高二理科数学下学期期末考试

高二理科数学下学期期末考试 数 学 试 题（理科） （本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间 1， 满分 1） 第Ⅰ卷（选择题，共 48 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．每小题给出的 4 个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．复数 3 1 iz i   等于 （ ） A． i21 B． i21 C． i2 D． i2 2．如果复数 )2)(1( ibi  是纯虚数，则 bi ib   1 32 的值为 （ ） A． 2 B． 5 C．5 D．15 3．已知函数 1 xy ，则它的导函数是 （ ） A． 12 1/  xy B． )1(2 1/   x xy C． 1 12/   x xy D． )1(2 1/   x xy 4．  dxex x )(cos 0  （ ） A．1 e  B．1 e  C． e  D． 1e    5．如图，平行四边形 ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点， AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共 有（ ） A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 6．曲线 2 2 1x y  经过伸缩变换 T 得到曲线 '2 '2 116 9 x y  ，那么直线 2 1 0x y   经过伸 缩变换 T 得到的直线方程为 （ ） A． ' '2 3 6 0x y   B． ' '4 6 1 0x y   C． ' '3 8 12 0x y   D． ' '3 8 1 0x y   7．圆 5cos 5 3sin    的圆心坐标是 （ ） A 4( 5, )3   B ( 5, )3  C (5, )3  D 5( 5, )3  8．在极坐标系中与圆 4sin  相切的一条直线的方程为 （ ） A cos 2   B sin 2   C 4sin( )3    D 4sin( )3    9．设随即变量 服从正态分布 )1,0(N ， pP  )1( ，则 )01(  P 等于 （ ） A． p2 1 B． p1 C． p21 D． p 2 1 10．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一 步或最后一步，程序 CB, 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ） A． 24 种 B．96 种 C．120种 D．144种 11．某盏吊灯上并联着 3 个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 7.0 则 在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ） A． 343.0 B． 833.0 C． 973.0 D． 029.1 12．已知 )(xf 是定义在 ),0(  上的非负可导函数，且满足   0)(/  xfxxf ，对任意正 数 ba, ，若 ba  ，则必有 （ ） A )()( abfbaf  B )()( bafabf  C )()( bfaaf  D )()( afbbf  第Ⅱ卷（非选择题，共 72 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．函数 3 5 4 6y x x    的最大值是 ． 14．由曲线 2xy  ， xy  ， xy 3 所围成的图形面积为 ． 15．二项式 10)2 11( x  的展开式中含 5 1 x 的项的系数是 ． 16．已知函数  2,2,)( 23  xcbxaxxxf 表示过原点的曲线，且在 1x 处的切 线的倾斜角均为  4 3 ，有以下命题： ① )(xf 的解析式为  2,2,4)( 3  xxxxf ； ② )(xf 的极值点有且只有一个； ③ )(xf 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 56 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 8 分）设函数 )(xf lg(| 3| | 7 |)x x   a ． （1）当 1a 时，解关于 x 的不等式 0)( xf ； （2）如果 Rx  ， 0)( xf ，求 a 的取值范围． 18．（本小题满分 10 分）设   nnnf n       11 ，其中 n 为正整数． （1）求 )1(f ， )2(f ， )3(f 的值； （2）猜想满足不等式 0)( nf 的正整数 n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 19．（本小题满分 10 分）经过点       2 3,3A ，倾斜角为 的直线l ，与曲线C ：        sin5 cos5 y x （ 为参数）相交于 CB, 两点． （1）写出直线l 的参数方程，并求当 6   时弦 BC 的长； （2）当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； （3）当 8BC 时，求直线 BC 的方程； （4）当 变化时，求弦 BC 的中点的轨迹方程． 本小题满分 9 分）设在一个盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三张卡片，现从这个盒子中， 有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为 yx, ，设随机变量 xyx  2 ． （1）写出 yx, 的可能取值，并求随机变量 的最大值； （2）求事件“ 取得最大值”的概率； （3）求 的分布列和数学期望与方差． 21．（本小题满分 9 分）如图，已知⊙ 1O 与⊙ 2O 外 切于点 P ， AB 是两圆的外公切线， A ， B 为切 点， AB 与 21OO 的延长线相交于点C ，延长 AP 交⊙ 2O 于 点 D ，点 E 在 AD 延长线上． （1）求证： ABP 是直角三角形； （2）若 AEAPACAB  ，试判断 AC 与 EC 能否一定垂直？并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 4AP ， 4 9PD ，求 AC EC 的值． D B E CA 1O 2O P 22．（本小题满分 10 分）已知函数 cbxxaxxf  44 ln)( )0( x 在 1x 处取得极值 c 3 ，其中 cba ,, 为常数． （1）求 ba, 的值； （2）讨论函数 )(xf 的单调区间； （3）若对任意 0x ，不等式 02)( 2  cxf 恒成立，求 c 的取值范围． （注意：本页不交，答案写到答题纸上） 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分） 1．C 2． B 3． B 4． A 5． D 6．C 7． A 8． A 9． D 10． B 11．C 12． A 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13．5 14． 3 13 15． 8 63 16．①③ 三、解答题（共 6 小题，共 56 分） 17．解：（1）当 1a  时，原不等式可变为| 3| | 7 | 10x x    ， 可得其解集为{ | 3, 7}.x x x  或 ………………4 分 （2）因| 3| | 7 | 3 ( 7) | 10x x x x       ｜ 对任意 x R 都成立． ∴ lg(| 3| | 7 |) lg10 1x x     对任何 x R 都成立． ∵ lg(| 3| | 7 |)x x a    解集为 R ．∴ 1a  …………………………8 分 18．解：（1） 27 17)3(,2 1)2(,1)1(  fff ………………3 分 （2）猜想： 0)11()(,3  nnnfn n ………………4 分 证明：①当 3n 时， 027 17)3( f 成立 ………………5 分 ②假设当 kn  ),3( *Nnn  时猜想正确，即   011       kkkf k ∴ kk k       11 由于 )1 11()11()1 11()1 11(1 11 1        kkkkk kk k 11)1 11(  kk kkkk ………………8 分 ∴ 1)1 11( 1   kk k ，即   0)1(1 111 1        kkkf k 成立 由①②可知，对 0)11()(,3  nnnfn n 成立 ………………10 分 19．解：（1）l 的参数方程        sin2 3 cos3 ty tx （t 为参数）． …………1 分 曲线 C 化为： 2522  yx ，将直线参数方程的 yx, 代入，得 04 55)sincos2(32  tt  ∵ 055)sincos2(9 2   恒成立， ………………3 分 ∴方程必有相异两实根 21,tt ，且 )sincos2(321   tt ， 4 55 21 tt ． ∴ 55)sincos2(94)( 2 21 2 2121  ttttttBC ∴当 6   时， 3363372 1 BC ． ………………5 分 （2）由 A 为 BC 中点，可知 0)sincos2(321  tt ， ∴ 2tan  ， 故直线 BC 的方程为 01524  yx ． ………………7 分 （3）∵ 8BC ，得 855)sincos2(9 2  BC ∴ 0cos3cossin4 2   , ∴ 0cos  或 4 3tan  故直线 BC 的方程为 3x 或 01543  yx ………………9 分 （4）∵ BC 中点对应参数 2 21 ttt  )sincos2(2 3   ∴          sin)sincos2(2 3 2 3 cos)sincos2(2 33 y x （ 参数  ,0 ），消去 ，得 弦 BC 的中点的轨迹方程为 16 45)4 3()2 3( 22  yx ； 轨迹是以 )4 3,2 3(  为圆心， 4 53 为半径的圆． ………………10 分 ：（1） yx, 的可能取值都为 1，2，3． 2,12  xyx ，∴ 3 ， ∴当 3,1  yx 或 1,3  yx 时， 取最大值3 ． ………………3 分 （2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数 933 n ， ∴ 9 2)3( P ……………………………4 分 （3） 的所有取值为 0，1，2，3， 当 0 时，只有 2,2  yx 这 1 种情况，∴ 9 1)0( P ； 当 1 时，只有 1,1  yx 或 1,2  yx 或 3,2  yx 或 3,3  yx ， 共 4 种情况，∴ 9 4)1( P ； 当 2 时，只有 2,32,1  yxyx 或 这 2 种情况，∴ 9 2)2( P ； 当 3 时， 9 2)3( P ； ………………7 分 ∴ 随机变量 的分布列为：  0 1 2 3 P 9 1 9 2 9 4 9 2 ∴ 数学期望 9 14 9 239 429 219 10 E 方差 9 8)9 143(9 2)9 142(9 4)9 141(9 2)9 140(9 1 2222 D ………9 分 21．解：（1）证明：过点 P 作两圆公切线 PN 交 AB 于 N ，由切线长定理得 NBNANP  ，∴ PAB 为直角三角形 ………………3 分 （2） ECAC  证明：∵ AEAPACAB  ， ∴ AC AE AP AB  ，又 EACPAB  ， ∴ PAB ∽ CAE ∴ ,900 APBECA 即 ECAC  ． ……………6 分 （3）由切割线定理， ADAPAB 2 ， ∴ ,3,5  PBAB ACECPAPB :4:3:  ∴ 4 3 AC EC ． ………………9 分 22．解：（1） )4ln4()( 3/ baxaxxf  ， 0)1( f ， ∴ 04  ba ，又 cf  3)1( ， ∴ 3,12  ba ； ………………5 分 （2） xxxf ln48)( 3/  （ )0x ∴由 0)(/ xf 得 1x ， 当 10  x 时， 0)(/ xf ， )(xf 单调递减； 当 1x 时， 0)(/ xf ， )(xf 单调递增； ∴ )(xf 单调递减区间为 )1,0( ，单调递增区间为 ),1(  ……9 分 （3）由（2）可知， 1x 时， )(xf 取极小值也是最小值 cf  3)1( ， 依题意，只需 023 2  cc ，解得 2 3c 或 1c ………………10 分