人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式 第1课时 基本不等式 情境互动课型 .ppt

3.4 基本不等式： 第1课时 基本不等式 国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主 办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？ 第24届国际数学家大会 会标是根据中国古代 数学家赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上去像 一个风车，代表中国人民 热情好客． 1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不 等式的代数、几何背景.(重点） 2.基本不等式的简单应用. 1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关 系吗？ B A C D E FG H 探究点1 探究基本不等式 B A C D E FG H 则正方形ABCD的面积 是________， 这4个直角三角形的面 积之和是_________， 设AE=a,BE=b, a2+b2 2ab > 提示: 当且仅当a=b时，等号成立， 提示: 一般地，对于任意实数a，b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立. 3.你能给出它的证明吗？ 【提升总结】 特别地， 我们用 , 分别代替 可得 4.你能用不等式的性质直接推导吗？ 通常我们把上式写作 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号. 【提升总结】 D A BC E 如图,AB是圆的直径，C 是AB上任一点， AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连接 AD,BD, 则CD=＿＿, 半径为＿＿. CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦. 可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均 数. 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式 × √ √ 和定积最大 【即时练习】 例 已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证： 分析：由于不等式左边含字母a,b，右边无字母， 直接使用基本不等式，既无法约掉字母，不等号 方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实现 “1”的代换？ 探究点2 利用基本不等式证明简单的不等式 当且仅当 时取等号. 【变式练习】 由公式 可以引申 出的常用结论： 【提升总结】 × √ 和定积最大 等号取不到 B 3.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是( )C C 证明：因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2 ， 所以2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， 又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2， c2a2＋a2b2≥2a2bc， 所以2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)， 即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)． 所以a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 5.求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋ c)． 1.两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 基本不等式 “a=b”时取 “=” “a=b”时取 “=” 在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。 ——郁达夫