2015人教版必修五第三章不等式作业题及答案解析第三章 3.4（二）.docx

‎§3.4　基本不等式：≤(二)‎ 课时目标 ‎1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；‎ ‎2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ ‎1．设x，y为正实数 ‎(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.‎ ‎(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.‎ ‎2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：‎ ‎(1)x，y必须是正数；‎ ‎(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．‎ ‎(3)等号成立的条件是否满足．‎ 利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．－3 B．‎3 ‎‎ C．4 D．－4‎ 答案　B ‎2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎4‎ C．16 D．不存在 答案　B 解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.‎ ‎∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．‎ ‎3．已知x≥，则f(x)＝有(　　)‎ A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1‎ 答案　D 解析　f(x)＝＝ ‎＝≥1.‎ 当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．‎ ‎4．函数y＝的最小值为(　　)‎ A．2 B. C．1 D．不存在 答案　B 解析　y＝＝＋ ‎∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．‎ ‎∴当＝2即x＝0时，ymin＝.‎ ‎5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)‎ A．3 B．‎4 ‎‎ C. D. 答案　B 解析　∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.‎ ‎∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.‎ ‎∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.‎ 当x＝2，y＝1时取等号．‎ ‎6．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)‎ A．3 B. C．4 D. 答案　C 解析　2＋2‎ ‎＝x2＋y2＋＋＋ ‎＝＋＋≥1＋1＋2＝4.‎ 当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．‎ 二、填空题 ‎7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．‎ 答案　9‎ 解析　∵x>－1，∴x＋1>0，‎ 设x＋1＝t>0，则x＝t－1，‎ 于是有y＝＝＝t＋＋5≥‎ ‎2＋5＝9，‎ 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.‎ ‎∴当x＝1时，‎ 函数y＝取得最小值为9.‎ ‎8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．‎ 答案　9‎ 解析　∵a＋b－ab＋3＝0，‎ ‎∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.‎ 令＝t，则t2≥2t＋3.‎ 解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.‎ ‎∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．‎ ‎9．建造一个容积为‎8 m3‎，深为‎2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．‎ 答案　1 760‎ 解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为‎4 m2‎，所以另一边长为 m．那么 y＝120·4＋2·80·＝480＋320 ‎≥480＋320·2＝1 760(元)．‎ 当x＝2，即底为边长为‎2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．‎ ‎10．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．‎ 答案　8‎ 解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，‎ ‎∴－‎2m－n＋1＝0，‎ 即‎2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.‎ 当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．‎ 故＋的最小值为8.‎ 三、解答题 ‎11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．‎ 解　方法一　∵＋＝1，‎ ‎∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.‎ ‎∵x>0，y>0，∴＋≥2 ＝6.‎ 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．‎ 又＋＝1，∴x＝4，y＝12.‎ ‎∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.‎ 方法二　由＋＝1，得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>9.‎ x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1‎ ‎＝(y－9)＋＋10.‎ ‎∵y>9，∴y－9>0，‎ ‎∴y－9＋＋10≥2 ＋10＝16，‎ 当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．‎ 又＋＝1，则x＝4，‎ ‎∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.‎ ‎12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?‎ 解　设使用x年的年平均费用为y万元．‎ 由已知，得y＝，‎ 即y＝1＋＋(x∈N*)．‎ 由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．‎ 能力提升 ‎13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)‎ A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M 答案　A 解析　∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.‎ ‎∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2.‎ ‎∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M.‎ ‎14．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．‎ 答案　 解析　∵≤ 成立，‎ ‎∴＋≤·，∴a≥.‎ ‎1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．‎ ‎2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．‎ ‎3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．‎