高二理科数学期末冲刺课2讲

1 | 高二理科数学期末冲刺课两讲 第一讲 作者：柔软的石头  知识点一 函数及其性质 1．指数运算与对数运算 a 푚 푛 = n a 푚；a- 푚 푛 = n (1 a)푚 （푎 > 0,푚,푛 ∈ 퐍∗,푛 > 1）． aras = 푎푟+푠；(ar)푠 = 푎푟푠（푎 > 0,r,s ∈ Q）． （푎푏）푟 = 푎푟푏푟（푎 > 0,푏 > 0,r ∈ Q）． log푎 MN = log푎 M + log푎 N ；log푎 M N = log푎 M ― log푎 N （a > 0且a ≠ 1,푀 > 0,푁 > 0）． log푎푚 b 푛 = 푛 푚log푎 푏（a > 0且a ≠ 1,b > 0,푚,푛 ∈ 퐑）． log푎 푏 = log푐 푏 logc 푎（a > 0且a ≠ 1,b > 0, c > 0且c ≠ 1）． 2．指数函数与对数函数 指数函数y = 푎푥(푎 > 0且 a ≠ 1) 对数函数y = log푎 푥(푎 > 0且 a ≠ 1) 0 < 푎 < 1 푎 > 1 0 < 푎 < 1 푎 > 1 图象 定义域 퐑 (0, + ∞) 值域 (0, + ∞) 퐑 定点 (0,1) (1,0) 单调性 在퐑上递减 在퐑上递增 在(0, + ∞)上递 减 在(0, + ∞)上递 增 3．函数基本性质 单调性：∀x1,푥2 ∈ 퐷，若x1 < 푥2，有f(푥1) < 푓(푥2)（f(푥1) > 푓(푥2)），则f(푥)在퐷上单调递增（减）． 奇偶性：∀x ∈ 퐷，f(푥) = - 푓( ―푥)，则f(푥)是奇函数；f(푥) = 푓( ―푥)，则f(푥)是偶函数． 对称性：∀x ∈ 퐷，f(푥 + 푎) = 푓( -푥 + 푎)，则f(푥)关于直线x = a对称； ∀x ∈ 퐷，f(푥 + 푎) = - 푓( -푥 + 푎)，则f(푥)关于点(a,0)对称．2 | 周期性：∀x ∈ 퐷，f(푥 + 푇) = 푓(푥)，则f(푥)的周期为T．3 | 1．（省实）下列函数中，既是偶函数又在(0, + ∞)上单调递增的是（ ） A．y = 푥3 B．y = cos x C．y = tan푥 D．푦 = ln |x| 2．（铁一）已知定义在R上的函数f(푥)满足f(푥 + 1) = 1 f(푥)，当x ∈ (0,1]时，f(푥) = 2푥，则f(log2 9) = （ ） A． 16 25 B． 9 8 C． 8 9 D． 25 16  知识点二 三角函数、平面向量及解三角形 1．三角函数计算公式 同角三角关系：sin2 훼 + cos2 훼 = 1；tan훼 = sin훼 cos훼． 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限． 和差角公式：sin(훼 ± 훽) = sin훼cos훽 ± cos훼sin훽；cos(훼 ± 훽) = cos훼cos훽 ∓ sin훼sin훽； tan (훼 ± 훽) = tan훼 ± tan훽 1 ∓ tan훼 tan훽． 二倍角公式：sin 2 훼 = 2sin훼cos훼； cos 2 훼 = cos2 훼 ― sin2 훼 = 2cos2 훼 ―1 = 1 ― 2sin2 훼； tan2α = 2tanα 1 ― tan2 α． 2．三角函数图象及性质（表中푘 ∈ 퐙） 函数 푦 = sin푥 푦 = cos푥 푦 = tan푥 图象 定义域 퐑 퐑 {x|x ≠ π 2 +kπ} 值域 [ ―1,1] [ ―1,1] 퐑4 | 单调性 增[ ― π 2 + 2kπ,π 2 + 2kπ] 减[π 2 + 2kπ,3π 2 + 2kπ] 增[ ―π + 2kπ,2kπ] 减[2kπ,π + 2kπ] 增( ― π 2 + kπ,π 2 + kπ) 最值 x = π 2 + 2kπ，ymax = 1 x = ― π 2 + 2kπ，ymin = ―1 x = 2kπ，ymax = 1 x = π + 2kπ，ymin = ―1 无 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称轴 x = π 2 +kπ x = kπ 无 对称中心 (kπ,0) (π 2 + kπ,0) (kπ 2 ,0) 3．平面向量 平面向量的加法：平行四边形法则（共起点）、三角形法则（首尾相连）． 平面向量的数量积：a·b = |a|·|b|·cos휃，其中휃为a,b的夹角． 平面向量的模：a = a 2． 4．解三角形 正弦定理： a sin퐴 = 푏 sin퐵 = 푐 sin퐶 = 2푅． 余弦定理：푎2 = 푏2 + 푐2 ―2푏푐cos퐴，cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― 푎2 2bc ． 面积公式：푆 = 1 2푎푏sin퐶 = 1 2푏푐sin퐴 = 1 2푎푐sin퐵． 3．（执信）已知角휃的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y = 2x上，则cos2 휃 ― sin2 휃 = （ ） A． ― 4 5 B． ― 3 5 C． 3 5 D．4 55 | 4．（仲元）若훼 ∈ (0,π 2)，且cos(훼 + π 4) = 1 3 ，则sin훼的值为（ ） A．4 - 2 6 B．4 + 2 6 C． 7 18 D． 2 3 5．（真光）把函数푓(푥) = 3 cos (2푥 ― π 6)的图象向右平移 π 3个单位，得到y = 푔(푥)的图象，则函数푔(푥)的一个 对称中心坐标为（ ） A．(π 3,0) B．(2π 3 ,0) C．( - π 6 ,0) D．(5π 6 ,0) 6．（广雅）在ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD = 2DB，CD = 1 3CA + 휆CB，则휆 = （ ） A．2 3 B．1 3 C． - 1 3 D． - 2 3 7．（执信）在ABC中，|AB| = |AC| = 3，|AB + AC| = 3|AB ― AC|，则퐶B·CA = （ ） A．3 B． - 3 C．9 2 D． - 9 26 | 8．（天河）已知ABC的内角퐴,퐵,퐶所对的边分别为a,b,c，asin A = (푏 ― 3푐)sin퐵 +푐sin퐶． (1) 求角A的大小； (2) 若a = 2，b = 2 3，求ABC的面积．  知识点三 数列 1．等差数列与等比数列 等差数列：a푛 = 푎1 + (푛 ― 1)푑，S푛 = 푛(푎1 + 푎푛) 2 ． 等比数列：a푛 = 푎1푞푛―1，S푛 = {푛푎1,푞 = 1 푎1(1 ― 푞푛) 1 ― 푞 ,푞 ≠ 1． 2．数列求通项方法 基本量法：已知等差数列或等比数列，解方程． 公式法：a푛 = {푆1,푛 = 1 푆푛 ―푆푛―1,푛 ≥ 2． 累加法/累乘法：푎푛 ― 푎푛―1 = 푓(푛)或 푎푛 푎푛―1 = 푓(푛)． 3．数列求和方法 裂项相消法：常用于通项为分式、根式类求和． 错位相减法：常用于差比数列（等差 × 等比）求和． 9．（六中）已知各项均为正数的等比数列{푎푛}中，푎1,1 2푎3,2푎2成等差数列，则a9 + 푎10 푎7 + 푎8 = （ ） A．1 + 2 B．1 ― 2 C．3 + 2 2 D．3 ― 2 27 | 10．（铁一）已知数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，且满足a푛 = 3푆푛 ―2． (1) 求数列{푎푛}的通项公式； (2) 求数列{푛푎푛}的前푛项和푇푛．  知识点四 常用逻辑用语 1．四种命题间的关系 原命题：若p，则q． 逆命题：若q，则p． 否命题：若¬p，则¬q． 逆否命题：若¬q，则¬p． 互为逆否命题的两个命题真假性相同． 2．充要条件 若p，则q．p是q的充分条件，q是p的必要条件． 3．逻辑连接词 p ∧ q的真假性：只有p,q均为真时，p ∧ q才为真． p ∨ q的真假性：只有p,q均为假时，p ∨ q才为假． ¬p的真假性与p的真假性相反． 4．全称量词与存在量词 ∀x ∈ 푀，p(푥)的否定为：∃x ∈ 푀，¬p(푥)． ∃x ∈ 푀，p(푥)的否定为：∀x ∈ 푀，¬p(푥)．8 | 11．（86 中）已知命题p:对任意x ∈ R，总有2 푥 > 0；命题q:“x > 1”是“x > 2”的充分不必要条件，则下 列命题中为真命题的是（ ） A．p ∧ q B．(¬p) ∧ (¬푞) C．(¬p) ∧ q D．p ∧ (¬푞) 12．（七中）下列命题中正确的是（ ） A．若p ∨ q为真命题，则p ∧ q为真命题 B．“a > 0，b > 0”是“b a + a b ≥ 2”的充分必要条件 C．“若x 2 ―3푥 + 2 = 0，则x = 1或x = 2”的逆否命题是“若x ≠ 1或x ≠ 2，则x 2 ―3푥 + 2 ≠ 0” D．命题p：∃x ∈ R，使得x 2 +푥 ― 1 < 0，则¬p：∀x ∈ R，使得x 2 +푥 ― 1 ≥ 0  知识点五 圆锥曲线 1．椭圆与双曲线的定义与标准方程 椭圆 双曲线 定义 |PF1| + |PF2| = 2푎 ||PF1| ― |PF2|| = 2푎 焦点在x轴上 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0) 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)标准 方程 焦点在y轴上 푦2 푎2 + 푥2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0) 푦2 푎2 ― 푥2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0) 焦点位置 谁大跟谁走 谁正跟谁走 푎2 = 푏2 + 푐2 푐2 = 푎2 + 푏2 a,푏,푐间的关系 a最大 c最大9 | 2．椭圆、双曲线的几何性质（以焦点在x轴上的方程为例） 椭圆 双曲线 标准方程 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0) 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0) 图形 范围 ―푎 ≤ x ≤ 푎， - b ≤ 푦 ≤ 푏 푥 ≤ ―푎或x ≥ a，y ∈ R 对称性 对称轴：x轴和y轴；对称中心：坐标原点 顶点 퐴1( ―푎,0)，퐴2(푎,0) B1(0, - b)，B2(0,b) 퐴1( ―푎,0)，퐴2(푎,0) 轴 A1A2为长轴，|A1A2| = 2a B1B2为短轴，|B1B2| = 2b A1A2为实轴，|A1A2| = 2a B1B2为虚轴，|B1B2| = 2b 性质 离心率 e = c a ∈ (0,1) e = c a ∈ (1, + ∞) 3．双曲线的渐近线 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0) 푦2 푎2 ― 푥2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0) 渐近线方程 y = ± b 푎푥 y = ± 푎 푏푥 4．抛物线的定义、标准方程、类型和几何性质（푝 > 0） 定义 平面内到一个定点和到一条定直线（定点不在定直线上）的距离 相等的点的轨迹是抛物线．其中，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫 做抛物线的准线． 标准方程 y 2 = 2푝푥 y 2 = -2푝푥 x 2 = 2푝y x 2 = -2푝y 图形 顶点 (0,0) 对称轴 푥轴 y轴 焦点坐标 (푝 2,0) ( ― 푝 2,0) (0, 푝 2) (0, ― 푝 2) 准线方程 푥 = ― 푝 2 푥 = 푝 2 푦 = ― 푝 2 푦 = 푝 210 | 13．（执信）与双曲线x 2 ―4푦2 = 4有相同的渐近线，且经过点(2, 5)的双曲线的标准方程为____________． 14．（六中）已知双曲线x 2 푎2 - 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左焦点为F( ―푐,0)，过点F做圆x 2 + 푦2 = 푏2 4 的切线，切点为 E，延长FE交双曲线右支于点P，若|퐹퐸| = |EP|，则双曲线的离心率为（ ） A． 10 B． 5 C． 10 2 D． 5 2 15．（真光）在平面直角坐标系xOy中，设퐹为抛物线퐶:푦2 = 3푥的焦点，过퐹且倾斜角为30°的直线交퐶于퐴,퐵 两点，则푂퐴퐵的面积为（ ） A．3 3 4 B．9 3 8 C．63 32 D．9 411 | 16．（东圃）已知椭圆C:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率为 3 2 ，且过点푀(4,1)． (1) 求椭圆C的方程； (2) 若直线푦 = 푥 + 푚(푚 ≠ ―3)与椭圆퐶交于푃,푄两点，记直线푀푃,푀푄的斜率分别为푘1,푘2，试探究푘1 + 푘2是 否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．12 | 第二讲  知识点一 空间向量与立体几何 1．空间向量的平行与垂直 a = (푥1,푦1,푧1)，b = (푥2,푦2,푧2)． a//b，则 푥1 푥2 = 푦1 푦2 = 푧1 푧2 ；a ⊥ b，则푥1푥2 + 푦1푦2 + 푧1푧2 = 0． 2．求解平面法向量的方法：先考虑是否有已知的线面垂直；若无则列方程，待定系数求解一个法向量． 3．利用空间向量求证线面关系： 证明线线平行：两线的方向向量平行． 证明线面平行：线的方向向量与面的法向量垂直． 证明面面平行：两面的法向量平行． 证明线线垂直：两线的方向向量垂直． 证明线面垂直：线的方向向量与面的法向量平行． 证明面面垂直：两面的法向量垂直． 4．利用空间向量求空间角 线线角휃 ∈ [0,π 2]：设两线的方向向量分别为a,푏，则cos휃 = |a·푏| |a|·|푏|． 线面角휃 ∈ [0,π 2]：设线的方向向量和面的法向量分别为a,n，则 sin 휃 = |a·n| |a|·|n|． 二面角휃 ∈ (0,π)：设两面的法向量分别为m,n，则|cos휃| = |m·n| |m|·|n|． 1．（省实）已知二面角B - AD - C为120°，AB ⊥ AD于A，CD ⊥ AD于D．且AB = AD = CD = 1，则BC = （ ） A． 2 B．1 C．2 D．413 | 2．（广雅）如图，已知E,F分别是正方形퐴퐵퐶퐷边퐵퐶,퐶퐷的中点，퐸퐹与퐴퐶 交于点푂，푃퐴,푁퐶都垂直于平面퐴퐵퐶퐷，且푃퐴 = 퐴퐵 = 4，푁퐶 = 2，M是 线段PA上一动点． (1) 求证：平面PAC ⊥ 平面NEF； (2) 若PC//平面MEF，试求PM MA 的值； (3) 当M是PA的中点时，求二面角M - EF - N的余弦值．14 |  知识点二 导数及其应用 1．导数的几何意义：切点横坐标处的导数值是切点处的切线斜率． 2．导数运算： 原函数f(푥) 导函数f′(푥) 原函数f(푥) 导函数f′(푥) 푓(푥) = c f′(푥) = 0 푓(푥) = loga 푥 f′(푥) = 1 x ln 푎 푓(푥) = x 푛 f′(푥) = nx 푛―1 푓(푥) = ln 푥 f′(푥) = 1 x 푓(푥) = 푎푥 f′(푥) = ln 푎 ·푎푥 푓(푥) = sin푥 f′(푥) = cos푥 푓(푥) = e푥 f′(푥) = e푥 푓(푥) = cos푥 f′(푥) = ― sin푥 [푓(푥) ± 푔(푥)]′ = 푓′(푥) ± 푔′(푥)；[푓(푥)·푔(푥)]′ = 푓′(푥)푔(푥) + 푓(푥)푔′(푥)；[푓(푥) 푔(푥)]′ = 푓′(푥)푔(푥) - 푓(푥)푔′(푥) 푔2(푥) ． 3．利用导数研究函数的单调性：若f′(푥) > 0，则f(푥)单调递增；若f′(푥) < 0，则f(푥)单调递减． 4．函数的极值与最值 极大值 若f′(푥0) = 0，且在x = 푥0附近的左侧f′(푥) > 0，在x = 푥0附近的右侧f′ (푥) < 0，则f(푥0)是f(푥)的极大值 极值 极小值 若f′(푥0) = 0，且在x = 푥0附近的左侧f′(푥) < 0，在x = 푥0附近的右侧f′ (푥) > 0，则f(푥0)是f(푥)的极小值 最大值 函数各极值与区间端点处值中最大的一个为函数的最大值 最值 最小值 函数各极值与区间端点处值中最小的一个为函数的最小值 5．定积分 定积分的几何意义：∫b a f (푥)d푥表示曲线y = f(푥)与x轴、直线x = a、直线x = b所围成的曲面梯形面积． 微积分基本定理：若F′(푥) = f（x），则∫b a f (푥)d푥 = 퐹(푥)|푏푎 = 퐹(푏) ―퐹(푎)． 定积分的性质：∫b a cf (푥)d푥 = c∫b a f (푥)d푥；∫b a [f(푥) ± 푔(푥)]d푥 = ∫b a f (푥)d푥 + ∫b a 푔(푥)d푥； ∫b a f (푥)d푥 = ∫푐 a f (푥)d푥 + ∫b푐 f (푥)d푥． 3．（执信）已知函数f(푥)的导函数为f′(푥)，且满足f(푥) = 2푥푓′(2017) ― ln 푥，则f′(2017)的值为 ____________．15 | 4．（华附）若函数f(푥) = 푥2 ―2ln 푥在x = 푥0处的切线与直线x +3푦 + 2 = 0垂直，则x0 = ____________． 5．（天河）已知函数f(푥) = 푥3 +푎푥2 +푏푥 + 푎2在푥 = 1处有极小值10，则a - b的值为____________． 6．（广外）函数f(푥)与其导数f′(푥)的图象如图所示，则函数g(푥) = f(푥) e푥 的单调递减区间为（ ） A．(0,4) B．( ―∞,1)，(4 3,4) C．(0,4 3) D．(0,1)，(4, + ∞) 7．（五中）已知函数푓(푥)的导函数为f′(푥)，且f′(푥) > 푓(푥)对任意的x ∈ R恒成立，则下列不等式均成立的是 （ ） A．f(1) < e푓(0)，f(2) < e2푓(0) B．f(1) > e푓(0)，f(2) < e2푓(0) C．f(1) < e푓(0)，f(2) > e2푓(0) D．f(1) > e푓(0)，f(2) > e2푓(0)16 | 8．（华附）由曲线y 2 = 2푥与直线y = 2x围成的封闭图形的面积为____________． 9．（四中）已知函数f(푥) = 푎ln(푥 + 1) + 1 2푥2 ―푥，其中a为实数． (1) 讨论函数f(푥)的单调性； (2) 若函数f(푥)有两个极值点푥1,푥2，且x1 < 푥2，证明：2f(푥2) - x1 > 0．17 |  知识点三 复数 1．复数的概念：实部、虚部、纯虚数、共轭复数． 2．复数的运算：除法，分子分母同乘分母的共轭复数． 3．复数的几何意义：复数a +푏i在复平面内对应点为(푎,푏)，其模为 푎2 + 푏2． 10．（铁一）设i为虚数单位，复数z = (2 ― i)2 i ，则|푧| = （ ） A．25 B． 41 C．5 D． 5 11．（省实）已知a为实数，a + i 1 + i是纯虚数，则a = （ ） A．1 B． ―1 C． 2 D． ― 2 12．（广雅）定义运算|푎 푏 푐 푑| = 푎푑 ― 푏푐, 则符合条件| 푧 1 + i ―i 2i | = 0的复数푧的共轭复数푧对应的点 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限  知识点四 推理与证明 1．合情推理与演绎推理 合情推理 归纳推理 类比推理 演绎推理 推理形式 特殊到一般 特殊到特殊 一般到特殊 推理结论的真假 结论不一定正确，有待进一步证明 在大前提、小前提、推理形 式都正确的前提下，得到的 结论一定正确18 | 13．（天河）已知结论：在三角形퐴퐵퐶中，若퐷是边퐵퐶的中点，퐺是三角形퐴퐵퐶的中心，则 퐴퐺 퐺퐷 = 2，若把该结 论推广到空间，则有结论：在正四面体퐴퐵퐶퐷中，若三角形퐴퐵퐶的中心为푀，四面体内部一点푂到四面体各 面的距离都相等，则 퐴푂 푂푀 = （ ） A．1 B．2 C．3 D．4  知识点五 计数原理 1．排列组合常见模型 基本原则：特殊元素、特殊位置优先安排；先选元素，后排列． 间接法：正难则反． 捆绑法：相邻元素，捆绑处理． 插空法：不相邻问题，插空处理． 2．二项式定理 通项：T푟+1 = C 푟푛푎푛―푘푏푘． (a + b)푛的展开式中，二项式系数和为2푛． 涉及系数和的问题，常考虑赋值法． 14．（广中）已知集合푆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合퐴 = {푎1,푎2,푎3}，퐴 ⊆ 푆，푎1,푎2,푎3满足푎1 < 푎2 < 푎3且푎3 ― 푎2 ≤ 6，那么满足条件的集合퐴的个数为（ ） A．76 B．78 C．83 D．84 15．（越秀）将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A．240种 B．480种 C．720种 D．960种19 | 16．（华附）已知(1 + a x)(2푥 - 1 x)5的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ） A． - 80 B． - 40 C．40 D．80 17．（真光）(2푥2 + 푥 ― 1)5的展开式中，x 3的系数为____________．  知识点六 随机变量及其分布 1．随机变量的分布列 若离散型随机变量푋可能取的不同值分别为푥1,푥2,…,푥푖,…,푥푛，而푋取每一个值푥푖(푖 = 1,2,…,푛)的概率푃 (푋 = 푥푖) = 푝푖，以表格的形式表示如下： 푋 푥1 푥2 … 푥푖 … 푥푛 푃 푝1 푝2 … 푝푖 … 푝푛 2．超几何分布（不放回抽取） 在含有푀件次品的푁件产品中，任取푛件，其中恰有푋件次品，则푃(푋 = 푘) = C푘푀C푛―푘푁―푀 C푛푁 ，푘 = 0,1,2,3,…,푚． 3．二项分布（放回抽取） 在푛次独立重复试验中，用푋表示事件퐴发生的次数，设每次试验中事件퐴发生的概率为푝，则在푛次独立 重复试验中，事件퐴恰好发生푘次的概率为：푃(푋 = 푘) = C푘푛푝푘(1 ― 푝)푛―푘，푘 = 0,1,2,…,푛． 二项分布的数学期望与方差：퐸푋 = 푛푝，퐷푋 = 푛푝(1 ― 푝)． 4．线性回归方程 푏 = ∑푛 푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦) ∑푛 푖=1 (푥푖 ― 푥)2 = ∑푛 푖=1 푥푖푦푖 ― 푛푥푦 ∑푛 푖=1 푥2푖 ― 푛푥2 ；푎 = 푦 - 푏x． 相关系数r = ∑푛 푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦) ∑푛 푖=1 (푥푖 ― 푥)2 ∑푛 푖=1 (y푖 ― y)2 = ∑푛 푖=1 푥푖푦푖 ― 푛푥푦 (∑푛 푖=1 푥2푖 ― 푛푥2)(∑푛 푖=1 푦2푖 ― 푛푦2)．|r|越接近1，变量间的线性相关程度越强． 相关系数R 2 = 1 ― ∑푛 푖=1 (푦푖 ― 푦푖)2 ∑푛 푖=1 (푦푖 ― y)2 ．R 2的取值越大，说明模型的拟合效果越好． 5．独立性检验：K 2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)．20 | 18．（86 中）若根据10名儿童的年龄푥(岁)和体重푦(kg)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是푦 = 2푥 +7，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是 （ ） A．14kg B．15kg C．16kg D．17kg 19．（省实）为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知 识测试,统计数据如下表所示： 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 (1) 试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； (2) 为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率 为 2 3，现在从环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量푋表示这3人中通过预选赛的人数，求푋 的分布列与数学期望． 附：K 2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)． 푃(퐾2 ≥ 푘) 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001 푘 0.455 0.708 2.706 6.635 10.82821 | 20．（广中）一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的 概率为 2 5；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率为 7 9． (1) 若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为휉，求휉的数学期望퐸(휉)； (2) 求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 7 10．  知识点七 极坐标与参数方程 1．极坐标与直角坐标的互化：푥 = 휌cos휃，y = 휌 sin 휃；휌2 = x 2 + 푦2． 2．极坐标的应用：利用휌和휃的几何意义，在极坐标系中可较快捷解决一些与距离及旋转角度相关的问题． 3．曲线参数方程的应用：参数中含三角函数，可利用三角函数有界性解决最值问题． 4．直线参数方程的应用：直线参数方程的标准形式为{푥 = 푥0 + 푡 cos훼 푦 = 푦0 + 푡 sin훼（푡为参数）中t的应用． 21．（真光）在直角坐标系푥푂푦中，曲线퐶上的各点到퐹1( ― 2,0)，퐹2( 2,0)的距离之和为2 3，倾斜角为 3π 4 的直线푙经过点퐴(1,1)． (1) 求曲线퐶和直线푙的方程； (2) 设点푄是曲线퐶上的一个动点，求它到直线푙的距离最大值． 原创：陈炜鸿 手机：18819452367