴sin∠BGC= 3
5
, 3
5
BC
BG
,
∵GB=AB=10,
∴CB=AD=6,
2 2 8GC GB BC ,GH=4,DG=2,
2 2 2 10GA GD AD ,
∴sin∠DGA= 3 10
10
AD
AG
,
∵AB∥CD,
∴∠BAG=∠DGA,
∵AB=BG,
∴∠BAG=∠BGA,
∴∠BGA=∠DGA,
HM=GH sin∠BGA= 6 10
5
;
28. 4
5
.
解:如图,
23
过 E 作 EH⊥CF 于 H,
由折叠的性质得:BE=EF,∠BEA=∠FEA,
∵点 E 是 BC 的中点,
∴CE=BE=3,
∴EF=CE=3,
∴∠FEH=∠CEH,
∴∠AEB+∠CEH=90°,
在矩形 ABCD 中,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠BAE=∠CEH,∠B=∠EHC,
∴△ABE∽△EHC,
∴ AB AE
EH CE
,
∵AE= 2 24 3 5+ = ,
∴EH=12
5
,
∴sin∠ECF= 4
5
EH
CE
.
29. 2 4
1118 1 2 2cos45 3
= 23 2 1 2 2 32
=3 2 1 2 2 3
= 2 4 .
24
30.(1) 45 ;(2) 7 2
10
.
解:(1)过点 A 作 AE BC ,
35,cos 5AB B
3
5
BE
AB
3BE
2 2 2 25 3 4AE AB BE
7BC
7 3 4CE
Rt ACE 中
4tan 14
AEACE CE
45ACB ACE ;
(2)过点 A 作 AF CD ,如图,
四边形 ABCD 是平行四边形,
BC AE CD AF
7 4 28
5 5
BC AEAF CD
25
Rt AEC 中,
2 2 2 24 4 4 2AC AE EC
28
7 25sin 104 2
AFACD AC
.
31.(1)见解析;(2)8
(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠ECF=∠EBD.
∵E 是 BC 中点,
∴CE=BE.
∵∠CEF=∠BED,
∴△CEF≌△BED.
∴CF=BD.
∴四边形 CDBF 是平行四边形.
(2)解:如图,作 EM⊥DB 于点 M,
∵四边形 CDBF 是平行四边形,BC= 4 2 ,
∴ 1 2 22BE BC ,DF=2DE.
在 Rt△EMB 中,EM=BE•sin∠ABC=2,
在 Rt△EMD 中,∵∠EDM=30°,
∴DE=2EM=4,
∴DF=2DE=8.
32.(1)见解析;(2) 3
2
(1) ,EDB EPB DOE POB ,
E PBO ,
DE PO ,
26
90E ,
90PBO ,
半径 CB PB ,
PB 是 O 的切线.
(2)如图,连接OC ,
33 tan 904PB PDB PBD , , ,
2 2tan 4 5BD PB PDB PD PB DB , .
PB 和 PC 是 O 的切线,
3PC PB ,
2CD PD PC ,
设 O 的半径是 r ,
则 4OD DB OB r ,
PD 切 O 于点 C ,
OC PD ,
2 2 2CD OC OD ,
2 2 22 4r r ,
3
2r .
33.(1)答案见解析;(2) 10 3CM ; (3) 21 1
2 2y x
(1) 90ACB ,
DF 为⊙O 的直径,
27
OCF OFC ,
CM 为 Rt ABC 斜边上的中线,
CM MB ,
MCB B ,
B OFC ,
//ABDF .
(2)如图,将点C 、 E 连接起来,
1
4
MP
CP
,
设 MP a , 4CP a ,
3
2OP a , 5
2OD a ,
//DF AB ,
DOP△ EMP ,
OP DP DO
MP EP EM
,
=6 2DP ,
=4 2EP ,
10 2DE , 5
3
aEM ,
CM 是 Rt ABC 斜边上的中线,
CM AM , A ACM ,
又 AED ACM ,
A AED ,
28
DE DA ,
CM 为⊙O 的直径,CE AB ,
ACE DEC ,
DE DC ,
2 20 2AC DE ,
在 Rt ACE△ 和 Rt MCE 中,
2 2 2CE AC AE , 2 2 2CE CM ME ,
2 2 2 2AC AE CM ME ,
即 2 2 2 25 5(20 2) (5 ) (5 ) ( )3 3a a a a ,
2 3a ,
5 10 3CM a .
(3)在 Rt ACE△ 中, tan CEA xAE
,
设 AE m , 2CM r ,则CE xm ,
由(2)得 2AM CM r ,
在 Rt MCE 中, 2 2 2CE CM ME ,
2 2 2( ) (2 ) ( 2 )xm r m r ,
2
4
1
rm x
,
DOP△ EMP ,
OP DO
MP EM
,
2
r MP r
MP m r
,
( 2 )r m rMP m r
,
29
2 rmCP r MP m r
,
21 1
2 2
MPy xCP
,
即 21 1
2 2y x .