中考数学
§3.4 二次函数
考点一 二次函数的图象与性质
1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )
A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.
2.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 ( )
A.2>y1>y2 B.2>y2>y1
C.y1>y2>2 D.y2>y1>2
答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧,y随x的增
大而减小,又∵1y1>y2,故选A.
3.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是 ( )
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
答案 D 图象的对称轴为直线x=- =-1,在y轴的左侧,故A错;
∵当x=0时,y=-8,
∴图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;
∵y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),
∴图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;
∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)2≥0,
∴(x+1)2-9≥-9,
∴y的最小值为-9,故D正确.
2
2
4.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位,则平移
后得到的抛物线的顶点一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3=
+ ,∴平移后得到的抛物线的顶点坐标为 .∵m>1,∴ >0,-m2+6m-1
3=-(m-3)2-40.
∵m>1,∴ >0,∴对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,∴顶点在第四象限.故选D.
2-1- 2
mx
2- 6 -13
4
m m 2-1 - 6 -13,2 4
m m m
-1
2
m
2- 6 -13
4
m m
-1
2
m
5.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对
称,则符合条件的m、n的值分别为( )
A. ,- B.5,-6 C.-1,6 D.1,-25
7
18
7
答案 D 若两条抛物线关于y轴对称,则两条抛物线的对称轴关于y轴对称,两条抛物线与y轴交于同一
点,由 解得 故选D.
2 -1 3- 0,2 2
2 -4,
m m n
n m
1,
-2,
m
n
6.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方
形有公共点,则实数a的取值范围是 ( )
A. ≤a≤3 B. ≤a≤1
C. ≤a≤3 D. ≤a≤1
1
9
1
9
1
3
1
3
答案 A 当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a= ,由图象可知 ≤a≤3,故选A.1
9
1
9
7.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下
表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … m 0 -3 n -3 …
(1)根据以上信息,可知抛物线开口向 ,对称轴为 ;
(2)求抛物线的表达式及m,n的值;
(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点
P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线;
(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请
根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系: .
解析 (1)上;直线x=1.
详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上.
由题表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的对称轴为直线x= =1.
(2)由题表可知抛物线过点(0,-3).
∴y=ax2+bx-3.
将(-1,0),(2,-3)代入,
得 解得
∴y=x2-2x-3.
当x=-2时,m=(-2)2-2×(-2)-3=5;
当x=1时,n=12-2×1-3=-4.
(3)如图1所示,点P'所在曲线是抛物线.
详解:设P(x',y'),P'(x,y),∵P'是OP的中点,∴x'=2x,y'=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-2×2x-3,即
0 2
2
- -3 0,
4 2 -3 -3.
a b
a b
1,
-2.
a
b
y=2x2-2x- ,为点P'所在曲线的表达式,∴点P'所在曲线是抛物线.
(4)A3A4-A1A2=1.
详解:如图2.设点A1,A2,A3,A4对应的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,∴A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,∴A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1)
=x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x1,x4,∴x1+x4=2,令y=2x2-2x- =m,可得2
x2-2x- -m=0,它对应的两个根应为x2,x3,∴x2+x3=1,∴A3A4-A1A2=2-1=1.
3
2
3
2
3
2
8.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
解析 (1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴- =0,即k2+k-6=0,
解得k=-3或k=2. (2分)
当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去.
当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.
∴k=-3. (4分)
(2)∵点P到y轴的距离为2,
∴点P的横坐标为-2或2.
又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且由(1)知k=-3,
∴当x=2时,y=-5;
当x=-2时,y=-5. (6分)
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5). (8分)
2 -6
2
k k
易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=- .(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离
为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.
2
b
a
考点二 系数a、b、c的作用
1.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,
m)在抛物线上,则下列结论中错误的是 ( )
A.ab 时,y10,根据对称轴在y轴右侧可知- >0,∴b0,而a>0,∴b0.
当a>0,b0时,反比例函数y= 的图象经过第
一、三象限,故选D.
2
b
a 2
b
a
c
x
3.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n …
且当x=- 时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:
①abc>0;
②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;
③00,即 a+ a-2>0,∴a> .∵对称轴为直线x= ,二次函数y=ax2+bx
+c(a≠0)的图象过点(-1,m),(2,n),∴m=n,又当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,∴m+n=4a-4,∵a> ,∴4a-4>
,∴③错误.故选C.
0 1
2
1
2
1
2
1
2 2
b
a
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
8
3
1
2
8
3
20
3
考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系
1.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时,
对应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为 ( )
A.0 B.-1 C.- D.- 1
2
1
4
答案 D 依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴.
∴-(a+2)=0,解得a=-2.
∴方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2,
∴x1·x2=- ,故选D.1
4
解题关键 明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键.
2.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m
=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(00)有两个根,其中一个根是3.
则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,
设直线y=-m(m>0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3,
由对称性得点A的横坐标是-5,
如图所示.
设直线y=-n(0
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