中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型三反比例函数与一次函数综合题试题.doc

1 题型三　反比例函数与一次函数综合题 1．如图，△OPQ 是边长为 2的等边三角形，若反比例函数 y＝ k x的图象过点 P. (1)求点 P 的坐标和 k 的值； (2)若在这个反比例函数的图象上有两个点(x1，y1)，(x2，y2)，且 x1＜x2＜0，请比较 y1 与 y2 的大小. 2．(2017·周口模拟)如图，在矩形 OABC 中，OA＝3，OC＝2，点 F 是 AB 上的一个动点(F 不与 A，B 重合)，过点 F 的反比例函数 y＝ k x的图象与 BC 边交于点 E. (1)当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式； (2)当 k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？ 2 3．(2017·黄冈)已知：如图，一次函数 y＝－2x＋1 与反比例函数 y＝ k x的图象有两个 交点 A(－1，m)和 B，过点 A 作 AE⊥x 轴，垂足为点 E；过点 B 作 BD⊥y 轴，垂足为点 D，且 点 D 的坐标为(0，－2)，连接 DE. (1)求 k 的值； (2)求四边形 AEDB 的面积． 4．(2017·绵阳)如图，设反比例函数的解析式为 y＝ 3k x (k＞0)． (1)若该反比例函数与正比例函数 y＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为 2，求 k 的值； (2)若该反比例函数与过点 M(－2，0)的直线 l：y＝kx＋b 的图象交于 A，B 两点，如图 所示，当△ABO 的面积为 16 3 时，求直线 l 的解析式. 34 题型三　反比例函数与一次函数综合题 1．解：(1)∵△OPQ 是边长为 2的等边三角形， ∴点 P 的坐标为( 2 2 ， 6 2 ) ∵反比例函数的图象过点 P，∴ 6 2 ＝ k 2 2 ，解得 k＝ 3 2 ； (2)∵k＝ 3 2 ＞0，∴在每个象限，y 随 x 增大而减小，在这个反比例函数的图象上有两 个点(x1，y1)(x2，y2)，且 x1＜x2＜0， ∴y1＞y2. 2．解：(1)∵在矩形 OABC 中，OA＝3，OC＝2，∴B(3，2)， ∵F 为 AB 的中点，∴F(3，1)， ∵点 F 在反比例函数 y＝ k x的图象上，∴k＝3， ∴该函数的解析式为 y＝ 3 x； (2)由题意知 E，F 两点坐标分别为 E( k 2，2)，F(3， k 3)， ∴S△EFA＝ 1 2AF·BE＝ 1 2× 1 3k(3－ 1 2k)＝ 1 2k－ 1 12k2＝－ 1 12(k2－6k＋9－9)＝－ 1 12(k－3)2＋ 3 4， 当 k＝3 时，S 有最大值，S 最大＝ 3 4. 3．解：(1)如解图所示，延长 AE，BD 交于点 C，则∠ACB＝90°， ∵一次函数 y＝－2x＋1 的图象经过点 A(－1，m)， ∴m＝2＋1＝3，∴A(－1，3)， ∵反比例函数 y＝ k x的图象经过 A(－1，3)， ∴k＝－1×3＝－3； (2)∵BD⊥y 轴，垂足为点 D，且点 D 的坐标为(0，－2)， ∴令 y＝－2，则－2＝－2x＋1， ∴x＝ 3 2，即 B( 3 2，－2)，∴C(－1，－2)， ∴AC＝3－(－2)＝5，BC＝ 3 2－(－1)＝ 5 2， ∴四边形 AEDB 的面积＝△ABC 的面积－△CDE 的面积＝ 1 2AC·BC－ 1 2CE·CD＝ 1 2×5× 5 2－5 1 2×2×1＝ 21 4 . 4．解：(1)由题意 A(1，2)， 把 A(1，2)代入 y＝ 3k x ，得到 3k＝2，∴k＝ 2 3； (2)把 M(－2，0)代入 y＝kx＋b，可得 b＝2k，∴y＝kx＋2k， 由{y＝ 3k x y＝kx＋2k ，消去 y 得到 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3 或 1， ∴B(－3，－k)，A(1，3k)， ∵△ABO 的面积为 16 3 ，∴ 1 2×2×3k＋ 1 2×2×k＝ 16 3 ，解得 k＝ 4 3， ∴直线 l 的解析式为 y＝ 4 3x＋ 8 3. 5．解：(1)∵点 B(－2，n)、D(3－3n，1)在反比例函数 y＝ m x(x＜0)的图象上， ∴{－2n＝m 3－3n＝m，解得{n＝3 m＝－6. (2)由(1)知反比例函数解析式为 y＝－ 6 x， ∵n＝3，∴点 B(－2，3)、D(－6，1)， 如解图，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，延长 DE 交 AB 于点 F， 在△DBE 和△FBE 中，{∠DBE＝∠FBE BE＝BE ∠BED＝∠BEF＝90° ， ∴△DBE≌△FBE(ASA)，∴DE＝FE＝4，∴点 F(2，1)， 将点 B(－2，3)、F(2，1)代入 y＝kx＋b， ∴{－2k＋b＝3 2k＋b＝1 ， 解得{k＝－ 1 2 b＝2 ，∴y＝－ 1 2x＋2. 6．解：(1)∵AB＝4，BD＝2AD， ∴AB＝AD＋BD＝AD＋2AD＝3AD＝4，∴AD＝ 4 3， 又∵OA＝3，∴D( 4 3，3)， ∵点 D 在双曲线 y＝ k x上，∴k＝ 4 3×3＝4；6 ∵四边形 OABC 为矩形，∴AB＝OC＝4， ∴点 E 的横坐标为 4. 把 x＝4 代入 y＝ 4 x中，得 y＝1，∴E(4，1)； (2)假设存在要求的点 P 坐标为(m，0)，OP＝m，CP＝4－m. ∵∠APE＝90°，∴∠APO＋∠EPC＝90°， 又∵∠APO＋∠OAP＝90°，∴∠EPC＝∠OAP， 又∵∠AOP＝∠PCE＝90°，∴△AOP∽△PCE， ∴ OA PC＝ OP CE，∴ 3 4－m＝ m 1， 解得 m＝1 或 m＝3， ∴存在要求的点 P，使∠APE＝90°，此时点 P 的坐标为(1，0)或(3，0). 7．解：(1)把 A(1，a)代入 y＝－ 3 x得 a＝－3，则 A(1，－3)， 解方程组{y＝－ 1 2x＋ 1 2 y＝－ 3 x ，得{x＝3 y＝－1，或{x＝－2 y＝ 3 2 ，则 B(3，－1)， 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b， 把 A(1，－3)，B(3，－1)代入得 {k＋b＝－3 3k＋b＝－1，解得{k＝1 b＝－4， ∴直线 AB 的解析式为 y＝x－4； (2)如解图，直线 AB 交 x 轴于点 Q， 当 y＝0 时，x－4＝0，解得 x＝4，则 Q(4，0)， ∵PA－PB≤AB(当 P、A、B 共线时取等号)， ∴当 P 点运动到 Q 点时，线段 PA 与线段 PB 之差达到最大，此时 P 点坐标为(4，0). 8．解：(1)如解图，作 AE、BF 分别垂直于 x 轴，垂足为 E、F. ∵△AOE∽△BOF， OA OB＝ 1 3，∴ OA OB＝ OE OF＝ EA FB＝ 1 3. 由点 A 在函数 y＝ 1 x的图象上， 设 A 的坐标是(m， 1 m)，∴ OE OF＝ m OF＝ 1 3， EA FB＝ 1 m FB＝ 1 3， ∴OF＝3m，BF＝ 3 m，即 B 的坐标是(3m， 3 m)．7 又∵点 B 在 y＝ k x的图象上，∴ 3 m＝ k 3m，解得 k＝9， 则反比例函数 y＝ k x的表达式是 y＝ 9 x； (2)由(1)可知，A(m， 1 m)，B(3m， 3 m)， 又已知过 A 作 x 轴的平行线交 y＝ 9 x的图象于点 C. ∴C 的纵坐标是 1 m， 把 y＝ 1 m代入 y＝ 9 x得 x＝9m，∴C 的坐标是(9m， 1 m)， ∴AC＝9m－m＝8m.∴S△ABC＝ 1 2×8m× 2 m＝8. 8 5.(2017·常州)如图，已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y ＝ m x(x＜0)的图象交于点 B(－2，n)，过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C，点 D(3－3n，1)是该反比例 函数图象上一点． (1)求 m 的值； (2)若∠DBC＝∠ABC，求一次函数 y＝kx＋b 的表达式. 6．如图，已知矩形 OABC 中，OA＝3，AB＝4，双曲线 y＝ k x(k＞0)与矩形两边 AB、BC 分 别交于 D、E，且 BD＝2AD. (1)求 k 的值和点 E 的坐标； (2)点 P 是线段 OC 上的一个动点，是否存在点 P，使∠APE＝90°，若存在，求出此时 点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. 9 7．(2016·黄冈)如图，已知点 A(1，a)是反比例函数 y＝－ 3 x的图象上一点，直线 y＝－ 1 2x＋ 1 2与反比例函数 y＝－ 3 x的图象在第四象限的交点为点 B. (1)求直线 AB 的解析式； (2)动点 P(x，0)在 x 轴的正半轴上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差达到最大时，求点 P 的坐标. 8．(2017·聊城)如图，分别位于反比例函数 y＝ 1 x，y＝ k x在第一象限图象上的两点 A、 B，与原点 O 在同一直线上，且 OA OB＝ 1 3. (1)求反比例函数 y＝ k x的表达式；10 (2)过点 A 作 x 轴的平行线交 y＝ k x的图象于点 C，连接 BC，求△ABC 的面积．(导学号　 95604296)