第4课时 黄金分割
知识点 1 对黄金分割的理解
1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是( )
A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比
D．一条线段有两个黄金分割点
2．如图4－4－28，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )
图4－4－28
A.＝ B．BC2＝AB·AC
C.＝ D.≈0.618
3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )
A.－1 B．3－ C. D．0.618
4．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．
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5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．
图4－4－29
知识点 2 黄金分割的应用
6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )
A．216° B．135° C．120° D．108°
图4－4－30
图4－4－31
7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )
A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm
8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．
9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)
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图4－4－32
10．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( )
A．(3 －3)cm
B．(9－3 )cm
C．(3 －3)cm或(9－3 )cm
D．(9－3 )cm或(6 －6)cm
11．宽与长之比为∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
图4－4－33
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12．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．
图4－4－34
13．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；
(2)求线段AD的长．
图4－4－35
14．如图4－4－36①，点C将线段AB分成两部分，如果＝，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果＝(S1>S2)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是不是AB边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?
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(2)若△ABC在(1)的条件下，如图③，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；
(3)如图④，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点F，延长AB，DC交于点E，连接EF并延长分别交梯形上、下底于G，H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．
图4－4－36
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1．C 2.B
3．A [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，而AB＝2，
∴AC＝－1.
4．2 －4 [解析] ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝－1，则BP＝2－AP＝3－，
∴AP－BP＝(－1)－(3－)＝2 －4.
5．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝(40 －40)cm，
∴CD＝BD－(AB－BD)＝2BD－AB＝(80 －160)cm.
6．B 7.D
8．23 ℃ [解析] 37×≈23(℃)．
9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，
故主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体．
10．C [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，∴BC＝AB＝(3 －3)cm，或BC＝AB＝(9－3 )cm.
11．解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．
证明：∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝DC＝AF.
又∵＝，
∴＝，
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即点F是线段AD的黄金分割点，
∴＝＝，
∴＝，
∴矩形CDFE是黄金矩形．
12．[解析] 因为C，D均为线段AB的黄金分割点，
所以与相等，都等于黄金比．
因此AD＝BC，所以AC＝BD.
解：∵C，D均为线段AB的黄金分割点，
∴＝，∴AD＝BC，
∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.
设AC＝BD＝x cm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm.
∵＝，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3 ＋3，
∴AB＝(6 ＋12)cm.
13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝72°，
∴BC＝BD＝AD.
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∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴＝，即BC2＝AC·CD，
∴AD2＝AC·CD，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
(2)设AD＝x，则CD＝1－x.
由(1)得x2＝1－x.
解得x1＝(舍去)，x2＝，
∴AD＝.
14．解：(1)点D是AB边上的黄金分割点．
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线．
证明：设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ADC＝AD·h，S△DBC＝BD·h，S△ABC＝AB·h，
∴S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB，
S△DBC∶S△ADC＝BD∶AD.
由(1)知点D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∴S△ADC∶S△ABC＝S△DBC∶S△ADC，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
(3)直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
证明：∵BC∥AD，
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，
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∴＝，①
＝.②
由①②得＝，
即＝.③
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF，
得＝，即＝.④
由③④得＝，
∴AH＝HD，
∴BG＝GC，
∴梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等，高也相等，
∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝S梯形ABCD，
∴直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
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