问题10数列中整数解问题
一、考情分析
数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位．数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带来帮助
二、经验分享
二元不定方程 双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.
方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.
方法2. 利用整除性质 ：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决．
方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为型,利用的上界或下界来估计的范围,通过解不等式得出m的范围,再一一验证即可.
三、知识拓展
1、整数的基本性质：
（1）整数的和,差,积仍为整数
（2）整数的奇偶性：若,则称为奇数；若,则称为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律：
① 奇数奇数偶数 ② 奇数偶数奇数
③ 偶数偶数偶数 ④ 奇数偶数偶数
⑤ 偶数偶数偶数 ⑥ 奇数奇数奇数
（3）若,且,则
（4）已知,若,且,则只能取到有限多个整数（也有可能无解）
（5）若,称能被整除,则有：
①
31
② 为的一个因数
（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数
2、整数性质的应用：
（1）若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如：若,则的取值只能是.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.
（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个：
① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量
② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值
（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点：
① 所解得变量非整数,或不符合已知范围
② 等式两侧为一奇一偶
3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前项和的项数,均为正整数.
四、题型分析
(一) 利用整除性质
【例1】已知数列的通项公式为,若为数列中的项,则____
【解析】,中的项为大于等于（）的奇数,所以考虑将向奇数形式变形：
,可得应该为大于等于4的偶数,所以或,解得（舍）或
31
【答案】
【点评】（1）本题的亮点在于对的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在上.
（2）本题对的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到应为奇数,而,而的奇因数只有和,同样可确定的值.
【牛刀小试】【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明数列为等差数列.
（3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为数列的前项的和，
所以当时，；
当且时，，
当时，上式也成立，
所以数列的通项公式为.
（2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列，
所以，即，
所以，
两式相除得，对任意正整数都有，
即，
当为奇数时，，所以，
31
当为偶数时，，而，所以，
所以.
所以，
所以数列为等差数列.
(3)因为，
所以，
因此存在正整数，使得成等比数列
，
因为都是正整数，则，
即时，对应的.
所以存在或或使得成等比数列.
(二) 不等式估值法
【例2】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．
（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．
【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2）①，②使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3
【分析】（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，列出方程即可求解。
（2）①因为，所以，根据为“回归数列”，得，可得以数列
31
为等差数列，即可求解；
②由，求得，分类讨论，根据数列的单调性，即可求解。
【解析】（1）假设是“回归数列”
则对任意，总存在，使成立，
即，即，
此时等式左边为奇数．右边为偶数，不成立，所以假设不成立
所以不是“回归数列”；
（2）①因为，所以，
所以且，
又因为为“回归数列”，所以，
即，所以数列为等差数列.
又因为所以.
②因为，所以
因为，所以，
又因为，所以，
当时，式整理为，不成立，
当时，式整理为，
设，因为，
所以时，时，
所以，所以s无解
当时，式整理，因为，所以s＝1
综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3
【牛刀小试】已知为等差数列,前项和为,若
（1）求
31
（2）对,将中落入区间内项的个数记为
① 求
② 记,的前项和记为,是否存在,使得成立？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由
【解析】（1）设的公差为
解得：
（2）①
② 思路：由①可得：, ,则所解方程变形为：,得到关于的不定方程,可考虑对进行变量分离,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到,即,然后代入解出符合条件的即可
解：由①可得：
31
由可得：
时,解得：（舍）
时,解得：（舍）
时,解得：
存在这样的,满足所给方程
【点评】1、本题中②的方程,并没有在一开始就将代入,否则运算会复杂的多,所采取的策略为先化简变形,变形完成之后再代入.可简化不必要的运算
2、本题在解的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接,则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如）,再结合变量必须取整数的条件,便可用不等关系将变量所能取的值确定下来.
(三) 反证法
31
【例3】已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有： ,若,则：
（1）求数列的通项公式
（2）试探究：数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由
（1）【解析】 ①
②
①②可得：
令,则
令,则
令,则
所以有：,解得：
（2）【分析】首先要把命题翻译为等式,将其他项可设为,设存在某项,则,设,则同除以,就会出现左右两侧奇偶不同,从而假设不成立
解：假设存在某项及数列中的其他项
,所以
两边同时除以可得：
,左边为偶数,右边为奇数.所以等式不成立
所以不存在这样的项
【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表示为：
31
,如果不一定相邻,则可用作角标,其中体现出这一串项所成数列中项的序数,而表示该项在原数列中的序数
（2）本题还有一个矛盾点：题目中的项不一定为相邻项,但是可通过放缩将右边的项补全,变为从 一直加到 ,即.则①,由整数性质可得,所以,与①矛盾,所以不存在.
【牛刀小试】【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.
（1）若数列通项为，求证：；
（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.
【解析】（1）因为，所以，所以，所以，即.
（2）设的公差为，因为，
所以
特别的当时，，即，
由得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，
又，所以，
于是，即，
所以，即，
所以，
31
因此的取值范围是.
（3）由得，所以，即，
所以，
从而有，
又，所以，即，
又，，
所以有，所以，
假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，
不妨设该等差数列的第项为（为常数），
则存在，，使得，
即，
设，，，
则
即，
于是当时，，
从而有：当时，即，
于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，
因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列.
(四) 因式分解法
【例4】
31
【解析】
【点评】本题中将不定方程变形为,因为分解方式是唯一的,所以可以得到关于k,m,的二元一次方程组求解.
五、迁移运用
1．【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列，，．数列满足：对任意的正整数，都有．
（1）分别求数列与的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数都成立，求实数的取值范围；
（3）已知，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列．
设数列的前项的和为，试问：是否存在正整数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为是等比数列，且各项均为正数，所以，解得，
公比，所以，
因为，
所以，
两式相减，得，所以当时，，
31
因为当时，，所以，符合，所以；
（2）因为，所以当时，原不等式成立，
当时，原不等式可化为，
设，则，
则，
所以，即数列单调递减，
所以，解得，
综上，；
（3）由题意可知，设在数列中的项为，则由题意可知，，
所以当时，，
设，易解得，
当时，，，
因为，且，
所以当时，.
2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】已知数列，其中．
（1）若满足．
①当，且时，求的值；
②若存在互不相等的正整数，满足，且成等差数列，求的值．
（2）设数列的前项和为，数列的前n项和为，，，若，，且恒成立，求的最小值．
31
【解析】（1）由，，，累加得
（2）①因，所以，，，当时，，满足题意；
当时，累加得，所以
若存在满足条件，化简得，即，
此时（舍去）
综上所述，符合条件的值为1
（2）由可知,两式作差可得：，又由，可知故，所以对一切的恒成立
对，两式进行作差可得,
又由可知，故
又由
,所以，
所以当时,当时,故的最小值为
3．【江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考】已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由Sn＝2an﹣2，则当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，
两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，则an＝2an﹣1，
由S1＝2a1﹣2，则a1＝2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＝2n，
（2）由．
31
则，，，…，．
以上各式相乘，，则2Tn＝bnbn+1，
当n≥2时，2Tn﹣1＝bn﹣1bn，两式相减得：2bn＝bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1＝2，
∴数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，
由，则b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，
∴数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，
∴数列{bn}的通项公式bn＝n；
（3）当n＝1时，无意义，
设cn，（n≥2，n∈N*），
则cn+1﹣cn0，
即cn＞cn+1＞1，
显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2＝7＞c3＝3＞c4＞…＞1，
∴存在n＝2，使得b7＝c2，b3＝c3，
下面证明不存在c2＝2，否则，cn2，即2n＝3（n+1），
此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，
综上，满足要求的bn为b3，b7．
4．【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研】已知正项等比数列的前项和为，且，。数列的前项和为，且。
(1)求数列的通项公式及其前项和；
(2)证明数列为等差数列，并求出的通项公式；
(3)设数列，问是否存在正整数 ，使得成等差数列，若存在，求出所有满足要求的；若不存在，请说明理由。
【解析】 (1)设正项等比数列的公比为，则由得，从而，又由
31
得，因此，，
所以，。
(2)方法一：因为，所以，
从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，
故，
当时，，且时适合，因此，，
从而当时，为常数，所以，数列为等差数列。
方法二：因为，
所以，当时，有，
两式相减得：，即，
故，即，
又由得，从而，故，
所以，数列为等差数列。
(3)因为，
所以，
假设存在存在正整数 ，使得成等差数列，则
，即，
令，则原问题等价于存在正整数，使得，即成立。
因为 (因为)，故数列单调递增，
若，即，则，
31
从而，即，而，
因此，，这与恒成立矛盾，故只能有，即，
从而，故，即， (*)
①若为奇数，，则记，从而，
因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当时，，而，故，因此，(*)式无正整数解。
②若为偶数，则记，即，同理可得(*)无正整数解。
综上，不存在存在正整数，使得成等差数列，也即不存在正整数 ，使得成等差数列。
5．【江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考】已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．
（1）若，求；
（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．
（i）求数列{an}的通项公式；
（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
【解析】（1）因为，
所以，
所以.
（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，
得，
令k＝1,，……………①
k＝2，，……………②
31
由①得，……………③
②+③得，……………④
①+④得，
又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以．
（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．
因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，
所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，
所以2t＝(2k)2－3×2k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－3×2k－2＋1(*)．
由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．
当k＝2时，2t＝8，得t＝3．
当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－3×2k－2＋1为奇数，
所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－3×2k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．
综上，k＝2，t＝3．
6．【江苏省盐城市2019届高三第一学期期中】已知正项数列的首项，前n项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列，若数列单调递增，求实数的取值范围；
（3）若数列、都是等比数列，且满足，试证明: 数列中只存在三项．
【解析】（1） ，故当时，
两式做差得，
由为正项数列知，，即为等差数列，故
（2）由题意，，化简得 ，所以，
所以，
31
由题意知
恒成立，即恒成立，所以，解得
（3）不妨设超过项，令，由题意，则有，
即
带入，可得 （*），
若则，即为常数数列，与条件矛盾;
若，令得，令得，两式作商，可得，带入（*）得，即为常数数列，与条件矛盾，故这样的只有项.
7．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知数列各项均为正数，,，且对任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，（i）求证：数列是等差数列；（ii）在数列中，对任意，总存在，（其中），使构成等比数列，求出符合条件的一组．
【解析】（1）令数列为
，，所以
（2）∵，假设一奇数使得：
∵，∴
综合得：可构造一组解为，，.
8．【江苏省苏州市2018届高三调研测试】已知各项是正数的数列的前n项和为．
（1）若（nÎN*，n≥2），且．
①求数列的通项公式；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列是公比为q（q＞0， q¹1）的等比数列，且{an}的前n项积为．若存在正整数k，对任意
31
nÎN*，使得为定值，求首项的值．
【解析】（1）①当时，由
则
两式相减得，即，
当时，，即，
解得或（舍），
所以，即数列为等差数列，且首项，
所以数列的通项公式为.
②由①知，，所以，
由题意可得对一切恒成立，
记，则，，
所以，，
当时，，当时，，且，，，
所以当时，取得最大值，
所以实数的取值范围为.
（2）由题意，设（），，两边取常用对数，． 令，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 若为定值，令，则，
即对恒成立，
因为，问题等价于
31
将代入，解得.
因为，所以，
所以，又故.
9．【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知各项均为正数的无穷数列的前项和为,且满足（其中为常数）, .数列满足.
（1）证明数列是等差数列,并求出的通项公式；
（2）若无穷等比数列满足：对任意的,数列中总存在两个不同的项, 使得,求的公比.
【解析】（1）方法一：因为①,
所以②,
由②-①得, ,
即,又,
则,即.
在中令得, ,即.
综上,对任意,都有,
故数列是以为公差的等差数列.
又,则.
方法二：因为,所以,又,
则数列是以为首项, 为公差的等差数列,
因此,即.
31
当时, ,又也符合上式,
故.
故对任意,都有,即数列是以为公差的等差数列.
（2）令,则数列是递减数列,所以.
考察函数,因为,所以在上递增,因此,从而.
因为对任意,总存在数列中的两个不同项, ,使得,所以对任意的都有,明显.
若,当时,
有,不符合题意,舍去；
若,当时,
有,不符合题意,舍去；
故.
10．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和,对任意正整数,总存在正数使得, 恒成立：数列的前项和,且对任意正整数, 恒成立.
（1）求常数的值；
（2）证明数列为等差数列；
（3）若,记,是否存在正整数
31
,使得对任意正整数, 恒成立,若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由.
【解析】（1）∵①
∴②,,
①-②得：,即, ,
又
∴, ,
时, ； 时,.
∵为正数
∴.
又∵, ,且
∴.
（2）∵③
∴当时,④,
∴③-④得：,即⑤,
又∵⑥
∴⑤+⑥得：,即
∴为等差数列.
（3）∵, ,由（2）知为等差数列
∴.
又由（1）知,
∴,
又∵,
31
∴,
令得,
∴,解得,
∴时, ,即,
∵时, ,
∴,即.
此时,即,
∴的最大值为
若存在正整数,使得对任意正整数, 恒成立,则,
∴正整数的最小值为4.
11．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列同时满足：①对于任意的正整数, 恒成立；②对于给定的正整数,对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”.
（1）已知判断数列是否为“数列”,并说明理由；
（2）已知数列是“数列”,且存在整数,使得, , , 成等差数列,证明： 是等差数列.
【解析】（1）当为奇数时, ,所以.
.
当为偶数时, ,所以.
.
所以,数列是“数列”.
31
（2）由题意可得：,
则数列, , , 是等差数列,设其公差为,
数列, , , 是等差数列,设其公差为,
数列, , , 是等差数列,设其公差为.
因为,所以,
所以,
所以①,②.
若,则当时,①不成立；
若,则当时,②不成立；
若,则①和②都成立,所以.
同理得： ,所以,记.
设,
则
.
同理可得：,所以.
所以是等差数列.
【另解】,
,
,
以上三式相加可得： ,所以,
所以,
31
,
,
所以,所以,
所以,数列是等差数列.
12．【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列{an}的首项, , ．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记,若Sn
微信/支付宝扫码支付