河南省中考数学三轮冲刺考点专练——数与式（一）

试卷第 1页，总 13页 2021 年河南中考数学三轮冲刺考点专练——数与式（一） 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计 36 分 ） 1. 在实数 ， ， ， 中有理数有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 有理数 理 与 理 A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.和为 理 3. 已知 是方程 理 理 െ 的一个根，则代数式 理 的值应 在 A. 和 之间 B. 和 之间 C. 和 之间 D. 和 之间 4. 对于实数 ， ， ， ，规定一种运算 െ 理 ，如 理 െ 理 理 െ理 ，那么当 理 െ 时， 的值为( ) A. B. C. D. 5. 观察下列等式： െ ， െ 䁘 ， െ ， െ ， െ ， െ 䁘 ，…，那么： ǤǤǤ 的末位数字是 A. B. C. D. 䁘6. 下列各组数中，① 理 理 和 理 ȁ 理 ȁ ；② 理 和 理 ；③ 和 ； ④ 理 和 理 .互为相反数的有( ) A.④ B.①② C.①②③ D.①②④ 7. 用“ ”定义新运算：对于任意的有理数 和 ，都有 െ ，例 如： 䁘 െ 䁘 െ ，则 的值为( ) A. 䁘䁘 B. C. D. 8. 十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中 名列前茅，国内生产总值从 万亿元增长 万亿元，稳居世界第二，其 中 万亿用科学记数法表示为 A. B. C. D. Ǥ 9. 在等式 െ 中， 为( ) A. B. C. 理 D. 理 10. 代数式 化简的结果是( ) A. B. C. D. 11. 平面直角坐标系中， 是边长为 的等边三角形，作 与 试卷第 2页，总 13页 关于点 成中心对称，再作 与 关于点 成中心 对称，如此作下去，则 （ 是正整数）的顶点 的坐标 是( ) A. B. 理 C. D. 理 12. 如图， 䁫 的三边长为 ， ， ，它的三条中位线组成一个新的三角 形，新三角形的三条中位线又组成一个三角形，…… ，以此类推，第五次组 成的三角形的周长是( ) A. B. C. D. 二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计 15 分 ） 13. 理 的立方根是________. 14. 如果多项式 理 ݇ 理 因式分解后有一个因式为 理 ，则 ݇ ＝ ________． 15. 已知： െ ， െ ，则 理 െ ________． 16. 已知实数 ， ， 满足 െ 理 െ ，则 理 的值为________. 17. 已知 ， 分别为等腰三角形的两条边长，且 ， 满足 െ 理 理 ，则该三角形的周长为________. 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计 69 分 ） 18.(8 分) 计算： 理 理 理 ； 理 理 理 ȁ 理 ȁ ． 试卷第 3页，总 13页 19. （8 分） 先化简，再求值： 理 理 理 ，其中 െ ． 20. （8 分） 如图，某市有一块长为 ，宽为 的长方形地 块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的 面积是多少平方米？并求出当 െ ， െ 时的绿化面积． 21.(9 分) 如图，数轴上，点 ， 表示的数分别为 ， ，点 为负半轴上 任意一点，它表示的数为 ． 计算 ȁ理ȁ 的值； 在 ， ， 中，其中一个数是另两个数的平均数，求 的值； 嘉琪认为：当 理 䳌 时， 䳌 ，则以 ， ， 的长 为边长不能构成三角形．若以 ， ， 的长为边长能构成三角形，请 直接写出 的取值范围． 22.(9 分) 材料 ：在一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母 的位置，多项式不变，则称这样的多项式为“二元对称式”．例： ， ， 理 理 都是“二元对称式”．对于所有的“二元对称式” 都可以用相同字母的另一个“二元对称式”来表示，形成一个“基本对称 式”．例： െ 理 是一个“基本对称式”． 材料 ：求形如 且为整数）的“基本对称式”． െ 理 ； െ 理 ； 试卷第 4页，总 13页 െ 理 ； 一般地， ݇ ݇ െ ݇ ݇ 理 ݇理 ݇理 ，其中 ݇ 为正整 数． 在 ， 理 ， 中有_____个是“二元对称式”； 已知 െ ， െ 理 ，求 的值． 23.(9 分) 探索发现： ① െ 理 െ 理 െ 理 根据你发现的规律，回答下列问题： െ ________， െ ________； 利用你发现的规律计算： ； 灵活利用规律解方程： 䁘 െ ． 24.(9 分) 阅读下列材料，完成文后任务：我们知道，分子比分母小的分数 称为真分数，例如 ， 䁘 等都是真分数，反之，分子与分母相等或分子比分 母大的分数称为假分数，例如 ， 等都是假分数．类似地，在分式中，我们 把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，例如 ， 理 等都是真分 式，反之，把分子的次数大于或等于分母的次数的分式称为假分式．对于 一个假分式，我们可以化成整式与真分式的和的形式，例如 理 െ 理 理 െ 理 理 理 െ 理 ，其中 理 就是真分式． 下列分式中，属于真分式的是________（填序号）． ① ；② 理 ；③ 理 ；④ 理 ；⑤ . 将假分式 化成整式与真分式的和的形式． 试卷第 5页，总 13页 根据材料中的方法解方程： 理 െ 理 . 25.(9 分) 阅读材料： 对于任意正实数 ， ，∵ 理 ，∴ 理 ，∴ ，只有当 െ 时，等号成立． 结论：在 （ ， 均为正实数）中，只有当 െ 时， 有最小值 . 根据上述内容，回答下列问题： 若 െ 䁘 （ ， 均为正实数），则 的最大值为________； 若 _ ，当 为何值时， 有最小值？最小值是多少？ 随着人们生活水平的快速提高，小轿车已经成为越来越多家庭的交通工 具，假设某种小轿车的购车费用为 万元，每年应缴保险费等各类费用共 计 Ǥ 万元， 年的保养、维护费用总和为 万元．那么这种小轿车使用 多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用 െ 所有费用之和 年数 ）？年平均费用最少为多少万元？ 试卷第 6页，总 13页 参考答案 一、 选择题 1. 【答案】 C 2. 【答案】 A 3. 【答案】 B 4. 【答案】 D 【解答】 解：由题意得， 理 െ 理 理 െ െ ， 则 െ ， 则 െ . 故选 . 5. 【答案】 C 【解答】 解：∵ െ ， െ 䁘 ， െ ， െ ， െ ， െ 䁘 ，…， ∴ െ ， െ ， െ 䁘䁘 ， െ ， െ 䁘 ， ， 由上可得，以上式子的和的末位数字依次以 䁘 循环出现， ∵ െ ， ∴ ǤǤǤ 的末位数字是 . 故选 䁫 . 6. 【答案】 B 【解答】 试卷第 7页，总 13页 解：① 理 理 െ ， 理 ȁ 理 ȁ െ理 ，故互为相反数； ② 理 െ ， 理 െ理 ，故互为相反数； ③ െ ， െ 䁘 ，不互为相反数； ④ 理 െ理 ， 理 െ理 ，相等，不互为相反数； 所以互为相反数的有①②. 故选 Ǥ 7. 【答案】 D 【解答】 解：∵ െ െ ， െ െ ， ∴ െ . 故选 . 8. 【答案】 B 9. 【答案】 A 【解答】 解： െ െ ， 所以 െ . 故选 . 10. 【答案】 C 【解答】 解： െ െ ． 故选 䁫 ． 11. 【答案】 A 【解答】 解：∵ 是边长为 的等边三角形， 的坐标为： , 的坐标为： , ∵ 与 关于点 成中心对称， ∴ 点 与点 关于点 成中心对称， ∵ 理 െ ， 理 െ理 ， ∴ 点 的坐标是： 理 ， ∵ 与 关于点 成中心对称， 试卷第 8页，总 13页 ∴ 点 与点 关于点 成中心对称， ∵ 理 െ ， 理 理 െ ， ∴ 点 的坐标是： ， ∵ 与 关于点 成中心对称， ∴ 点 与点 关于点 成中心对称， ∵ 理 െ ， 理 െ理 ， ∴ 点 的坐标是： 理 ， ...... ∵ െ 理 ， െ 理 െ 理 ， െ 理 ， ∴ 的横坐标是： 理 ， 的横坐标是： 理 െ ， ∵ 当 为奇数时， 的纵坐标是： ， 当 为偶数时， 的纵坐标是： 理 ， ∴ 顶点 的纵坐标是： ， ∴ （ 是正整数）的顶点 的坐标是： ， ∴ 的顶点 的横坐标是： െ ，纵坐 标是： ， 即 ， 故选 ． 12. 【答案】 C 【解答】 解：由题意可知，第一次组成的三角形的周长是 ， 第二次组成的三角形的周长是 ， 第三次组成的三角形的周长是 ， 第四次组成的三角形的周长是 ， 第五次组成的三角形的周长是 . 故选 䁫 ． 二、 填空题 13. 【答案】 试卷第 9页，总 13页 理 14. 【答案】 15. 【答案】 【解答】 解： െ ， െ ， ∴ 理 െ െ െ െ െ ． 故答案为： ． 16. 【答案】 【解答】 解：∵ െ 理 െ ， ∴ 可取 െ ݇ ， െ ݇ ， െ ݇ ，( ݇ )， 则原式 െ ݇理݇ ݇݇ െ െ . 故答案为： . 17. 【答案】 或 【解答】 解：根据二次根式有意义的条件，得 理 理 ， 解得 െ . ∴ െ . 当三角形的三边长为 ， ， 时，该三角形的周长为 െ ； 当三角形的三边长为 ， ， 时，该三角形的周长为 െ . 综上所述，该三角形的周长为 或 . 故答案为： 或 . 三、 解答题 18. 【答案】 解： 原式 െ 理 理 െ理 ． 原式 െ 理 െ Ǥ 试卷第 10页，总 13页 19. 【答案】 解：原式 െ 理 理 െ 理 ， 当 െ 时，原式 െ 理 ． 20. 【答案】 解： 阴影 െ 理 െ 理 理 理 െ （ ）. 当 െ ， െ 时， െ 䁘 െ െ （ ）． 21. 【答案】 解： 由题意，得 െ理 ， െ ， ȁ 理 ȁ െ ȁ 理 理 ȁ 理 െ 理 െ ． 若 െ理 ，解得 െ理 ． 若 理 െ ，解得 െ理 ． 䳌理 ． െ理 ， െ ． ①当 理 䳌理 时， െ理 理 理 െ理 理 ， 令 理 理 _ ，解得 䳌理 ， 所以当 理 䳌理 时，能构成三角形； ②当 䳌理 时， െ理 理 െ 理 _ ，能构成三角形． 综上， 䳌理 ． 22. 【答案】 解：( ) 中 ， 互换仍为 ， 是“二元对称式”； 理 中 ， 互换为 理 ， 理 不是“二元对称式”； 试卷第 11页，总 13页 中 ， 互换仍为 ， 是“二元对称式”. 故答案为： . െ ， െ 理 ， െ ， െ 理 ， െ 理 െ 理 ， െ 理 െ 理 െ 理 ， െ 理 െ 理 െ 理 理 理 െ 理 ， െ 理 െ 理 理 理 െ 理 െ 理 理 理 െ 理 理 െ 理 理 െ 理 理 . 23. 【答案】 解： െ 理 ， െ 理 . 故答案为： 理 ； 理 . 原式 െ 理 理 理 െ 理 െ . 䁘 െ ， 理 理 䁘 理 െ ， 理 理 䁘 理 െ ， 理 െ ， 理 െ ， െ ， െ ， 解得 െ ， 经检验， െ 是原方程的根． 24. 试卷第 12页，总 13页 【答案】 解： 分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式. ①②中分子的次数等于分母的次数，不符合题意；③④⑤符合题意. 故答案为：③④⑤. െ െ . 理 െ 理 ， 理 െ 理 ， 理 理 െ 理 理 ， 理 െ 理 ， െ , െ , െ ， െ理 ， 解得 െ理 ， 经检验 െ理 是原方程的解. 25. 【答案】 解： ∵ ， ∴ . ∵ െ 䁘 ， ∴ 䁘 . 即 的最大值为 䁘 . 故答案为： 䁘 . ∵ െ ， ∴ 当 െ 时， 的最小值是 ， 解得 െ ， െ理 (不合题意，舍去). ∴ 当 െ 时， 有最小值，最小值为 . 年平均费用为： Ǥ െ െ Ǥ ， 试卷第 13页，总 13页 ∴ 当 െ 时，即 െ ，年平均使用费用最少，最少为 Ǥ 万元.