中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型一简单几何图形的证明与计算试题.doc

1 专题二　解答重难点题型突破 题型一　简单几何图形的证明与计算 类型一　特殊四边形的探究 1．(2017·开封模拟)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，以边 AC 上一点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边 BC 的中点 D，并与边 AC 相交于另一点 F. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若 BC＝2 3，E 是半圆AGF︵ 上一动点，连接 AE、AD、DE. 填空： ①当AE︵ 的长度是__________时，四边形 ABDE 是菱形； ②当AE︵ 的长度是__________时，△ADE 是直角三角形. 2．(2017·商丘模拟)如图，已知⊙O 的半径为 1，AC 是⊙O 的直径，过点 C 作⊙O 的切 线 BC，E 是 BC 的中点，AB 交⊙O 于 D 点． (1)直接写出 ED 和 EC 的数量关系：； (2)DE 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)填空：当 BC＝__________时，四边形 AOED 是平行四边形，同时以点 O、D、E、C 为 顶点的四边形是__________. 2 3．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，BC＝5 cm，点 E 从点 A 出发沿射线 AD 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2 cm/s 的速度运动，设运动时间为 t(s)． (1)连接 EF，当 EF 经过 BD 边的中点 G 时，求证：△DGE≌△BGF； (2)填空： ①当 t 为__________s 时，△ACE 的面积是△FCE 的面积的 2 倍； ②当 t 为__________s 时，四边形 ACFE 是菱形. 4．(2017·新乡模拟)如图，AC 是▱ABCD 的一条对角线，过 AC 中点 O 的直线分别交 AD， BC 于点 E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)连接 AF，CE. ①当 EF 和 AC 满足条件__________时，四边形 AFCE 是菱形； ②若 AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形 AFCE 为矩形时，EF 的长是__________． 类型二　几何问题的证明与计算 1．(2017·周口模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧 AC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：AC∥DE； (2)连接 CD，若 OA＝AE＝2 时，求出四边形 ACDE 的面积． 3 2．(2017·湘潭)如图，在▱ABCD 中，DE＝CE，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若 AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B 的度数. 4 3．(2017·山西)如图，△ABC 内接于⊙O，且 AB 为⊙O 的直径，OD⊥AB，与 AC 交于点 E，与过点 C 的⊙O 的切线交于点 D. (1)若 AC＝4，BC＝2，求 OE 的长． (2)试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由. 4．(2017·杭州)如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在对角线 BD 上(不与点 B，D 重合)，GE ⊥DC 于点 E，GF⊥BC 于点 F，连接 AG. (1)写出线段 AG，GE，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形 ABCD 的边长为 1，∠AGF＝105°，求线段 BG 的长. 5 题型一　简单几何图形的证明与计算 类型一　特殊四边形的探究 1．(1)证明：连接 OD，如解图， ∵∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中点， ∴DB＝DA＝DC， ∵∠B＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∠DAC＝∠C＝30°，而 OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝30°， ∴∠ODB＝60°＋30°＝90°， ∴OD⊥BC，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线； (2)解：①连接 OD、OE，∵△ABD 为等边三角形， ∴AB＝BD＝AD＝CD＝ 3， 在 Rt△ODC 中，OD＝ 3 3 CD＝1， 当 DE∥AB 时，DE⊥AC，∴AD＝AE， ∵∠ADE＝∠BAD＝60°， ∴△ADE 为等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝60°，∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，∴AB＝BD＝DE＝AE， ∴四边形 ABDE 为菱形， 此时，的长度＝ 120·π·1 180 ＝ 2 3π， ②当∠ADE＝90°时，AE 为直径，点 E 与点 F 重合，此时的长度＝ 180·π·1 180 ＝π， 当∠DAE＝90°时，DE 为直径，∠AOE＝2∠ADE＝60°，此时的长度＝ 60·π·1 180 ＝ 1 3π， 所以当的长度为 1 3π或 π 时，△ADE 是直角三角形. 2．解：(1)连接 CD，如解图， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°， ∵E 是 BC 的中点， ∴DE＝CE； (2)DE 是⊙O 的切线．理由如下：6 连接 OD，如解图， ∵BC 为切线，∴OC⊥BC， ∴∠OCB＝90°，即∠2＋∠4＝90°， ∵OC＝OD，ED＝EC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线； (3)当 BC＝2 时， ∵CA＝CB＝2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠B＝45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，∴DE⊥BC，DE＝ 1 2BC＝1， ∵OA＝DE＝1，AO∥DE，∴四边形 AOED 是平行四边形； ∵OD＝OC＝CE＝DE＝1，∠OCE＝90°， ∴四边形 OCED 为正方形. 3．(1)证明：∵G 为 BD 的中点， ∴BG＝DG， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EDG＝∠FBG，∠GED＝∠GFB， ∴△DGE≌△BGF(AAS)； (2)解：①分两种情况考虑：当点 F 在线段 BC 上时，如解图①，连接 AC，EC，设菱形 ABCD 边 BC 上的高为 h，由题意知 S△ACE＝ 1 2AE·h，S△FCE＝ 1 2CF·h，∵△ACE 的面积是△FCE 的面 积的 2 倍，∴ 1 2AE·h＝2× 1 2CF·h，∴AE＝2CF，∵AE＝t，CF＝5－2t，∴t＝2(5－2t)，解 得 t＝2；当点 F 在线段 BC 的延长线上时，如解图②，连接 AC，EC，AE＝t，CF＝2t－5，∵△ ACE 的面积是△FCE 的面积的 2 倍，∴AE＝2CF，∴t＝2(2t－5)，解得 t＝ 10 3 ； ②∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC＝ AB＝5，当四边形 ACFE 为菱形时，则 AE＝AC＝CF＝5，即 t＝5. 4．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO. ∵O 是 AC 的中点，∴OA＝OC， 在△AOE 和△COF 中， {∠EAO＝∠FCO OA＝OC ∠AOE＝∠COF ， ∴△AOE≌△COF(ASA)． ∴AE＝CF. (2)解：①当 EF 和 AC 满足条件 EF⊥AC 时，四边形 AFCE 是菱形； 如解图所示，7 ∵AE∥CF，AE＝CF， ∴四边形 AFCE 是平行四边形， 又∵EF⊥AC，∴四边形 AFCE 是菱形； ②若四边形 AFCE 为矩形， 则 EF＝AC，∠AFB＝∠AFC＝90°， ∵AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°， ∴BF＝ 1 2AB＝ 1 2， ∴AF＝ 3BF＝ 3 2 ，CF＝2－ 1 2＝ 3 2， ∴AC＝ AF2＋CF2＝ （ 3 2 ）2＋（ 3 2）2＝ 3， ∴EF＝ 3. 类型二　几何问题的证明与计算 1．证明：(1)∵F 为弦 AC 的中点， ∴AF＝CF，∴OD⊥AC， ∵DE 切⊙O 于点 D，∴OD⊥DE， ∴AC∥DE； (2)∵AC∥DE，且 OA＝AE， ∴F 为 OD 的中点，即 OF＝FD， 又∵AF＝CF， ∠AFO＝∠CFD， ∴△AFO≌△CFD(SAS)，∴S△AFO＝S△CFD，∴S 四边形 ACDE＝S△ODE. 在 Rt△ODE 中，OD＝OA＝AE＝2， ∴OE＝4， ∴DE＝ OE2－OD2＝ 42－22＝2 3， ∴S 四边形 ACDE＝S△ODE＝ 1 2·OD·DE＝ 1 2×2×2 3＝2 3. 2．(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE 和△FCE 中， {∠D＝∠ECF DE＝CE ∠AED＝∠FEC ， ∴△ADE≌△FCE(ASA)；8 (2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC， ∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36°，∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB＝ AC2＋BC2＝ 42＋22＝2 5， ∴OA＝ 1 2AB＝ 5， ∵OD⊥AB， ∴∠AOE＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AOE∽△ACB， ∴ OE BC＝ OA AC，即 OE 2 ＝ 5 4 ， 解得：OE＝ 5 2 ； (2) ∠CDE＝2∠A，理由如下：连接 OC，如解图所示： ∵OA＝OC，∴∠1＝∠A， ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°， ∴∠2＋∠CDE＝90°， ∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE， ∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A， ∴∠CDE＝2∠A. 4．解：(1)结论：AG2＝GE2＋GF2. 理由：如解图，连接 CG. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴A、C 关于对角线 BD 对称， ∵点 G 在 BD 上，∴GA＝GC， ∵GE⊥DC 于点 E，GF⊥BC 于点 F， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°， ∴四边形 EGFC 是矩形，∴CF＝GE， 在 Rt△GFC 中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2； (2)如解图，作 AH⊥BG 于点 H， 由题意得∠AGB＝60°，∠ABH＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，9 ∵AB＝1，∴AH＝BH＝ 2 2 ，HG＝ 6 6 ，∴BG＝ 3 2＋ 6 6 .