2.旋转—角
1.如图 1，有一组平行线 ，正方形 的四个顶点分别在 ， ，
， 上 ， 过 点 且 垂 直 于 于 点 ， 分 别 交 ， 于 点 ， ，
， ．
（1） ______，正方形 的边长=______；
（ 2 ） 如 图 2 ， 将 绕 点 顺 时 针 旋 转 得 到 ， 旋 转 角 为
，点 在直线 上，以 为边在 左侧作菱 形 ，
使点 ， 分别在 ， 上．
①写出 与 的数量关系并给出证明；
②若 ，求菱形 的边长．
解析：（1）
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴
∵ ，∴
在 和 中，
1 2 3 4l l l l ABCD 1l 2l
4l 3l EG D 1l E 2l 4l F G
1EF DG＝ ＝ 2DF＝
AE＝ ABCD
AEG∠ A AE D∠ ′ ′
(0 90 )α α° °＜ ＜ D′ 3l AD′ E D′ ′ AB C D′ ′ ′
B′ C′ 2l 4l
B AD∠ ′ ′ α
30α °＝ AB C D′ ′ ′
ABCD 90ADC∠ = ° AD CD=
180ADE ADC CDG∠ + ∠ + ∠ = ° 90ADE CDE∠ + ∠ = °
90ADE EAD∠ + ∠ = ° CDE EAD∠ = ∠
Rt AED Rt DGC
90
AD CD
EAD CDG
AED CGD
=
∠ = ∠
∠ = ° = ∠∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴
（2）①
证明：
过点 作 于点
由题意，
∵四边形 为菱形，∴
∴ ，∴
∵ ，∴
∴
∴
②过点 作 于点 ，交 于点
∵ ， ，∴ ， ,
∴
Rt AED Rt DGC ≌ 1AE DG= =
2 2AD AE ED= + 3ED EF FD= + =
2 21 3 = 10AD = +
90B AD α∠ ′ ′ °＝ －
B′ 1B H l′ ⊥ H
1AE B H′ ′＝ ＝
AB C D′ ′ ′ AD B A′ ′＝
Rt AD E Rt B AH′ ′ ≌ AD E B AH∠ ′ ′ ∠ ′＝
90AD E D AE∠ ′ ′ ∠ ′ ′ °＋ ＝ 90B AH D AE∠ ′ ∠ ′ ′ °＋ ＝
90B AD α∠ ′ ′ °＋ ＝
90B AD α∠ ′ ′ °＝ －
E′ 1MN l⊥ M 3l N
1AE′＝ 30α °＝ 1
2ME′＝ 1 53 2 2E N′ = − =
5 3
cos30 3
E ND E
′′ ′ =°＝∴
2.在 中， ， 平分 交 于 ， 于 ，
以 为中心旋转 ，对应边 交直线 于 ，对应边 交直线 于 ．
（1）如图 1，当 逆时针旋转，且 时，求：
的数量关系；
（2）如图 2，当 顺时针旋转，且 时，直接写出线段 、
、 之间的数量关系；
（3）如图 3，当 顺时针旋转，且 时，设 交 于 ，
若 ， ，求 的面积．
解析：
（1）∵ ，∴
又 ，∴
∴ ，∴
∵ 平分 ， ，
2 2 2 21
3AD AE D E′ ′ ′′ + =＝
Rt ABC 90ACB∠ °＝ BD ABC∠ AC D DE AB⊥ E
C ACB∠ A C′ DE N B C′ AB M
A CB∠ ′ ′ 1tan 2DBC∠ ＝ EN BM DC， ，
A CB∠ ′ ′ 1tan 3DBC∠ ＝ EN
BM DC
A CB∠ ′ ′ 1tan 2DBC∠ ＝ CM BD F
6BC＝ 45MCB∠ = ° EFN
90ACB A CB∠ ∠ ′ ′ °＝ ＝ DCN BCM∠ ∠＝
90NDC MBC A∠ ∠ ° ∠＝ ＝ ＋ DNC BMC ∽
1tan 2
DN DC DBCBM BC
= = ∠ = 1
2DN BM=
BD ABC∠ DE AB⊥ DC BC⊥∴
∵ ，∴
（2）
理由如下：
有旋转可得 ，又∵
∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ .
（3）
作 于 ， 于
∵ ，∴
∵ ，
∴ ，∴
∴
设 ，则 ，
DE DC＝
EN DN DE＋ ＝ 1
2EN BM DC=＋
1
3EN BM DC=－
DCN BCM∠ = ∠ 90MBC A ADE CDN∠ = ° − ∠ = ∠ = ∠
DNC BMC ∽ 1tan 3
DN CD DBCBM BC
= = ∠ = 1
3DN BM=
EN DN ED DC− = = 1
3EN BM CD− =
MG BC⊥ G FH DE⊥ H
45MCB∠ °＝ MG CG＝
DE DC＝ 1 1
2 2ABDS AB DE AD BC⋅ = ⋅
＝
· ·AB DC AD BC＝ 1tan 2
AD DC DBCAB BC
= = ∠ =
2AB AD＝
AD a＝ 2AB a＝ 2 6AE a= −∵ ， ，∴
在 中， ，
解得 （舍去），
∴ ，
易证 ，∴
∴
设 ，则 ，
∵
∴ ，∴
∴ ，
∴
∵ ， ，∴
∴
∴ ，∴
∵ ， ，∴
又 ，
∴ ，∴
1tan 2
DCDBC BC
∠ =＝ 6BC＝ 3DE DC＝ ＝
Rt ADE 2 2 2AE DE AD+ = 2 2 2( )2 6 3a a+ =−
1 3a = 2 5a =
5AD = 2 6 4AE a= − =
MBG ADE ∽ BM BG MG
AD DE AE
= =
5 3 4
BM BG MG= =
3BG m＝ 5BM m＝ 4MG m CG= =
BC BG CG= +
3 4 6m m+ = 6
7m＝
30
7BM＝ 1 15
2 7DN BM =＝
15 363 7 7EN DE DN =＝ ＋ ＝ ＋
DE AB⊥ FH DE⊥ FH BE
DFH DBE DBC∠ ∠ ∠＝ ＝
1tan tan 2
DH DFH DBCFH
∠ ∠＝ ＝ ＝ 2FH DH＝
BD BD＝ DE DC＝ BE BC＝
EBF CBF∠ ∠＝ BF BF＝
BEF BCF ≌ 45BEF MCB∠ ∠ °＝ ＝∴ ，∴
设 ，则
∴ ，∴ ，∴
∴
3. 如 图 1 ， 梯 形 中 ， ， ， ，
，将图 1 中的 绕点 按逆时针方向旋转 角 ，
边 、 分别交直线 、 于 、 两点．
（1）当 时，其他条件不变，如图 2、如图 3 所示．
①如图 2，判断线段 、 、 的数量关系，并直接写出结论；
②如图 3，①中的结论是否依然成立？若不成立，新结论是什么？
（2）当 时，其他条件不变，直接图形中线段 、 、 的数量关
系．
解析：
（1）①
45DEF∠ °＝ 2EH FH DH＝ ＝
DH x＝ 2EH FH x＝ ＝
2 3x x＋ ＝ 1x＝ 2FH＝
1 1 36 3622 2 7 7EFNS EN FH⋅ = × × =
＝
ABCD AD BC AB AD CD＝ ＝ 120BAD∠ °＝
60MAN∠ °＝ MAN∠ A α (0 120 )α° °＜ ＜
AM AN BC CD E F
0 60α° ≤ °＜
BE DF EF
60 120α° °＜ ＜ BE DF EF
BE DF EF+ =理由：如图 2，
延长 至 ，使 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∴ ．
在 和 中，
FD G DG BE= AG
AD BC AD BC
120ADC BAD∠ = ∠ = ° 180DAB B∠ + ∠ = °
60ADG∠ = ° 60B∠ = °
ADG B∠ = ∠
AEB AGD
AB AD
B ADG
BE DG
=
∠ = ∠
=
AEB AGD SAS ≌ （ ）
AE AG= BAE DAG∠ = ∠
120BAE DAF EAF∠ + ∠ + ∠ = ° 60MAN∠ = °
60BAE DAF∠ + ∠ = °
60GAD DAF∠ + ∠ = °
60GAF∠ = °
EAF GAF∠ = ∠
AEF AGF，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
② 的结论仍然成立．
理由：如图 3，
延长 至 ，使 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
AE AG
EAF GAF
AF AF
=
∠ = ∠
=
AEF AGF SAS ≌ （ ）
EF GF=
GF GD DF= +
GF BE DF= +
EF BE DF= +
BE DF EF+ =
FD G DG BE= AG
AD AB= AB CD=
120ADC BAD∠ = ∠ = ° 180DAB B∠ + ∠ = °
60ADG∠ = ° 60B∠ = °
ADG B∠ = ∠
AEB AGD
AB AD
B ADG
BE DG
=
∠ = ∠
=
AEB AGD SAS ≌ （ ）∴ ， ．
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
∴ ．[来源:Z|xx|k.Com]
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时， ．
理由：如图 4，
延长 至 ，使 ，连接 ．
∵ ， ，
AE AG= BAE DAG∠ = ∠
120BAE DAF EAF∠ + ∠ + ∠ = ° 60MAN∠ = °
60BAE DAF∠ + ∠ = °
60GAD DAF∠ + ∠ = °
60GAF∠ = °
EAF GAF∠ = ∠
AEF AGF
AE AG
EAF GAF
AF AF
=
∠ = ∠
=
AEF AGF SAS ≌ （ ）
EF GF=
GF GD DF= +
GF BE DF= +
EF BE DF= +
60 120α° °＜ ＜ BE EF DF= +
DF G DG BE= AG
AD BC AB CD=∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
作 ，交 于 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
即 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
120ADC BAD∠ = ∠ = ° B C∠ = ∠ 180DAB B∠ + ∠ = °
60ADG∠ = ° 60B C∠ = ∠ = °
ADG B∠ = ∠
AEB AGD
AB AD
B ADG
BE DG
=
∠ = ∠
=
AEB AGD SAS ≌ （ ）
AE AG= BAE DAG∠ = ∠
AH CD BC H
60AHB C∠ = ∠ = °
60BAH∠ = °
60DAH∠ = °
60MAN∠ = °
DAH MAN∠ = ∠
2 2DAH MAN∠ − ∠ = ∠ − ∠
3 1∠ = ∠
3 1BAE DAG∠ ∠ = ∠ ∠﹣ ﹣
60BAH GAF∠ = ∠ = °
EAF GAF∠ = ∠
AEF AGF
AE AG
EAF GAF
AF AF
=
∠ = ∠
=∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
4.如图 1，在 中， ， 为 边上一点，连接 ，以 、 为邻
边作 ， 与 相交于点 ，已知
．
（1）证明 ；
（2） 是否为矩形？
（3）如图 2， 为 中点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转适当的角度，得
到 （点 、 分别是 的两边与 、 延长线的交点）．猜想线段
与 之间 的数量关系．
解析：
（1）证明：在 和 中
∵ ，
∴
在 中，
AEF AGF SAS ≌ （ ）
EF GF=
GD GF DF= +
GD EF DF= +
BE EF DF= +
ABC AB BC＝ P AB CP PA PC
APCD AC PD E
(0 90 )ABC AEP α α∠ = ∠ = ° < < °
EAP EPA∠ ∠＝
APCD
F BC FP AEP∠ E
MEN∠ M N MEN∠ BA FP
EM EN
ABC AEP
ABC AEP∠ ∠＝ BAC EAP∠ ∠＝
ACB APE∠ ∠＝
ABC AB BC＝∴
∴
（2）答： 是矩形
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∵由（1）知
∴ ，∴
∴ 是矩形
（3）答：
∵ ，∴
∴
由（2）知 ， 是 的中点，∴
∴
∴
∴
∵ 绕点 顺时针旋转适当的角度，得到
∴
∴ ，即
ACB BAC∠ ∠＝
EAP EPA∠ ∠＝
APCD
APCD
2AC AE＝ 2PD PE＝
EPA EAP∠ ∠＝
AE PE＝ AC PD＝
APCD
EM EN＝
AE PE＝ 190 2EAP EPA α∠ ∠ °＝ ＝ －
1 1180 180 90 ) 0( 92 2EAM EAP α α∠ ° ∠ ° ° = ° +＝ － ＝ － －
90CPB∠ °＝ F BC FP FB＝
FPB ABC α∠ ∠＝ ＝
1 190 902 2EPN EPA APN EPA FPB α α α∠ ∠ + ∠ ∠ + ∠ ° + = ° +＝ ＝ ＝ －
EAM EPN∠ ∠＝
AEP∠ E MEN∠
AEP MEN∠ ∠＝
AEP AEN MEN AEN∠ ∠ ∠ ∠－ ＝ － MEA NEP∠ ∠＝∴
∴
5. 如 图 1 ， 在 中 ， ， 为 的 平 分 线 ， ，
交 的延长线于点 ．
（1）求： ；
（2）如图 2，将 绕点 逆时针旋转，使得 的一边 落在 上，在另
一边 旋转后得到的射线上截取 ，连接 ，若 ， ，求点
到 的距离．
解析：
（1）
延长 交 的延长线于点
∵ 为 的平分线，∴
∵ ，∴
又∵ ，∴
EAM EPN ≌
EM EN＝
ABC AC AB> AD BAC∠ AB AD=
CE AD⊥ AD E
______AC AB DE− =
BAD∠ A BAD∠ AB AC
AD AF AC= CF 7AE = 6CF =
E AB
CE AB H
AD BAC∠ HAE CAE∠ = ∠
CE AD⊥ 90AEH AEC∠ = ∠ = °
AE AE= AEH AEC ≌∴ ，
∵ ，∴
取 中点 ，连接
则 是 的中位线
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴
∴ ，∴
∴
（2）
过 作 于
∵ ，∴
∵ ，∴
∴
设 ，则
∵
∴ ，解得
∴ ，∴
AH AC= HE CE=
AH AB BH− = AC AB BH− =
BC G GE
GE CBH
GE BH
1
2GE BH=
EGD ABD∠ = ∠ 2AC AB GE− =
AB AD= ABD ADB∠ = ∠
EGD ADB EDG∠ = ∠ = ∠ GE DE=
2AC AB DE− =
C CM AF⊥ M
BAD DAC CAF∠ = ∠ = ∠ CM CE=
90CMA CEA∠ = ∠ = ° AMC AEC ≌
7AM AE= =
MF x= 7AC AF x= = +
2 2 2 2 2CM AC AM CF MF= − = −
( )2 2 2 27 7 6x x+ − = − 2x =
9AC = 2 29 7 4 2CE = − =过 作 于 ， 于
∵
∴ ，∴
∵ ，∴
即点 到 的距离为
6.已知四边形 中， ， ， ， ，
， 绕 点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）
于 ， ．
（1）当 绕 点旋转到 时（如图 1），线段 有怎样的
数量关系．
（2）当 绕 点旋转到 时，在图 2 这种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， ， 又有怎样的数量关系？请写出你
的猜想，并给予证明．
（3）当 绕 点旋转到图 3 这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
若不成立，线段 ， ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
解析：
E EN AC⊥ N EP AB⊥ P
1 1
2 2AECS AC EN AE CE= ⋅ = ⋅
9 7 4 2EN = × 28 29EN =
BAD DAC∠ = ∠ 28 29EP EN= =
E AB 28 29
ABCD AB AD⊥ BC CD⊥ AB BC= 120ABC∠ = °
60MBN∠ = ° MBN∠ B AD DC
E F
MBN∠ B AE CF= AE CF EF， ，
MBN∠ B AE CF≠
AE CF EF
MBN∠ B
AE CF EF证明：（1）∵ 和 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ；
（2）如图 2，将 顺时针旋转 ，
∵ ， ，
∴ 点与 点重合，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，[来源:学.科.网]
∴ ，
∴ ，
∴ ；
RT ABE RT CBF AB BC= CF AE=
tan tanCBF ABE∠ = ∠ BF BE=
CBF ABE∠ = ∠
120ABC∠ = ° 60MBN∠ = °
30CBF∠ = ° BEF
2BF CF= BF EF=
2EF CF AE CF= = +
RT ABE 120°
AB BC= 120ABC∠ = °
A C
BG BE= FG CG CF AE CF= + = +
120ABC∠ = ° 60MBN∠ = ° ABE CBG∠ = ∠
60GBF∠ = °
GBF EBF
60
BG BE
GBF EBF
BF BF
=
∠ = ∠ = °
=
GBF EBF SAS ≌ （ ）
FG EF=
EF AE CF= +（3）不成立，新结论为 ．
理由：如图 3，将 顺时针旋转 ，
∵ ， ，
∴ 点与 点重合， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
7.已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分
别 交 、 （ 或 它 们 的 延 长 线 ） 于 点 、 ． 当 绕 点 旋 转 到
时（如图 1），易证 ．
EF AE CF= ﹣
RT ABE 120°
AB BC= 120ABC∠ = °
A C ABE CBG∠ = ∠
BG BE= FG CG CF AE CF= − = −
120ABC ABE CBE∠ = ∠ + ∠ = °
120CBG CBE GBE∠ + ∠ = ∠ = °
60MBN∠ = °
60GBF∠ = °
BFG BFE
60
BG BE
GBF EBF
BF BF
=
∠ = ∠ = °
=
GBF EBF SAS ≌ （ ）
FG EF=
EF AE CF= −
ABCD 45MAN∠ = ° MAN∠ A
CB DC M N MAN∠ A
BM DN= BM DN MN+ =（1）当 绕点 旋转到 时（如图 2），线段 、 和 之
间有怎样的数量关系？
（2）当 绕点 旋转到如图 3 的位置时，线段 、 和 之间又有怎
样的数量关系？
解析：（1） 成立．
证明：如图，把 绕点 顺时针旋转 ，
得到 ，则可证得 、 、 三点共线（图形画正确）．
∴ ，
又∵ ，
∴在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
MAN∠ A BM DN≠ BM DN MN
MAN∠ A BM DN MN
BM DN MN+ =
ADN A 90°
ABE E B M
90 90 45 45EAM NAM∠ = ° − ∠ = ° − ° = °
45NAM∠ = °
AEM ANM
AE AN
EAM NAM
AM AM
=
∠ = ∠
=
AEM ANM SAS ≌ （ ）
ME MN=
ME BE BM DN BM= + = +∴ ；
（2） ．
在线段 上截取 ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，[
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
DN BM MN+ =
DN BM MN=﹣
DN DQ BM=
ADQ ABM
AD AB
ADQ ABM
DQ BM
=
∠ = ∠
=
ADQ ABM SAS ≌ （ ）
DAQ BAM∠ = ∠
QAN MAN∠ = ∠
AMN AQN
AQ AM
QAN MAN
AN AN
=
∠ = ∠
=
AMN AQN SAS ≌ （ ）∴ ，
∴ ．
8. （ 1 ） 如 图 1 ， 已 知 ， 平 分 ， 是 上 一 点 ，
，且与 、 分别相交于点 、 ，则 的数量关系为____；
（2）如图 2，在如上的（1）中，当 绕点 逆时针旋转使得点 落在 的反向
延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，新结论是什么？
（3）如图 3，已知 ，求证：① 是等边三角
形； ② ．
解析：
（1）证明：
过 作 于 ， 于 ，
则 ，
∵ ，
MN QN=
DN BM MN− =
120EOF∠ = ° OM EOF∠ A OM
60BAC∠ = ° OF OE B C AB AC，
BAC∠ A B OF
60AOC BOC BAC∠ = ∠ = ∠ = ° ABC
OC OA OB= +
A AG OF⊥ G AH OE⊥ H
90AHO AGO∠ = ∠ = °
120EOF∠ = °∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）结论还成立，
证明：
过 作 于 ， 于 ，
与（1）证法类似根据 证 ，
则 ；
（3）证明：①如图， ，
，
60HAG BAC∠ = ° = ∠
HAG BAH BAC BAH∠ − ∠ = ∠ − ∠
BAG CAH∠ = ∠
OM EOF∠ AG OF⊥ AH OE⊥
AG AH=
BAG CAH
AGB AHC
AG AH
BAG CAH
∠ = ∠
=
∠ = ∠
BAG CAH ASA ≌ （ ）
AB AC=
A AG OF⊥ G AH OE⊥ H
ASA BAG CAH ASA ≌ （ ）
AB AC=
180 120 60FOA∠ = ° − ° = °
60 60 120FOC∠ = ° + ° = °即 平分 ，
由（2）知： ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
②
在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴都减去 得： ，
在 和 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
OM COF∠
AC AB=
60CAB∠ = °
ABC
OC ON BO= BN
60COB∠ = °
BON
ON OB= 60OBN∠ = °
ABC
60ABC NBO∠ = ° = ∠
ABN∠ ABO CBN∠ = ∠
AOB CNB
BC AB
CBN OBA
BN OB
=
∠ = ∠
=
AOB CNB SAS ≌ （ ）
NC OA=
OC ON CN OB OA= + = +即 ．
9.如图 1，射线 、 在 的内部，且 ， ，射
线 、 分别平分 、 ，
（1）求 的大小；
（2）如图 2，若 ，将 绕点 以 每秒 的速度逆时针旋
转 秒钟，此时 ，如图 3 所示，求 的值．
解析：
（1）由题意可知 ， ，
、 分别平分 、 ，
，
OC OA OB= +
OC OD AOB∠ 150AOB∠ = ° 30COD∠ = °
OM ON AOD∠ BOC∠
MON∠
15AOC∠ = ° COD∠ O COD∠ x°
10 : 7 :11AOM BON∠ ∠ = x
150AOB∠ = ° 30COD∠ = °
OM ON AOD∠ BOC∠
MON MOD NOC COD∠ = ∠ + ∠ − ∠
1 1
2 2AOD BOC COD= ∠ + ∠ − ∠
1 ( )2 AOD BOC COD= ∠ + ∠ − ∠
1 ( )2 AOB COD COD= ∠ + ∠ − ∠
1 1
2 2AOB COD COD= ∠ + ∠ − ∠
75 15= ° − °
60= °即可得出 ．
（2）由题意， ； ；
所以 ，
又因为 ，且 、 分别平分 、 ，
所 以 ， 即 ； 解 之 得
．
10.（1）如图 1，圆内接 中， ， 、 为 的半径，
于点 ， 于点 ，则：阴影部分四边形 的面积与
的面积之比为_____：_____．
（2）如图 2，若 保持 角度不变，
求证：当 绕着 点旋转时，由两条半径和 的两条边围成的图形（图中阴影
部分）面积与 的面积之比为_____：___．
答案：1；3；1；3
解析：
（1）
60MON∠ = °
105 10BOD x∠ = ° − ° 15 10AOC x∠ = ° + °
135 10BOC x∠ = ° − ° 45 10AOD x∠ = ° + °
: 7:11AOM BON∠ ∠ = OM ON AOD∠ BOC∠
: 7:11AOD BOC∠ ∠ = ( ) ( )45 10 135 10 7:11x x°+ ° °− ° =:
2.5x =
ABC AB BC CA= = OD OE O
OD BC⊥ F OE AC⊥ G OFCG ABC
DOE∠ 120°
DOE∠ O ABC
ABC如图 1，连接 ， ；
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵点 是等边三角形 的外心，
∴ ， ，
∴在 和 中， ，
∴ ．
同理： ．
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．即
（2）证法一：
连接 ， 和 ，则
， ；
设 交 于点 ， 交 于点 ，
OA OC
ABC
AC BC=
O ABC
1
2CF CG AC= = 90OFC OGC∠ = ∠ = °
Rt OFC Rt OGC
CF CG
OC OC
=
=
Rt OFC Rt OGC ≌
Rt OGC Rt OGA ≌
Rt OFC Rt OGC Rt OGA ≌ ≌
OACOFCGS S=
四边形
1
3OAC ABCS S=
1
3 ABCOFCGS S=
四边形 : 1:3ABCOFCGS S =
四边形
OA OB OC
AOC COB BOA ≌ ≌ 1 2∠ = ∠
OD BC F OE AC G， ，
∴ ；
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，即 ；
证法二：
设 交 于点 ， 交 于点 ；
作 ， ，垂足分别为 、 ；
在四边形 中， ， ，
∴ ，
即 ；
又∵ ，
∴ ，
3 4 120AOC∠ = ∠ + ∠ = ° 5 4 120DOE∠ = ∠ + ∠ = °
3 5∠ = ∠
OAG OCF
2 1
3 5
OA OC
∠ = ∠
=
∠ = ∠
OAG OCF ≌
OAG OCFS S=
OAG OGC OCF OGCS S S S+ = +
1
3OAC ABCOFCGS S S= =
四边形 : 1:3ABCOFCGS S =
四边形
OD BC F OE AC G
OH BC⊥ OK AC⊥ H K
HOKC 90OHC OKC∠ = ∠ = ° 60C∠ = °
360 90 90 60 120HOK∠ = ° − ° − ° − ° = °
1 2 120∠ + ∠ = °
2 3 120GOF∠ = ∠ + ∠ = °
1 3∠ = ∠∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
11.已知四边形 中， ， ， ， ，
，将 绕点 旋转．当 旋转到如图的位 置，此时
的两边分别交 、 于 、 ，且 ．延长 至点 ，使 ，
连接 ．
求证：（1） ；
求：（2） ；
求：（3）线段 之间的数量关系.
解析：
（1）在 和 中，
，
∴ ．
（2）∵ ，
AC BC=
OH OK=
OGK OFH ≌
1
3 ABCOFCG OHCKS S S= =
四边形 四边形 : 1:3ABCOFCGS S =
四边形
ABCD AB AD⊥ BC CD⊥ AB BC= 120ABC∠ = °
60MBN∠ = ° MBN∠ B MBN∠ MBN∠
AD DC E F AE CF≠ DC K CK AE=
BK
ABE CBK ≌
_____KBC CBF∠ + ∠ = °
, ,CF AE EF
ABE CBK
AB BC
A BCK
AE CK
=
∠ = ∠
=
ABE CBK SAS ≌ （ ）
ABE CBK ≌∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
∴ ；
（3）在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
BE BK= ABE KBC∠ = ∠
120ABE CBE∠ + ∠ = °
120KBC CBE∠ + ∠ = °
120KBE∠ = °
60EBF∠ = °
60KBF EBF∠ = ∠ = °
60KBC CBF∠ + ∠ = °
EBF KBF
BK BE
KBF EBF
BF BF
=
∠ = ∠
=
EBF KBF SAS ≌ （ ）
EF KF=
EF CK CF= +
AE CF EF+ =
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