问题6 三角形中的不等问题与最值问题
一、考情分析
根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.
二、经验分享
(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件．
(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.
(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．
三、知识拓展
(1)若△ABC是锐角三角形,则,、
(2)若△ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则
(3) △ABC中,若,则, , =.
(4)若成等差数列,则.
四、题型分析
(一) 角或角的三角函数的范围或最值
【例1】【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】在中，若，则的最大值为______.
【答案】
【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.
【解析】在△ABC中，有,
所以=
=,当即时取等.
26
故答案为：
【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.
【小试牛刀】【2018江苏省南京市多校第一次段考】在中，角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】， ， ,
, ,
当且仅当时成立.
(二) 边的范围或最值
【例2】在△中,若,点,分别是,的中点,则的取值范围为 ．
【分析】先得出,设,转化为函数求值域.
【解析】设分别是的中点,
, 所以由正弦定理得,
26
,设,结合,由可得.
,故答案为.
【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将表示为关于的函数,再根据方法⑤解答的.
【小试牛刀】【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．
（1）若当时，，求此时的值；
（2）设，且．
（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
即．
（2）（i）在中，由余弦定理得，
26
在中，由余弦定理得，
又
所以，
即．
又，解得，
所以所求关系式为，．
（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值．
在中，由余弦定理可得
，
因为的最大值不小于，
所以，解得，
经验证知，
所以．
即两处喷泉间距离的最小值为．
(三) 周长的范围或最值
【例3】在锐角中, ,.
（1）若的面积等于,求、；
（2）求的周长的取值范围.
【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；
（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．
【解析】（1）由及正弦定理得：,
又,.又为锐角,故,
又,
26
由得,
所以由解得.
（2）由正弦定理得, ,记周长为,则
,
又,
,
为锐角三角形,
.
【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
【小试牛刀】中,角、、所对的边为、、,且．
（1）求角；
（2）若,求的周长的最大值．
【答案】（1）；（2）6．
【解析】（1）
,
解得．
（2）,
周长,
26
当时,△ABC的周长的最大值为6．
(四) 面积的范围与最值
【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ＝90°,OP＝2,点M在线段PQ上．
(1)若,求PM的长；
(2)若点N在线段MQ上,且∠MON＝30°,问：当∠POM取何值时,△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求△OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN的面积表示为∠POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为∠POM的函数是关键.
【解析】(1)在中, ,,,
由余弦定理得, ,
得, 解得或．
(2)设, ,
在中,由正弦定理,得,
所以, 同理
故
26
因为, ,
所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值．
即时,△OMN的面积的最小值为．
【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.
【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径，，OB与OM之间的夹角为．
Ⅰ将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数．
Ⅱ若，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？精确到
【解析】Ⅰ由题意可知，点M为的中点，所以．
设OM于BC的交点为F，则，．．
所以
26
，．
Ⅱ因为，则．
所以当，即时，S有最大值．
．
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值．
(五) 与其它知识点的综合问题
【例5】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知的周长为6，且成等比数列，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为成等比数列，所以，从而，所以，又，即，解得，故.
【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.
【小试牛刀】如图,已知平面上直线,,分别是,上的动点,是,之间的一定点,
到的距离,到的距离,三内角、、所对边分别为,,,
,且.
（Ⅰ）判断的形状；
（Ⅱ）记, ,求的最大值.
26
【答案】（Ⅰ）是直角三角形；（Ⅱ）的最大值为.
【解析】（I）由正弦定理得：,集合,得,
又,所以,且,所以,∴,
所以是直角三角形；
（II）,由（I）得,则
,, ,
所以时,的最大值为.
五、迁移运用
1．【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．
【答案】6
【解析】根据题意，已知，由余弦定理得
，化简得
由正弦定理：
即（正弦平方差）
整理可得：
即
设
因为为锐角三角形，所以
26
此时即
所以=
令
当，f(x)递增；当，f(x)递减；
所以
故的最小值是6
故答案为6
2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．
【答案】
【解析】由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，，化简，得：
，解得：x＝3y
，，，
＝＝
＝＝，当且仅当时取得最小值.
26
故答案为：.
3．【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是_______.
【答案】 .
【解析】
【解析】设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，
当d＝0时，b有最大值为 ，
由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，
整理得：b＞2d，
可得：3b2+2（）2＞63，解得：b＞3 ，则实数b的取值范围是（3，]．
故答案为：（3，]．
4．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.
【答案】
【解析】由题得,
所以,
所以
因为
所以
故答案为：
26
5．【江苏省镇江市2019届高三上学期期中】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝＋，则cosC的最小值为__________．
【答案】
【解析】∵4（tanA+tanB）=
则4（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB，
即4sin（A+B）=sinA+sinB，
又∵A+B=π﹣C，
∴4sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得，4c=a+b．
由余弦定理得cosC=,
∵4c=a+b，
∴cosC=，
∴cosC的最小值为．
故答案为：．
6．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．
【答案】．
【解析】根据D为AB的中点，若，得到，
化简整理得，即，
根据正弦定理可得，进一步求得，
所以
，
26
求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为
，
故答案为.
7．【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】在中，若则的最大值为_______.
【答案】
【解析】已知等式即 ，
，
即
可得，
即，
即． 所以，
．
∴sinA
故答案为：
8．【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】设的内角的对边分别是,D为的中点,若且,则面积的最大值是_____．
【答案】
【解析】因为,所以,即,即,即,又因为D为的中点,且,所以,
26
即,即,则,则面积的最大值是
9．【百校联盟2018届TOP20一月联考】中，角的对边分别为，若， ，则外接圆面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】由条件及正弦定理得，
∴，整理得．
在中，由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立．∴．
设外接圆的半径为，则，故．
∴．故外接圆面积的最小值为．答案：
10．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．
【答案】100
【解析】由正弦定理得
因此 ，即的最小值为100
11．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】在中， 分别为内角的对边，，则面积的最大值为__________．
26
【答案】
【解析】∵，∴,
由余弦定理得，
∴，即。又，∴2.
由余弦定理的推论得，
∴，
∴，当且仅当时等号成立。
∴面积的最大值为。
12．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】在中，角所对的边分别为，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由正弦定理得：,由降幂公式得，再结合和差化积得：
在三角形中得,所以,由三角形为锐角三角形得：,而，
∵，∴，令，
函数在递减，所以，故填.
13．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】在中，角所对的边分别为．向量
26
，，且
（1）若，求角的值；
（2）求角的最大值．
【解析】（1）因为，，且
所以，即
由正弦定理，得……①
所以
整理，得……②
将代入上式得
又，所以
（2）方法一：由①式，因为，，所以
②式两边同时除以，得
又
当且仅当，即时取等号
又，所以的最大值为
方法二：由（1）知，
由余弦定理
代入上式并化简得
所以
又
26
当且仅当，即时取等号
又，所以的最大值为
14．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，．
（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．
【解析】（1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的
长即为拱门最高点到地面的距离．
在中，，，
所以，圆的半径．
所以．
答：拱门最高点到地面的距离为．
（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．
当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；
当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．
由（1）知，在中，．
26
以为坐标原点，直线为轴，建立如图所示的坐标系．
当点在劣弧上时，．
由，，
由三角函数定义，
得，
则．
所以当即时，
取得最大值．
当点在线段上时，．设，在中，
，
．
由，得．
所以．
26
又当时，．
所以在上递增．
所以当时，取得最大值．
因为，所以的最大值为．
综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）．
15．【江苏省常州市2019届高三上学期期末】某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米.
（1）若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度；
（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过米，当景观窗格的面积（多边形的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度.
【解析】（1）米，，
则米，米，
故总长度米；
答：景观窗格的外框总长度为米；
（2）设，景观窗格的面积为，
则
26
，
，当且仅当即时取等
，
，
由知：，
答：当景观窗格的面积最大时，的长度为米.
16．【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末联考】如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已知AB=100米，BC=80米，以AD，BC为直径的两个半圆内种植花草，其它区域种值苗木. 现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路，其中直路MN与绿地区域边界AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元，修建的总造价为W元. 设.
（1）求W关于的函数关系式；
（2）如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价.
【解析】（1）连NC，AM，设AD的中点为O，连接MO，过N作，垂足为E.
由BC为直径知，，又米，，
26
所以米，，
因为MN∥AB，米，所以米，
由于米，
所以米，
因为直路的工程造价为每米2a元，弧形路的工程造价为每米3a元，
所以总造价为
,
，
.
所以W关于的函数关系式为
.
（2）记，
则
，
令，得，列表如下：
—
0
+
极小值
所以，当时，取得最小值，
此时，总造价W最少，最少总造价为元.
26
答：（1）W关于的函数关系式为
；
（2）当时，修建的总造价最少，最少总造价为元.
17．【福建省厦门市2018届高三年级上学期期末质检数学（理）】如图，单位圆与轴正半轴的交点分别为，圆上的点在第一象限.
（1）若点的坐标为，延长至点，使得，求的长；
（2）圆上的点在第二象限，若，求四边形面积的最大值.
【解析】（1）由点在单位圆上，可知，
由图像可得；
在中， ，， ；
由余弦定理得；
解得；
26
（2）设，
，
四边形的面积
，
当，即时，四边形的面积的最大值为.
18.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）.
试用和表示；
（2）若恰好当时，S取得最大值，求的值.
【解析】(1)设边 ，则 ，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以，
所以，
26
（2）因为，
，
令 ，得
且当时，， ，
当时，， ，
所以当时，面积 最大，此时 ，所以，
解得 ，
因为 ，则.
19．【江苏省仪征中学2018届高三10月学情检测】如图，一块弓形余布料EMF，点M为弧的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD(不计损耗)， AD∥EF，且点A、D在弧上，设∠AOD=．
（1）求矩形ABCD的面积S关于的函数关系式；
（2）当矩形ABCD的面积最大时，求cos的值．
【解析】(1) 设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.
当0＜θ＜ 时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，
S＝AB×AD＝ (4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．
当≤θ＜时(如图2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，
故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ.
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
26
(2) 当0＜θ＜时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]
＝16(4cos2 θ＋cos θ－2)．
令S′＝0，得cosθ＝. 记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)，
列表：
θ
(0，θ0)
θ0
S′
＋
0
－
S
极大值
又当≤θ＜时，S＝32sin2θ是单调减函数，所以当θ＝θ0，即cosθ＝ 时，矩形铁片的面积最大．
20．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.
（1）当时，求点距地面的高度；
（2）试确定的值，使得取得最大值.
【解析】（1）由题意，得.从而，当时，.
即点距地面的高度为.
（2）由题意，得，从而.
26
又，所以.
从而
令，
则.由，得，解得.
当时，为增函数；当时，为减函数，
所以，当时， 有极大值，也为最大值.因为，
所以.
从而当取得最大值时， 取得最大值.
即时， 取得最大值.
26
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